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第01讲 数列的基本知识与概念
目录
01 常考题型过关练
题型01数列的周期性
题型02 数列的单调性
题型03 数列最大（小）项
题型04 数列中的规律问题
题型05 数列中的递推关系
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 数列的周期性
1．已知数列满足，，则此数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1 C． D．
4．若数列满足，，则 .
5．设（）的个位数为，则 ．
02 数列的单调性
6．数列的通项公式如下，则递增数列是（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）已知，若数列不是递增数列，则下列数值中的可能取值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为
10．已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的．
03 数列的最大（小）项
11．已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A．5 B．6 C．7 D．8
12．已知数列的通项公式为 ，则的最小项为（ ）
A． B． C． D．
13．已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
14．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（ ）
A． B． C． D．
15．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（ ）
A． B．0 C． D．2
16．已知为数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求取得最大值时的值.
17．已知数列的通项公式是，．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
04 数列中的规律问题
18．已知数列，则该数列的第99项为（ ）
A． B．197 C． D．199
19．将正整数排成下表
则在表中数字2020出现在（ ）
A．第44行第85列 B．第45行第85列
C．第44行第84列 D．第45行第84列
20．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
21．将正偶数按如图所示的规律排列：
则4048在第 行，从左向右该行的第 个数．
22．以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ．
23．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第项的图形和点数.
(1)
(2)
(3)
05 递推数列问题
1．已知数列中，， ，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．对于数列，若，且，则（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．
3．数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
4．数列中，若，则数列的通项公式为 ．
5．已知数列的前n项积为，且，则 ．
6．若数列满足 ，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则数列的的前项中偶数的个数为 ．
1．（2025·四川乐山·三模）已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（ ）
A．2 B．13 C．39 D．49
2．（2025·山东潍坊·二模）已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽马鞍山·一模）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取得最小时n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（多选）（2025·云南·模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（ ）
A．或32 B．
C．当最小时的“雹程”是2步 D．或4747
5．（多选）（2025·陕西宝鸡·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（ ）

A．站在第20拐角的学生是111号 B．站在第23拐角的学生是137号
C．第133号同学站在拐角位置 D．站在拐角位置的同学共有79名
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）任取一个大于1的正整数，若是奇数，就将乘以3再加上1；若是偶数，就将除以2．将所得之数反复进行上述两种运算，则经过个步骤后，必将变成1，然后进入循环圈，简称为步“雹程”，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．例如取，根据上述运算规则，先后得出的数为，从而为6步“雹程”．
（1）为 步“雹程”；
（2）若为7步“雹程”，则的最大值为 ．
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B． C． D．
2．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记载：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
5．（多选）（2025·山西·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为．则（ ）
A．当时，的值为16 B．当时，
C．当时，是10步“雹程” D．当时，
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01 常考题型过关练
题型01数列的周期性
题型02 数列的单调性
题型03 数列最大（小）项
题型04 数列中的规律问题
题型05 数列中的递推关系
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 数列的周期性
1．已知数列满足，，则此数列前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，
所以，，
故数列是以为周期的周期数列，
又，，且，
则此数列前项的和．
故选：D.
2．已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，数列的周期为3，，
故选：D.
3．在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】因为，（，），
所以，，，，
所以是以为周期的周期数列，则.
故选：A.
4．若数列满足，，则 .
【答案】2
【详解】利用，结合，依次迭代可得：
数列的前项依次为
且从第3项起以3为周期，所以.
故答案为：
5．设（）的个位数为，则 ．
【答案】123
【详解】因为的个位数分别为，
所以数列是周期为4的周期数列，
所以，
故答案为：123
02 数列的单调性
6．数列的通项公式如下，则递增数列是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故A错误；
B，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故B错误；
C，，则，即对任意恒成立，故数列是递增数列，故C正确；
D，，则，，则 ，故数列不是递增数列，故D错误.
故选：C
7．已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】数列是单调递减数列，
故，即
且，故.
故选：A
8．（多选）已知，若数列不是递增数列，则下列数值中的可能取值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】BD
【详解】若数列是递增数列，则有，
而因为不是递增数列，
所以或，解得，故BD正确.
故选：BD
9．已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为
【答案】
【详解】根据题意，可得，即，
，对，
又数列是单调递减数列，则，
.
故答案为：.
10．已知数列的通项公式是，画出该数列的图象．并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的．
【答案】图象见解析；从第二项开始递增．
【详解】列表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 ……
-30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 ……
作图如下：
如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始递增．
03 数列的最大（小）项
11．已知数列满足，则数列的最小项是第（ ）项
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【详解】数列中，由，得，由，得，
则当时，；当时，，
即，
所以数列的最小项是第6项.
故选：B
12．已知数列的通项公式为 ，则的最小项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】易知，
当时，由二次函数性质可知函数单调递增，所以的最小项为.
故选：A
13．已知数列的通项公式为，前项的和为，则取到最小值时的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
由，得，解得或，
因为，所以当或时，，当时，，
所以当时，取得最小值.
故选：B
14．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
当n2时，，即；
当n＝2时，，即；
当n2时，，即.
所以， ，
所以数列中的最大项为 或 ，且.
故选：A.
15．已知数列的通项公式为，则中的项最大为（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】D
【详解】.
当时，函数单调递减，
则当时，数列单调递减，
所以中的项最大为.
故选：D.
16．已知为数列的前项和，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求取得最大值时的值.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）当时，，解得；
当时，，即.
因为也满足，所以.
（2）由（1）得，所以，
所以当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
所以，
故当或时，取得最大值.
17．已知数列的通项公式是，．试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
【答案】有，为第2项和第3项，．
【详解】根据题意，令，
即，解得．
又，则或．
故数列有最大项，为第2项和第3项，且．
04 数列中的规律问题
18．已知数列，则该数列的第99项为（ ）
A． B．197 C． D．199
【答案】B
【详解】通过观察，该数列的通项公式为，
所以.
故选：B.
19．将正整数排成下表
则在表中数字2020出现在（ ）
A．第44行第85列 B．第45行第85列
C．第44行第84列 D．第45行第84列
【答案】D
【详解】因为每行的最后一个数分别为1，4，9，16，…，所以由此归纳出第行的最后一个数为．
因为，，所以出现在第45行上，
又由，故出现在第84列.
故选：D
20．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，
则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，
∴，，故C正确，D错误；
又∵，，
所以，，
，，
，，
，，故A、B正确.
故选：D
21．将正偶数按如图所示的规律排列：
则4048在第 行，从左向右该行的第 个数．
【答案】 45 88
【详解】4048是第2024个数，
由已知得前行所有的个数为，
，
，
所以数字4048在第45行，第88个数.
故答案为：45；88.
22．以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”：
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 ．
【答案】
【详解】观察每一行第一个数的规律：
第一行的第一个数为，
第二行的第一个数为，
第三行的第一个数为，
第四行的第一个数为，…，
第n行的第一个数为，
表中一共2018行，
∴第2018行的第一个数即．
故答案为：
23．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式以及第项的图形和点数.
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）设第项的点数为，
，，，，
该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，
第项的图形如下图所示：
（2）设第项的点数为，
，，，，
该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，
第项的图形如下图所示：
（3）设第项的点数为，
，，，，
该数列的第项为，
数列的一个通项公式为，
第项的图形如下图所示：
05 递推数列问题
1．已知数列中，， ，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】由题，，
故选：C.
2．对于数列，若，且，则（ ）
A．0 B．-1 C．1 D．
【答案】B
【详解】因，，
则，，，
，，……，
所以以此类推，对即数列是周期为4的数列，
故.
故选：B.
3．数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，
所以，，，，，……
则该数列的周期为，
所以.
故选：C.
4．数列中，若，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
所以数列为常数列，且，
所以.
故答案为:.
5．已知数列的前n项积为，且，则 ．
【答案】
【详解】因为，，
则，
可知数列是周期为3的数列，，
且，所以．
故答案为：.
6．若数列满足 ，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列，则数列的的前项中偶数的个数为 ．
【答案】
【详解】由两奇数的和为偶数，一奇数与一偶数的和偶数，
结合，可知数列第项为偶数，即每3项有1项为偶数，
又，所以数列的的前项中偶数的个数为.
故答案为：.
1．（2025·四川乐山·三模）已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（ ）
A．2 B．13 C．39 D．49
【答案】C
【详解】对于A，令，，故A错误；
对于B，令，，故B错误；
对于C，当为偶数，令，解得：，
当为奇数，令，解得：，
故39不是数列的项，故C正确；
对于D，令，，故D错误.
故选：C.
2．（2025·山东潍坊·二模）已知数列满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为数列满足，且，
所以，，，.
故选：D.
3．（2025·安徽马鞍山·一模）已知数列的通项公式为，前n项和为，则取得最小时n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】令，解得：或，
当时，，故当时，递增，且
当时，，故当时，递减；
当时，，递增.
且，，，，，，
故，所以取得最小时n的值为.
故选：C
4．（多选）（2025·云南·模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），.记数列的前项和为，若，则（ ）
A．或32 B．
C．当最小时的“雹程”是2步 D．或4747
【答案】BC
【详解】对于A，因为，所以；
或；或，
，即或5或4，故A错误；
对于B，因为，所以从开始，周期为3，又，
所以，故B正确；
对于C，由A选项得的最小值为4，故雹程是2步，故C正确；
对于D，当时，；
当时，；
当时，，故D错误.
故选：BC.
5．（多选）（2025·陕西宝鸡·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（ ）

A．站在第20拐角的学生是111号 B．站在第23拐角的学生是137号
C．第133号同学站在拐角位置 D．站在拐角位置的同学共有79名
【答案】ACD
【详解】观察给出的前几个拐角位置对应的编号：2，3，5，7，10，13，17，21，26
将奇数项的拐角即为，易得：;
偶数序号的拐角即为，由规律可得：
第20拐角的学生编号为：正确；
站在第23拐角的学生编号为：错误；
由，解得，也即第133号同学站在第22拐角位置；
由，可得，
由，可得，
所以拐角总序号可到第79个，所以站在拐角位置的同学共有79名，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：由前几个拐角编号，找到规律；
6．（2025·湖南长沙·模拟预测）任取一个大于1的正整数，若是奇数，就将乘以3再加上1；若是偶数，就将除以2．将所得之数反复进行上述两种运算，则经过个步骤后，必将变成1，然后进入循环圈，简称为步“雹程”，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．例如取，根据上述运算规则，先后得出的数为，从而为6步“雹程”．
（1）为 步“雹程”；
（2）若为7步“雹程”，则的最大值为 ．
【答案】 8 128
【详解】（1）当时，先后得出的数为，
则为8步“雹程”．
（2）当为奇数时， ，当为偶数时，，
因为为7步“雱程”，
则，从而．
若为奇数，由，得；
若为偶数，则．
当时，因为不是3的倍数，则为偶数，所以，
从而或3．
当时，因为不是3的倍数，则为偶数，所以，
从而或21．
综上分析，，所以的最大值为128．
故答案为：8；128.
1．（2022·浙江·高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，易得，依次类推可得
由题意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
综上：．
故选：B．
2．（2022·全国乙卷·高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】[方法一]:常规解法
因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为 ，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
[方法二]：特值法
不妨设则
故D正确.
3．（2025·江苏苏州·三模）已知数列满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，由，得，，则，A错误；
对于B，由，得，当时，，B错误；
对于CD，由，得，则，
即，则当时，，
，因此，，，
，而，D正确，D错误.
故选：C
4．（2025·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记载：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【答案】C
【详解】因为，所以．
在给定的勾股弦数组序列中，，所以．
易得勾股弦数组序列中“勾”的通项公式为，
所以，
故“弦”的通项公式为 ．
所以第10个勾股弦数组中的“弦”等于．
故选：C．
5．（多选）（2025·山西·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为．则（ ）
A．当时，的值为16 B．当时，
C．当时，是10步“雹程” D．当时，
【答案】BD
【详解】对于A选项进行逆推：或或2，故A错误；
对于BC选项，当时，即，
共需经过9个步骤变成1，故B正确，C错误；
对于D选项，当时，，，，以后进入循环，
因此，故D正确．
故选：BD
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