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第02讲 导数与函数的单调性
目录
01 常考题型过关练
题型01 求函数（不含参）的单调区间
题型02已知函数在区间上单调，求参数
题型03已知函数在区间上存在单调区间 ，求参数
题型04已知函数在区间上不单调 ，求参数
题型05 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
题型06含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ）
题型07 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ）
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 求函数（不含参）的单调区间
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．、
C．、 D．
【答案】A
【详解】函数的定义域为，，
由可得，即，解得，
因此，函数的增区间为.
故选：A.
2．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知函数的定义域为，，
令，得，解得，
所以函数的单调递增区间为.
故选：B.
3．已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
令，即，解得，
所以函数的单调递减区间为，结合选项可知只有D符合题意.
故选：D
4．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数的定义域为，又，
令，解得，所以的单调递增区间为.
故选：D
5．函数．求函数的单调区间.
【答案】在上单调递减，在上单调递增
【详解】因为，所以，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增．
02已知函数在区间上单调，求参数
6．（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由，
得，
因为是上的增函数，则恒成立，
即恒成立，
当时，，此时不恒成立，不满足题意；
当时，等价于对恒成立，
则.
故选：C.
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以，因为在上单调递增，
所以，所以.
故选：B.
8．若函数在为单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对求导可得.
因为在上单调递增，所以在上恒成立.
当时，，此时可以取任意实数.
当时，可化为恒成立.
令，，可得，当且仅当，即时等号成立.
所以，则，解得.
综合以上两种情况，实数的取值范围是.
故选：B.
9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，则，
因为函数在上单调递增，则对任意的恒成立，
则对任意的恒成立，则.
故选：C.
10．（2025·山东·模拟预测）若为正实数，且在上单调递减，则的最大值为 .
【答案】
【详解】由题知，恒成立.
令，则.
因为，令，解得，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，即.
由，得.
设，
则，
令，解得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，
即，所以的最大值为，此时.
故答案为：.
03 已知函数在区间上存在单调区间 ，求参数
11．已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知：，即在上有解，
又因为在上单调递增，则，
则，所以实数的取值范围是.
故选：B.
12．若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，则．
函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解，
即在区间上有解，
方法一：即在区间上有解，所以．
令 ，则，
令在上单调递增，所以，即，
所以．
方法二：当时，在恒成立，不符合；
当时，开口向上，只需或，所以．
故选：D
13．若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，
因为函数在存在单调减区间，所以有解，
即有解，则，
又，且，
当时，，
所以，解得，即实数a的取值范围为.
故选：B
14．已知函数在存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得在上有解，
即在上有解，
其中，
所以
故实数的取值范围是.
故选：D
15．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为
【答案】
【详解】依题意，在区间上有解，
即在区间上有解，
设，则，故只需求在上的最小值，
而在时，取得最小值，故得，
则实数的取值范围为.
故答案为：
04已知函数在区间上不单调 ，求参数
16．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当函数在上单调，或恒成立，
所以或恒成立，
所以或，因为函数在上不单调，所以.
故选：D.
17．若函数不单调，则可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数的定义域为，则，
因为函数在上不单调，则函数存在异号零点，
所以，解得，
故选：A.
18．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，令，
因为函数在区间上不单调，
所以在上有变号零点，
即，解得，
故选：C
19．（多选）若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（ ）
A．e B． C． D．
【答案】BC
【详解】由题设，，又在上不单调，
所以函数在上存在变号零点，
设，则，则在上单调递减，
所以，即，解得，则的取值范围是.
故选：BC.
20．已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由，得，
令，得
∵，∴
当时，；当时，;
所以在区间上是增函数，在上是减函数.
若在上不单调，则，
解得.
即a的取值范围为.
故答案为：
05 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
21．（2025·江西·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
【答案】(1)当时， 单调递增；当时，单调递减
【详解】（1），，令，得．
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
22．已知函数，讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】对进行分类讨论，结合导函数的正负与函数单调性的关系即可得解.
【详解】因为，，
所以，
若，则恒成立，此时在上单调递增；
若，令，得，易得时，，时，，
此时在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
23．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1），
当时，在上单调递增
当时，，
当，在单调递减，
当，在单调递增．
24．已知函数.讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【详解】函数的定义域是，
，
①若，则，在上单调递增；
②若，令，解得，
令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
25．设，函数，．
(1)讨论函数的单调性；
【答案】(1)答案见详解
【详解】（1）因为，函数定义域为，
可得,
当时，，在内单调递增；
当时，当时，，在内单调递减；
当时，，在内单调递增；
综上所述：当时，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在内单调递增.
06 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ）
26．（2025·江西·三模）设函数
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）易知的定义域为，
又.
若，则恒成立，所以此时在上单调递增；
若，则当时，；当时，；
所以此时在上单调递增，在上单调递减.
综上，时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减.
27．（2025·湖北·模拟预测）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由，，，
求导得.
当，由，解得或；由，解得.
当时，恒成立.
当时，由，解得或；由，解得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，的在单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
28．已知函数，其中.
(1)若在处取得极值，求a的值；
(2)讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1），
由题意，，
解得，
当时，，定义域为，
，令，解得，
令，解得，故为的极值点，
满足题意，故；
（2）定义域为，
当时，，
所以时，，单调递增，时，，单调递减，
当时，，
当时，
①时，，
令，解得或，令，解得，
函数在，内单调递增，在内单调递减；
②当时，，故函数在上单调递增；
③当时，，令，解得或，令，解得，
故在，内单调递增，在内单调递减．
当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
综上：当时，在单调递增，在单调递减，
当时，在，内单调递增，在内单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，内单调递增，在内单调递减.
29．（2025·江苏盐城·三模）已知函数，．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
所以所求切线的斜率为，又，
所以切线方程为，即；
（2），则函数定义域为，
所以，所以当时，有恒成立，在单调递减，
当时，由解得：，在上单调递减；
由解得：，在上单调递增；
综上，时，在单调递减；
时，在上单调递减，在上单调递增.
30．已知函数
(1)若是函数的驻点，求实数的值；
(2)当时，求函数的单调区间；
【答案】(1)1
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，
则，依题意，即，解得；
（2）函数的定义域为，
又 ，
当时，
由，解得或，所以在，上单调递增，
由，解得，所以在上单调递减；
当时恒成立（且仅在处等于），所以在上单调递增；
当时，
由，解得或，所以在，上单调递增，
由，解得，所以在上单调递减；
综上可得，
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时的单调递增为，无单调递减区间；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为.
31．已知函数.
(1)当时，求证；
(2)讨论的单调性；
【答案】(1)证明见详解
(2)答案见详解
【详解】（1）若，则，，
令，则，解得；
令，则，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
所以.
（2）因为，
若，则，可知在上单调递减；
若，令，则，解得；
令，则，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，在上单调递减；
若，在内单调递增，在内单调递减.
32．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由，所以，
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，
即；
（2）由，定义域为，
当时，令得或，
（i）时，，，令，得，
令，得或，
所以的递增区间为，递减区间为，；
(ii)时，，所以在上单调递减；
（iii）当时，即，，
令，得，
令，得或，
所以的递增区间为，递减区间为，；
当时，令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，的递增区间为，递减区间为，；
当时，在上单调递减；
当时，的递增区间为，递减区间为，；
当时，的递增区间为，递减区间为.
07 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ）
33．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），则．
对于方程．
当，即时，，函数在上单调递减；
当，即时，方程有两不等根，
，且，
所以当或时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，．
34．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，其中为常数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，，
，此时，
因此曲线在点处的切线方程为．
（2）函数的定义域为，，
当，即时，，令，解得，
令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，中，，
当，即时，
方程在上仅有一个正根，
令得，令得，
此时函数在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
方程在上有两个不等正根，
分别为，，
，
故，
令令得，令得，
此时函数在和上单调递增，
在上单调递减．
综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减；
35．（2025·重庆·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1），
①当，即时，恒成立，在上单调递增．
②当，即或时，令，解得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
1．已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是 .
【答案】
【详解】设，对求导可得.
已知，所以.可得（为常数）.
因为，所以，则.
对求导，可得.
已知，将代入可得：
，所以.
求解不等式，即.
当时，与都大于，
令，对求导得.
再令，对求导得.
当时，，所以在上单调递增，
则.
因为，所以，即在上单调递增.
又.
所以由可得.
故不等式的解集是.
故答案为：.
2．若函数在上可导，且满足，则 （填，或）．
【答案】
【详解】令，
因为在上可导，且满足，
所以，所以在和上单调递减，
所以，即，
所以.
故答案为：
3．若对任意的正实数，当时，恒成立，则m的取值范围 ．
【答案】
【详解】当时，，
故，
而为正实数，则，令，于是，
依题意，函数在上单调递减，即，，
因此，，而函数是上的增函数，
则，解得，
所以m的取值范围是.
故答案为：
4．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设，不等式，变形为，
设函数，则函数在区间单调递减，
由，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以.
故答案为：.
1．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析.
【详解】（1）
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
；
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
4．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
【详解】（1），
当，；当，，
故的减区间为，的增区间为.
5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)的减区间为，增区间为.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
故的减区间为，增区间为
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 导数与函数的单调性
目录
01 常考题型过关练
题型01 求函数（不含参）的单调区间
题型02已知函数在区间上单调，求参数
题型03已知函数在区间上存在单调区间 ，求参数
题型04已知函数在区间上不单调 ，求参数
题型05 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
题型06含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ）
题型07 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ）
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 求函数（不含参）的单调区间
1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．、
C．、 D．
2．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．函数．求函数的单调区间.
02已知函数在区间上单调，求参数
6．（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在为单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·山东·模拟预测）若为正实数，且在上单调递减，则的最大值为 .
03 已知函数在区间上存在单调区间 ，求参数
11．已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函数在存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为
04已知函数在区间上不单调 ，求参数
16．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．若函数不单调，则可以为（ ）
A． B． C． D．
18．若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
19．（多选）若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（ ）
A．e B． C． D．
20．已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为 ．
05 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
21．（2025·江西·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调区间；
22．已知函数，讨论的单调性.
23．已知函数
(1)讨论函数的单调性；
24．已知函数.讨论函数的单调性；
25．设，函数，．
(1)讨论函数的单调性；
06 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ）
26．（2025·江西·三模）设函数
(1)讨论的单调性；
27．（2025·湖北·模拟预测）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
28．已知函数，其中.
(1)若在处取得极值，求a的值；
(2)讨论的单调性．
29．（2025·江苏盐城·三模）已知函数，．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数单调性；
30．已知函数
(1)若是函数的驻点，求实数的值；
(2)当时，求函数的单调区间；
31．已知函数.
(1)当时，求证；
(2)讨论的单调性；
32．已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)求的单调区间.
07 含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ）
33．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
34．（2025·吉林·模拟预测）已知函数，其中为常数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
35．（2025·重庆·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
1．已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是 .
2．若函数在上可导，且满足，则 （填，或）．
3．若对任意的正实数，当时，恒成立，则m的取值范围 ．
4．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
1．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
(1)当时，讨论的单调性；
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．
(1)讨论的单调性；
4．（2022·浙江·高考真题）设函数．
(1)求的单调区间；
5．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
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