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第01讲 集合及其运算
目录
01 常考题型过关练
题型01 元素与集合的关系
题型02 集合中元素的特征
题型03 集合间的基本关系
题型04（真）子集的个数
题型05 数集的运算
题型06 点集的运算
题型07 Venn图的运算
题型08 利用集合的运算结果求参数
题型09 容斥原理
题型10集合的新定义问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 元素与集合的关系
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题可知，
故A正确，BC错误，
集合不是集合的子集，故D错误.
故选：A.
2．若，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，则，符合题意，
当时，有或，已知当时符合题意，
当时，则，符合题意，
故的取值集合为.
故选：C.
3．集合 ，若且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为且，所以且，解得.
故选：B.
02 集合中元素的特征
4．设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】当时，y＝1；
当时，y＝0；
当x＝3时，．
故集合B共有3个元素．
故选：B.
5．（多选）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AD
【详解】由，则或，
若，解得或，代回集合检验可得合题意，（舍去），
若，解得，代回集合检验可得合题意，（舍去），
综上，的可能取值为或.
故选：AD.
6．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】D
【详解】若，则，符合题意；
若，则变为，显然不成立，
则，不符合题意；
当，即时，则，
解得（舍）或，
所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为．
故选：D
7．已知集合中有且仅有个元素，则实数的取值为 ．
【答案】或
【详解】由题意可知，有1个实数根，则或，
解得或
故答案为：或
03 集合间的基本关系
8．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确；
集合中的元素具有无序性，②正确；
集合中有一个元素0，不是空集，③正确；
0是集合中的元素，所以，④正确；
空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误；
由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确；
故选：C
9．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，因为，则.
故选：A.
10．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，即，解得或，
所以或，因为且，
若时，若时，不符合题意，所以，
则或，所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D
11．已知集合，则满足的有序集组的个数为 ．（用数字作答）
【答案】729
【详解】设集合B的元素个数为，则集合B的个数有个，
可知集合B的子集有个，即集合A的个数有个；
所以有序集组的个数为个.
故答案为：729.
04（真）子集的个数
12．已知集合，则的子集的个数是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【详解】由，解得，
所以，
所以的子集有个.
故选：B
13．已知集合，那么满足的集合的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】由题意得或或，
则满足题意的的个数是3.
故选：B.
14．已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】C
【详解】由，得或，
解得或空集，
又，所以，
则集合A的子集个数为.
故选：C
15．已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由题意易知，，均是集合中的元素，
又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，
有，则结合诱导公式易知，
可取的值是4或5.
故选：B
05 数集的运算
16．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，
由得，，即，则，
故.
故选：B
17．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】集合，
，
则.
故选：B.
18．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，故.
故选：C.
19．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，
所以，
，
故选：C
06 点集的运算
20．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】将代入，得，解得或0，
所以.则中元素的个数为3个.
故选：C
21．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，消整理得到，解得或，
当时，，当时，，所以，
故选：C.
22．已知集合，，则中有 个元素．
【答案】2
【详解】易知集合表示抛物线上的所有点的集合，集合表示圆心在坐标原点，半径为1的圆上的所有点的集合，
显然表示两图形的交点个数，画出两函数图象如下图所示:
显然仅有两个交点，因此中有2个元素.
故答案为：2
07 Venn图的运算
23．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
由题意可得图中阴影部分所表示的集合是，
可得，所以.
故选：B.
24．已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】作出Venn图，如图，
对于A，，故A错误；
对于B，与集合交集是空集，
若，则不是的子集，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，与集合交集是空集，
若，则不是的子集，故D错误；
故选：C.
25．设全集为，如图所示的阴影部分用集合表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据集合的运算可知，阴影部分用集合表示为.
故选：B
08 利用集合的运算结果求参数
26．已知集合.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可得，解得，所以，
因为，所以，所以.
所以的取值范围为.
故选：A.
27．已知集合，，若，，则集合的个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【详解】由题意知，则集合为，，，共4个.
故选：B．
28．设全集，集合或，，则（ ）
A．0 B．2 C．5 D．10
【答案】B
【详解】由补集知且，对比得，
则.
故选：B
29．（多选）设集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】由题可得集合，且，
所以方程的两根，满足，.
由韦达定理可知，，即，选项A正确，选项B错误.
.选项C正确.
从而，即.选项D正确.
故选：ACD.
09 容斥原理
30．为提升学生学习双语的热情“G11 四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写” “英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】C
【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集，
则，，，，
，
，
所以语文和英语均不擅长的同学人数为人.
故选：C.
31．为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人
A．24 B．26 C．28 D．30
【答案】C
【详解】设去了洪崖洞的同学组成集合，去了南山一棵树的同学组成集合，去了磁器口的同学组成集合，
依题意，，
而，由容斥原理得，
解得，所以只去了一个地方的有(人).
故选：C
32．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ．
【答案】17
【详解】设集合，集合，
集合，
设三项活动都参加的人数为，
则，
则由题意可得，
即，
解得．
故答案为：17
10集合的新定义问题
33．对于集合，，定义且，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于集合，，定义且，，
设，，
则，，
所以.
故选：C．
34．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（ ）
A．23 B．38 C．128 D．233
【答案】B
【详解】解法1 因为，所以，故A符合；因为，所以，故B不符合；因为，所以，故C符合；，所以，故D符合.
解法2 因为，所以且，则且（k，），所以，即，所以.又，所以（c，），即，即，所以.当时，；当时，；当时，.
35．设集合，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
【答案】C
【详解】对于（1），易知，所以应有，矛盾，即（1）错误；
对于（2），易知，且，
则可取满足题意，即（2）正确；
对于（3），易知，所以应有，矛盾，即（3）错误；
对于（4），易知，且
，
则可取满足题意，即（4）正确；
故选：C.
36．在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】解法一：一方面，取满足题意，则；
另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！
综上所述，正整数的最大值为7.
解法二：，则，又，即若，内的数均不属于，
若，则，则，又，矛盾，
所以，当时，符合，所以．
故选：B.
1．已知集合所有非空真子集的元素之和等于12，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2
【答案】B
【详解】解：因为集合的所有非空真子集：，
所以，，即.
故选：B
2．（2024·25高三上·云南·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分别作出函数与的图象，如下：
当直线与半圆，相切时，设切点为，则，，此时；
结合图形可知，当时，直线与半圆，无公共点.
当时，直线与半圆，有公共点，即.
故选：B
3．设，则集合 ．
【答案】
【详解】
由题意，画出韦恩图如图所示，结合，
，故，
故答案为：
4．已知函数的定义域为，集合．当时， ；若，则实数的取值范围是 ．
【答案】 或
【详解】要使函数有意义，则解得，所以集合．因为，所以，所以或，所以或．因为，所以①当时，，即，满足题意；②当时，解得．综上所述，实数的取值范围是．
5．设集合，，则满足且的集合有 个
【答案】12
【详解】因为且，，．
中一定含有4或5或4、5．当
中含有一个元素时，或，共2个；
当中含有两个元素时，，，，，，共5个；
当中含有三个元素时，，，，，共4个；
当中含有四个元素时，，共1个．
所以满足条件的集合有个．
故答案为：12
6．已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， .
【答案】
【详解】令，如图，全集被划分成、、三个部分，
中的任意一个元素只能在集合、、之一中，有种方法，
则这个元素在集合、、中，每个元素均有种选择，故共有种选择方法，
其中为空集的种数为，为空集的种数为，、均为空集的种数为种，
则、均为非空子集的种数为，
因当且仅当时，与为同一组“互斥子集”，
而，满足的与不是同一组“互斥子集”，
于是得集合的所有“互斥子集”的组数为，
其中.
故答案为：；.
7．已知集合，且.
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）由，得，解得或，
当时，，不符合题意；当时，符合题意，
所以.
（2）由（1）得，，由，得，
①若，此时，即，符合题意；
②若，由，则，解得：，
所以实数的取值范围是.
1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为集合，，
所以，
故选：B
2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
5．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，而，
所以.
故选：A
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
则，
故选：D
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 集合及其运算
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01 常考题型过关练
题型01 元素与集合的关系
题型02 集合中元素的特征
题型03 集合间的基本关系
题型04（真）子集的个数
题型05 数集的运算
题型06 点集的运算
题型07 Venn图的运算
题型08 利用集合的运算结果求参数
题型09 容斥原理
题型10集合的新定义问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 元素与集合的关系
1．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3．集合 ，若且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
02 集合中元素的特征
4．设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（多选）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
7．已知集合中有且仅有个元素，则实数的取值为 ．
03 集合间的基本关系
8．下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．已知集合，则满足的有序集组的个数为 ．（用数字作答）
04（真）子集的个数
12．已知集合，则的子集的个数是（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
13．已知集合，那么满足的集合的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
15．已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
05 数集的运算
16．若，则（ ）
A． B．
C． D．
17．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
19．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
06 点集的运算
20．已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
22．已知集合，，则中有 个元素．
07 Venn图的运算
23．已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
24．已知全集为，集合是的两个子集，若，则下列运算结果为的子集的是（ ）
A． B．
C． D．
25．设全集为，如图所示的阴影部分用集合表示为（ ）
A． B． C． D．
08 利用集合的运算结果求参数
26．已知集合.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
27．已知集合，，若，，则集合的个数为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
28．设全集，集合或，，则（ ）
A．0 B．2 C．5 D．10
29．（多选）设集合，，若，则（ ）
A． B． C． D．
09 容斥原理
30．为提升学生学习双语的热情“G11 四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写” “英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
31．为了更加深入地了解重庆，高一某班倡导学生利用周末时间去参观洪崖洞，南山一棵树，磁器口这三个地方.调查发现该班共有55名同学，其中31个同学去了洪崖洞，21个同学去了南山一棵树，30个同学去了磁器口，同时去了洪崖洞和南山一棵树的有10人，同时去了南山一棵树和磁器口的有7人，每个人至少去了一个地方，没有人同时去三个地方，则只去了一个地方的有（ ）人
A．24 B．26 C．28 D．30
32．为弘扬红色文化、传承文化精神，某校在假期来临之际布置了一项红色文化学习的社会实践活动作业，并在开学后随机抽查了100名学生的完成情况（每个同学至少参加一项活动），其中有52人观看了红色电影，43人参观了烈士陵园，49人参观了红色教育基地，既观看红色电影又参观烈士陵园的有24人，既观看红色电影又参观红色教育基地的有20人，既参观烈士陵园又参观红色教育基地的有17人，则三项活动都参加的人数为 ．
10集合的新定义问题
33．对于集合，，定义且，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
34．中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中不符合题意的整数x为（ ）
A．23 B．38 C．128 D．233
35．设集合，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（ ）
（1） （2） （3） （4）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4）
36．在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
1．已知集合所有非空真子集的元素之和等于12，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．2
2．（2024·25高三上·云南·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设，则集合 ．
4．已知函数的定义域为，集合．当时， ；若，则实数的取值范围是 ．
5．设集合，，则满足且的集合有 个
6．已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， .
7．已知集合，且.
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
1．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
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