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第02讲 等差数列及其前n项和
目录
01 常考题型过关练
题型01 等差数列基本量计数
题型02 等差数列角标和
题型03 等差数列前n项和性质
题型04等差数列前n项和最值
题型05 实际问题中的等差数列
题型06 等差数列奇偶项和
题型07 等差数列中含绝对值前n项和
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 等差数列基本量计算
1．已知等差数列的前项和为，若，则公差为（ ）
A． B． C． D．1
2．已知等差数列的前项和为，若，，则公差（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（多选）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．数列是递减数列 B．
C．时，的最大值是18 D．
4．记为等差数列的前项和，若，则 .
5．设等差数列的前项和为，数列的前项积为，若，，则 ．
02 等差数列角标和性质
6．已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（ ）
A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D．
7．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则（ ）
A． B． C．中最大 D．
9（多选）．设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递减数列 B．
C． D．，，，中最大的是
10．已知数列的前项和为，且，，则 ．
03 等差数列前n项和性质
11．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．6 B．12 C．15 D．21
12．记为等差数列的前项和，，，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
13．等差数列中的前项和分别为，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
15．已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则 ．
04 等差数列前n项和最值
16．已知为等差数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
17．数列满足，，，数列满足，．
(1)证明数列是等差数列并求其通项公式．
(2)数列的前项和为，问是否存在最小值 若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由．
18．已知数列是等差数列，是的前n项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值.
19．在公差不为0的等差数列中， ，是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求的最大值.
20．已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)为数列的前n项和，试判断当n取何值时，最大，并求出最大值.
05 实际问题中的等差数列
21．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则该数列的公差为 ，春分时节的日影长为 尺.
23．“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此即著名的“孙子问题”，最早载于《孙子算经》，研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题：将到这个数中，被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有 项.
24．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗 一只狗与一只羊 一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 .
25．湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费用12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值．
06 等差数列奇偶项和问题
26．已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
27．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝ .
28．在等差数列中，已知公差，且，则 .
29．已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为 ．
30．等差数列{an}共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，求n的值．
07 含绝对值的等差数列前n项和
31．已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
32．已知各项都为正数的数列 的前 项和为 , 且满足 .
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
33．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前10项和.
34．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
35．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式
(2)若，求的前项和.
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则公差为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2025·江西九江·三模）九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（ ）
A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里
3．（2025·湖北·模拟预测）已知数列，满足，对，都有成立，为数列的前n项和，则（ ）
A．55 B．60 C．100 D．110
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将正整数集中所有与21不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列，再按照两项，一项，两项，一项的顺序循环分组：，那么在第（ ）组．
A． B． C． D．
5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
3．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
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01 常考题型过关练
题型01 等差数列基本量计数
题型02 等差数列角标和
题型03 等差数列前n项和性质
题型04等差数列前n项和最值
题型05 实际问题中的等差数列
题型06 等差数列奇偶项和
题型07 等差数列中含绝对值前n项和
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 等差数列基本量计算
1．已知等差数列的前项和为，若，则公差为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】由，则，即，
所以，则，
由，则.
故选：C
2．已知等差数列的前项和为，若，，则公差（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【详解】若，，则，，
解得公差.
故选：D.
3．（多选）已知等差数列的前项和为，则（ ）
A．数列是递减数列 B．
C．时，的最大值是18 D．
【答案】BCD
【详解】设等差数列的公差为，
由，得，
解得，因为，所以.
A:由，可得
所以等差数列为递增数列，故A错误；
B：，故B正确；
C：，
由可得，所以，又，
所以的最大值是18，故C正确；
D：，
由，得，故D正确.
故选：BCD.
4．记为等差数列的前项和，若，则 .
【答案】
【详解】由，可得，
所以，则，
故.
故答案为：.
5．设等差数列的前项和为，数列的前项积为，若，，则 ．
【答案】
【详解】设等差数列的公差为，则，可得，
因为，所以，
所以，即，则，
所以，则，
故.
故答案为：.
02 等差数列角标和性质
6．已知是等差数列的前 n 项和，且，，则（ ）
A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D．
【答案】B
【详解】对A，因为等差数列，则，则，故A错误；
对B，设等差数列的公差为，则，则，
则的最小值为，故B正确；
对C，因为，则数列为递增数列，故C错误；
对D，因为，，则，
则，故D错误.
故选：B.
7．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于B，，所以，故B正确；
对于A、C，因为，即，，
所以，，则，故A、C正确；
对于D，因为，
，所以，故D错误.
故选：D
8．（多选）已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则（ ）
A． B． C．中最大 D．
【答案】BCD
【详解】，∴，
，∴，∴，A选项错误；
∴，B选项正确；
∴中最大，C选项正确；
∵，且，∴，D选项正确.
故选：BCD
9（多选）．设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是递减数列 B．
C． D．，，，中最大的是
【答案】ABD
【详解】因为数列为等差数列，
由 ，
由 ，
所以，故C错误；
因为数列为等差数列，且，所以数列是递减数列，故A正确；
因为，故B正确；
因为，，且数列是递减数列，所以前6项为正，从第7项开始为负，所以最大，故D正确.
故选：ABD
10．已知数列的前项和为，且，，则 ．
【答案】0
【详解】因为，所以，所以数列为等差数列，
所以，所以，所以．
故答案为：0.
03 等差数列前n项和性质
11．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．6 B．12 C．15 D．21
【答案】C
【详解】设，则，，
因为为等差数列，所以，，也成等差数列，
则，解得．
故选：C
12．记为等差数列的前项和，，，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【详解】（法一）数列为等差数列，
有，，成等差数列，
，
解得，
故选：C.
（法二）由题意知，，，
解得，，
，
故选：C.
13．等差数列中的前项和分别为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】等差数列中的前项和分别为，．
故选：B．
14．已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
令，则，
所以，，
所以，
故选：B
15．已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则 ．
【答案】/
【详解】为等差数列，故，
故.
故答案为：
04 等差数列前n项和最值
16．已知为等差数列的前项和，且．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，因为，
所以，解得，，
所以，即的通项公式为.
（2）由（1），，所以，
又，所以数列是递增数列，
由知，，
所以的最小值为.
17．数列满足，，，数列满足，．
(1)证明数列是等差数列并求其通项公式．
(2)数列的前项和为，问是否存在最小值 若存在，求的最小值及取得最小值时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析，
(2)存在最小值，最小值为－9，此时
【详解】（1）证明：因为，所以．
因为，所以，
所以．因为，所以，
所以数列是首项，公差的等差数列．
所以．
（2）解：根据等差数列的前项和公式，得．
对于二次函数，其图象的对称轴为直线，
所以当时，取得最小值．因为，
所以存在最小值，最小值为－9，此时．
18．已知数列是等差数列，是的前n项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)-57
【详解】（1）设数列的公差为d，
则，解得，所以.
（2）令，解得，所以当时，.
故当时，取到最小值，为.
19．在公差不为0的等差数列中， ，是与的等比中项.
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)100
【详解】（1）设的公差为d，因为是与的等比中项，所以，
即，整理得.
又，所以，
则.
（2）由（1）可得，.
因为，所以是递减数列.
又，，
所以当时，取得最大值，且最大值为.
20．已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)为数列的前n项和，试判断当n取何值时，最大，并求出最大值.
【答案】(1)
(2)，338
【详解】（1）设的公差为，
由题意，，即
于是
又，所以 (舍去)，.
故.
（2）因为 =
当时有最大值为338.
05 实际问题中的等差数列
21．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 个小球，第二层有个小球，第三层有..........依此类推，最底层有个小球，共有层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】设各层的小球个数为数列，
由题意得，，，，
因为，可得，
，
，
，
则，
因为前层小球总个数为，所以，即，
解得或（舍去），
所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为个.
故选：B.
22．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则该数列的公差为 ，春分时节的日影长为 尺.
【答案】 /
【详解】冬至 小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得：
，
解得：
所以，
所以，
即春分时节的日影长为.
故答案为：.
23．“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此即著名的“孙子问题”，最早载于《孙子算经》，研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题：将到这个数中，被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有 项.
【答案】
【详解】由题意可知，既是的倍数，又是的倍数，
即，所以，
令，即，解得，
因为，所以，
故该数列共有项，
故答案为：.
24．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗 一只狗与一只羊 一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 .
【答案】120
【详解】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列，
设该数列为，公差为，
则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为，
由题意得解得
故甲花费的钱数为.
故答案为：120.
25．湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称．该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费用12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，求购买该台机器若干年后的年平均利润的最大值．
【答案】12万元．
【详解】由题意可知各年的维护费用（单位：万元）构成以12为首项，6为公差的等差数列，
设购买该台机器年后的盈利为万元，
则．
令，则，解得．
设购买该台机器年后的年平均利润为万元，
则，
当且仅当时取“=”，
因此，购买该台机器8年后的年平均利润最大，最大年平均利润是12万元．
06 等差数列奇偶项和问题
26．已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知，，
所以，
所有奇数项的和为，
于是可得.
故选：A.
27．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝ .
【答案】2
【详解】解:由,得,
所以＝5d＝10，所以d＝2.
故答案为：2.
28．在等差数列中，已知公差，且，则 .
【答案】145
【详解】等差数列中，已知公差，
.
故答案为：145.
29．已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为 ．
【答案】29
【详解】因为为奇数，所以，解得．
所以，所以．故所求的中间项为29．
故答案为：29
30．等差数列{an}共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，求n的值．
【答案】10
【详解】依题意可列方程组
即
∴＝，
解得n＝10.
07 含绝对值的等差数列前n项和
31．已知数列的前n项和为.若为等差数列，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，又，，
，，
，
，则，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，
，
.
32．已知各项都为正数的数列 的前 项和为 , 且满足 .
(1)求数列的通项公式;
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）数列中，，当时，，由两式相减，
得，即，
又数列的各项都为正数，则，当时，，解得，
因此数列是首项为3，公差为3的等差数列，
所以.
（2）由（1）得，，，即，
设的前项和为，则，
当时，，当时，，
于是当时，；
当时，，
所以数列的前项和.
33．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前10项和.
【答案】(1)
(2)50
【详解】（1）证明：由知，
由知：，∴数列是以512为首项，为公比的等比数列，
∴，∴；
（2）由（1）知，
设的前项和为，，∴
当时，，
，
故
34．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为，依题意得，
所以，即，
化简得，解得或（舍去），
，
所以经检验满足题意.
（2）依题意得，，，
其前项和，
当时，，，
故，
当时，，
故
所以.
35．已知数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式
(2)若，求的前项和.
【答案】(1).
(2).
【详解】（1）由，
当时，可得，
当时，，适合上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由，可得，则，
令，可得，
当时，可得，
当时，可得
，
因为，所以，
所以.
注意：分类标准和，都可以.
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知等差数列的前项和为，若，则公差为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】由，则，即，
所以，则，
由，则.
故选：C
2．（2025·江西九江·三模）九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（ ）
A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里
【答案】C
【详解】记第一周跑步量为，则，所以前4周的跑步量为等比数列，
所以则，故第5周到第10周的跑步量为等差数列，则，
第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，所以小宝同学跑步的总量是公里.
故选：C.
3．（2025·湖北·模拟预测）已知数列，满足，对，都有成立，为数列的前n项和，则（ ）
A．55 B．60 C．100 D．110
【答案】D
【详解】当时，得到，所以是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，因为，所以，所以.
故选：D.
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将正整数集中所有与21不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列，再按照两项，一项，两项，一项的顺序循环分组：，那么在第（ ）组．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】正整数集中，划掉所有与21不互素的数等价于划掉3或7的倍数，
余下的数按题设要求可分组如下：
，，，，，，，；
，，，，，，，，
每行均有组（共个元素），且各组中的元素除以后余数相异，
而，故在第行，
而第行的第一组为，
第二组为，第三组为，
故为第行的第组．则在第组．
故选：A.
5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ．
【答案】
【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且，
所以．
故答案为：.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
3．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
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