资源简介 第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值目录01 常考题型过关练题型01 确定函数的单调性及求单调区间题型02 复合函数的单调性题型03 比较大小题型04 利用单调性解函数不等式题型05 利用单调性求参数的取值范围题型06 求最值（值域）题型07 判断函数的奇偶性题型08 根据奇偶求解析式题型09 利用奇偶求函数值或参数题型10利用奇偶和单调解不等式题型11 函数的周期性题型12 函数的对称性题型13对称、周期的综合02 核心突破提升练03 真题溯源通关练01 确定函数的单调性及求单调区间1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（ ） A． B．和 C． D．和2．函数的单调增区间是（ ）A． B． C． D．3．已知函数，则下列说法正确的是 .（1） 函数在上是单调递增（2） 函数在上是单调递增（3） 当时，函数有最大值（4） 当或时，函数有最小值02 复合函数的单调性4．函数的单调递减区间为（ ）A． B． C． D．5．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．为偶函数 B．的定义域为C． D．在定义域上单调递减6．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．的定义域为 B．的值域为C．是奇函数 D．在上单调递减7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．8．函数的单调递增区间是 ．03 比较大小9．已知，，，则有（ ）A． B． C． D．10．设则（ ）A． B．C． D．11．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）A． B．C． D．12．已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）A． B．C． D．04 利用单调性解函数不等式13．已知函数则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．14．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．15．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．16．已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是 .17．已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ．05 利用单调性求参数的取值范围18．已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．19．若函数在上单调，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．20．若函数在上单调，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．21．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．22．已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ．06 求最值（值域）23．函数的值域为（ ）A． B． C． D．24．函数，的最小值为（ ）A． B．0 C．5 D．+425．已知，函数，则下列各项中，不可能的是（ ）A．既有最大值，又有最小值 B．有最大值，且无最小值C．有最小值，且无最大值 D．既无最大值，也无最小值26．函数的最小值是 ．27．若，，求：(1)的单调区间；(2)在上的最小值和最大值．07 判断函数的奇偶性28．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）A． B．C． D．29．函数的部分图象大致为（ ）A． B．C． D．30．（多选）已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）A．是偶函数 B．是周期函数C．在上不单调 D．，有4个零点08 根据奇偶求解析式31．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ）A． B．C． D．32．已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）A． B． C． D．33．（多选）若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（ ）A．B．C．D．对恒成立，则的取值范围为34．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.09 利用奇偶求函数值或参数35．已知函数的图象关于原点对称，则（ ）A．4 B．3 C．2 D．136．函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）A． B． C．4 D．637．已知定义域为的奇函数，则的值为 ．38．若函数为偶函数，则 .10 利用奇偶和单调解不等式39．（多选）已知函数是奇函数，且，则（ ）A．B．C．在R上单调递增D．若对任意实数，不等式恒成立，则40．若函数，则的解集为41．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．42．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，则实数的取值范围为 ．11 函数的周期性43．（多选）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）A．函数的一个周期 B．C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点44．已知函数满足：，且，则（ ）A．1 B．2 C．3 D．445．（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（ ）A．是偶函数B．任意非零有理数都是的周期C．，D．若，则12 函数的对称性46．已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（ ）A．0 B．2025 C．2024 D．247．（多选）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数C． D．48．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ．49．（多选）已知是函数的极值点，则（ ）A．有1个零点B．当时，C．曲线关于点对称D．过点与曲线相切的直线有2条50．若函数的图象关于直线x=1对称，则 ．13 对称、周期的综合51．（多选）已知对任意，且，则（ ）A． B．C．的图象关于直线对称 D．52．（多选）定义在R上的偶函数满足，当时，．设函数，则下列结论正确的是（ ）A．的图象关于直线对称B．的图象在处的切线方程为C．D．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为853．（多选）设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（ ）A．是奇函数 B．C．点为曲线的对称中心 D．54．已知函数，的定义域为，，且满足，，则 .1．（多选）设函数，下列说法正确的是（ ）A．曲线为轴对称图形B．C．当时，D．若不等式恰有两个正整数解，则实数的取值范围为2．（多选）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）A．函数关于点对称B．函数关于直线对称C．函数的周期为4D．3．（多选）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则下列说法正确的有（ ）A． B．C．是奇函数 D．对任意的，存在唯一的，使．4．（多选）已知是定义在R上的奇函数，，不恒为零且为偶函数，则（ ）A．为偶函数 B．C． D．5．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ）A．方程有三个根 B．的单调减区间为和C．的最大值为 D．的最小值为6．（24-25高三下·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）A． B．C． D．7．（多选）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）A． B．在区间上单调递增C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点8．（24-25高二下·福建·期中）已知是函数的导函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为 .1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）A． B．C． D．2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）A． B． C． D．3．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）A． B． C．1 D．25．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A． B．C． D．21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值目录01 常考题型过关练题型01 确定函数的单调性及求单调区间题型02 复合函数的单调性题型03 比较大小题型04 利用单调性解函数不等式题型05 利用单调性求参数的取值范围题型06 求最值（值域）题型07 判断函数的奇偶性题型08 根据奇偶求解析式题型09 利用奇偶求函数值或参数题型10利用奇偶和单调解不等式题型11 函数的周期性题型12 函数的对称性题型13对称、周期的综合02 核心突破提升练03 真题溯源通关练01 确定函数的单调性及求单调区间1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（ ） A． B．和 C． D．和【答案】B【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可.【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和，故选：B．2．函数的单调增区间是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将写成分段函数判断即可.【详解】，故单调增区间是.故选：C3．已知函数，则下列说法正确的是 .（1） 函数在上是单调递增（2） 函数在上是单调递增（3） 当时，函数有最大值（4） 当或时，函数有最小值【答案】（2）（4）【分析】作出函数图象，结合图象分析即可得出答案.【详解】，作出函数的图象如下：由图象可知函数在上是单调递减，在上是单调递增，故（1）错误，（2）正确；由图象可知在或时，函数有最小值，没有最大值，故（3）错误，（4）正确；故答案为：（2）（4）.02 复合函数的单调性4．函数的单调递减区间为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出定义域，确定由复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数“同增异减”可得到答案.【详解】由题意知函数，令，所以，则由复合而成，由于在上单调递减，要求的单调递减区间，即求，的单调递增区间，而的对称轴为，则，的单调递增区间为，则函数的单调递减区间为.故选：B.5．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）A．为偶函数 B．的定义域为C． D．在定义域上单调递减【答案】BC【分析】先由对数的真数大于0求得函数定义域，由函数的奇偶性的定义得到函数的奇偶性，将自变量代入函数解析式求得函数值，由复合函数的单调性得到函数的单调性.【详解】，则，∴，∴的定义域为，B选项正确.，则为奇函数，A选项错误.，，∴，C选择正确.令，∵在区间上单调递减且，∴在区间上单调递增，∴在区间上单调递增，D选项错误.故选：BC.6．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（ ）A．的定义域为 B．的值域为C．是奇函数 D．在上单调递减【答案】BCD【分析】A.由分式函数的定义域求解判断；B.由正弦函数的值域判断；C.由函数奇偶性的定义判断；D.由复合函数的单调性判断.【详解】的定义域为，值域为，A错误，B正确．是奇函数，C正确．当时，，函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以在上单调递减，D正确．故选：BCD7．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复合函数单调性，结合定义域讨论可得.【详解】若，则当时，函数单调递增，又，函数在上单调递减，若，则当时，函数单调递减，只有时，才有可能使函数在上单调递减，，解得综上，实数的取值范围是故选：A8．函数的单调递增区间是 ．【答案】(或)【分析】根据对数函数，二次函数的单调性结合复合函数的单调性同增异减原则即得.【详解】函数的定义域为，令在定义域上为增函数，则在上单调递增，由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增，即函数单调递增区间为．故答案为：(或)03 比较大小9．已知，，，则有（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用两角差的正弦公式和二倍角公式化简a，b，c，再结合正弦函数、正切函数的单调性进行比较.【详解】由，，，因为函数，在上单调递增，所以，，则.故选：B.10．设则（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，求导分析单调性，再结合和对数的性质比较可得.【详解】令，则，所以在上单调递增，所以，即，又，即，可得，，所以，综上.故选：B.11．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先对已知条件进行变形，构造新函数，求出函数的表达式，再通过求导判断其单调性，最后比较、、的大小.【详解】已知，变形可得，从而有，所以，设，则，可设，所以，则，因为，所以，对求导，可得，当时，，，，所以，则在上单调递增，所以，当时，，，，所以，则在上单调递减，所以，，因为，所以，即，又，，所以，即，综上，.故选：D.12．已知定义在上的函数满足：，且，则（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知可得，进而可得，求得可判断AB；求得可判断CD.【详解】由得，，三式相加得，，即，又，所以，则，所以故A，B错误；，故C正确，D错误.故选：C．04 利用单调性解函数不等式13．已知函数则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分，，三种情况求解即可.【详解】当，即，又可得，当时，在上单调递增，由，可得，解得，当，即时，由，可得，所以，解得，当，即，由，得，所以，因为，所以不等式无解，综上所述：不等式的解集为.故选：C.14．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围.【详解】因为奇函数在上有定义，所以，所以所以，解得.所以的取值范围为.故选：D.15．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合指数函数、幂函数的单调性确定的单调性，构造函数并探讨奇偶性，再利用性质求解不等式.【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增，令，则函数在上单调递增，，即函数是奇函数，不等式，则，依题意，在上恒成立，而当时，，当且仅当时取等号，则，所以实数的取值范围是.故选：D16．已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是 .【答案】【分析】先通过构造函数求出的表达式，再研究单调性，求解不等式.【详解】设，对求导可得.已知，所以.可得（为常数）.因为，所以，则.对求导，可得.已知，将代入可得：，所以.求解不等式，即.当时，与都大于，令，对求导得.再令，对求导得.当时，，所以在上单调递增，则.因为，所以，即在上单调递增.又.所以由可得.故不等式的解集是.故答案为：.17．已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ．【答案】【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可.【详解】设则，故在R上单调递减，且，即，即，故.故不等式的解集为.故答案为：05 利用单调性求参数的取值范围18．已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同增异减可得的增减性，故可求实数的取值范围.【详解】设，因为为上的增函数，而在内单调递增，故为内的增函数，且在内恒成立，故，故，故选：D.19．若函数在上单调，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，且函数在上单调，根据复合函数的单调性，可得，即，所以的取值范围是.故选：A.20．若函数在上单调，则的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的单调性可知.对的取值范围进行分类讨论去绝对值，结合指数函数的单调性即可求解.【详解】当时，根据指数函数在上单调递增，可知.当时，，所以，在上单调递增；当时，，在上不单调；当时，，所以，在上单调递减.综上，.故选：C.21．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的性质可得不等式在上恒成立，利用分离参数法和基本不等式可得.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数的取值范围.【详解】由题意可知，在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立.又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号，所以.因为函数在上单调，所以在上单调，由复合函数单调性可知在上单调，所以结合二次函数的性质可得：或，解得或.综上所述，实数的取值范围为.故选：A.22．已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 ．【答案】【分析】由题意有和，又得，令，利用函数的单调性即可求解.【详解】∵是奇函数，是偶函数，在中，用去代换x，得，∴，，∵，∴由，可得，令，则在上单调递增．若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向上，符合题意；若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向下，则需，即；若，则在上单调递增，符合题意．综上，．故答案为：.06 求最值（值域）23．函数的值域为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用分离常数法，结合函数单调性求值域.【详解】由题意，，当时，函数单调递增，当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为，函数的值域为.故选：A.24．函数，的最小值为（ ）A． B．0 C．5 D．+4【答案】B【分析】根据正弦函数、一次函数的性质判断的区间单调性，即可求最小值.【详解】由在上单调递增，所以.故选：B25．已知，函数，则下列各项中，不可能的是（ ）A．既有最大值，又有最小值 B．有最大值，且无最小值C．有最小值，且无最大值 D．既无最大值，也无最小值【答案】C【分析】通过讨论，，，，求得函数值域，即可判断.【详解】当时，单调递增，易得：，当时，，不妨假设易知，当时，的值域为，既有最大值，也有最小值，当时，，既无最大值，也无最小值，当时，，有最大值，无最小值，当，，既无最大值，也无最小值，综上可知，ABD可能，C不可能，不选：C26．函数的最小值是 ．【答案】【详解】由得的定义域为．又函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增．所以当时，．27．若，，求：(1)的单调区间；(2)在上的最小值和最大值．【答案】(1)的增区间为；单调递减区间为(2)，【分析】（1）求导，令，，解不等式即可；（2）由（1）可知在单调递减，在单调递增，故只需计算即可.【详解】（1），由解得或，由解得，所以的单调递增区间为,单调递减区间为；（2）， （舍）或，由（1）可知在单调递减，在单调递增，, ,，所以在上的最小值和最大值依次为，.07 判断函数的奇偶性28．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正切函数的周期即可判断A；由正弦函数的周期及奇偶性即可判断B；由二倍角公式化简函数，再根据正、余弦函数的周期及奇偶性即可判断CD．【详解】对于A，的最小正周期为，故A不合题意；对于B，的最小正周期为，令，定义域为，因为为偶函数，故B不合题意；对于C，，最小正周期为，令，定义域为，为偶函数，故C不合题意；对于D，，最小正周期为，令，定义域为，，为奇函数，故D符合题意，故选：D．29．函数的部分图象大致为（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B.【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D.当时，，所以，排除B.故选：A.30．（多选）已知函数，下列关于该函数结论正确的是（ ）A．是偶函数 B．是周期函数C．在上不单调 D．，有4个零点【答案】ABD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用函数对称性的定义可判断D选项.【详解】对于A，易得的定义域为.，所以是偶函数，故A正确；对于B，因为，所以的一个周期是，故B正确；对于C，看成由，和复合而成，又，单调递增且，单调递减，所以在上单调递减，故C错误；对于D，同理可得在上单调递增，易得简图如下：又的最大值为，所以，与有4个交点，故选项D正确.故选：ABD.08 根据奇偶求解析式31．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由偶函数的性质即可求解.【详解】当时，，因为函数是定义在上的偶函数，所以，故选：C32．已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据偶函数的性质，结合条件求，再代入求值.【详解】由偶函数的性质可知，，得，即时，，.故选：C33．（多选）若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（ ）A．B．C．D．对恒成立，则的取值范围为【答案】BCD【分析】先由奇偶函数的性质组成方程组求出和的表达式，然后由指数函数的运算性质可得A错误，BC正确；利用换元法结合二次函数的性质可得D正确.【详解】因为，——①所以，又因为是奇函数，是偶函数，所以，——②由①②，解得，.对于A，，故A错误；对于B，，，故B正确；对于C，，，故C正确；对于D，，令，则原式变为，令，由二次函数的性质可得要使在时恒成立，则，故D 正确.故选：BCD34．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函数的性质求时的对应解析式，即可得；（2）根据函数的定义域及单调性得，即可求参数范围.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，当时，，任取，则，所以，因为函数是定义在上的奇函数，所以，，综上，；（2）当时，，所以在上单调递增；因为函数是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增，所以可化为：即，解得：，即实数的取值范围是.09 利用奇偶求函数值或参数35．已知函数的图象关于原点对称，则（ ）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】由奇函数的定义，转化为恒成立问题求解即可.【详解】易知的定义域为，且是奇函数，则对任意均成立，，即解得．故选：D.36．函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）A． B． C．4 D．6【答案】C【分析】由求得，再由即可求解.【详解】由题意可得，解得，则.故选：C37．已知定义域为的奇函数，则的值为 ．【答案】0【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且，解得且．所以．38．若函数为偶函数，则 .【答案】【分析】由为奇函数即可求解.【详解】因为函数为偶函数，而是偶函数，是奇函数，所以为奇函数，，得；若，函数，定义域为,不关于原点对称，函数不是偶函数，若，代入验证符合题意.故答案为：10 利用奇偶和单调解不等式39．（多选）已知函数是奇函数，且，则（ ）A．B．C．在R上单调递增D．若对任意实数，不等式恒成立，则【答案】ACD【分析】根据奇函数的性质得出.然后分别将以及代入，计算即可得出答案；求出函数的定义域，分以及，结合复合函数的单调性，即可判断C项；根据函数的性质结合已知转化推得，即有在R上恒成立，进而判断D项.【详解】对于A、B，由已知可得，，又函数为奇函数，所以有，即，所以有，所以有，解得.当时，有，此时有，不满足题意；当时，有，此时有，满足题意.故.故A正确，B错误；对于C项，，定义域为R.当时，易知函数，在上单调递增，在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增；而为奇函数，故在R上单调递增.故C正确；对于D项，由已知结合C项可知，在R上单调递增，且为奇函数，所以由可得，，所以有，所以有在R上恒成立.易知，当时，取得最小值为.要使在R上恒成立，所以.故D正确.故选：ACD.40．若函数，则的解集为【答案】【分析】先构造函数，通过分析的奇偶性与单调性，再结合已知条件求解不等式的解集.【详解】构造函数并分析其性质，设，其定义域为.判断奇偶性：.对进行变形，.所以，则是奇函数.判断单调性：对于，因为在上单调递增，且对数函数在上单调递增，根据复合函数“同增异减”的性质，可知在上单调递增.对于在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增.所以在上单调递增.将进行转化，已知，则.所以可转化为，即.因为是奇函数，所以.又因为在上单调递增，所以.移项可得，即，解得.故的解集为.故答案为：.41．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 ．【答案】【分析】分析可知函数是上的增函数，也是奇函数，可将所求不等式等价变形为在上恒成立，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】显然函数是上的增函数，也是奇函数，因为在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其中，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，故．因此，实数的取值范围是.故答案为：.42．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，则实数的取值范围为 ．【答案】【分析】分和讨论，当时，分的取值化简，利用奇偶性画出函数图象，数形结合解不等式可得.【详解】时，显然符合；时，当时，，当时，，当时，．画出其图象，由于函数是定义在上的奇函数，即可画出时的图象，与时的图象关于原点对称．，由图象可知．解得，实数的取值范围为．故答案为：．11 函数的周期性43．（多选）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（ ）A．函数的一个周期 B．C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点【答案】ABC【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于B：根据奇函数的性质结合周期性分析判断；对于C：整理可得，结合对称性的定义分析判断；对于D：举反例说明即可.【详解】对于选项A：由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，可知函数的一个周期为，故A正确；对于选项B：由可得，则，即，且，又因为，所以，故B正确；对于选项C：因为，可得点是图象的一个对称中心，故C正确；对于选项D：例如满足题意，但在上有无数个零点，故D错误；故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．44．已知函数满足：，且，则（ ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据已知得到函数的一个周期为8，再利用周期性求函数值.【详解】根据题意，，显然，所以，所以，函数的一个周期为8，所以.故选：A45．（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（ ）A．是偶函数B．任意非零有理数都是的周期C．，D．若，则【答案】ABC【分析】选项A根据偶函数的定义可判断；选项B根据周期函数的定义可得；选项C根据函数解析式分类代入可得；选项D举反例若，，可判断.【详解】选项A：当为有理数时，则也是有理数，则，当为无理数时，则也是无理数，则，故当时，，故A正确；选项B：，当为有理数时，则也是有理数，，当为无理数时，则也是无理数，，故B正确选项C：当为有理数时，，，当为无理数时，，，故C正确；选项D：若，，则，但，故D错误，故选：ABC12 函数的对称性46．已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（ ）A．0 B．2025 C．2024 D．2【答案】D【分析】根据题意结合奇函数定义可得，可知4为的一个周期，且，结合周期性运算求解即可.【详解】因为，且函数是定义在上的奇函数，则，即，令，可得；令，可得；可得，则，可知4为的一个周期，且，所以.故选：D.47．（多选）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ）A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数C． D．【答案】BC【分析】由题意可得，可判断A；令，可得，进而可判断B；由已知可得是偶函数，进而计算可得，进而可得，，进而计算可判断C；利用作差法可得，进而求得在区间上单调递减，可得结论判断D.【详解】因为，所以，所以关于点中心对称，故A错误；令，所以，又，所以，故为奇函数，故B正确；又因为，所以是偶函数，所以，所以，所以，所以是周期为4的函数，令，得，令，得，令，得，所以，故C正确；，又，故，又因为当，单调递减，且，所以，所以关于点中心对称，所以在区间上单调递减，所以，所以，故D错误.故选：BC.48．已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则 ．【答案】【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质推导出的周期，再求出函数值.【详解】由是定义在上的奇函数，得，即，而，则，，因此函数的周期为8，且，当时，，则，所以.故答案为：49．（多选）已知是函数的极值点，则（ ）A．有1个零点B．当时，C．曲线关于点对称D．过点与曲线相切的直线有2条【答案】ACD【分析】求出导函数，利用极值点的性质求得，然后求出的单调区间，结合单调性及极值的符号，根据零点存在定理判断零点个数判断A；先判断，再根据单调性判断B；由判断曲线的对称性判断C；设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，将点代入切线方程化简得，进而求出切点坐标，即可判断切线条数判断D.【详解】由得，则，解得，则，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，极大值为，满足是函数的极值点，又，由零点存在定理得有1个零点，A正确；由，得，，所以，又在上单调递增，所以，故B错误；因为，所以曲线关于点对称，C正确；设过点的直线与曲线相切于点，所以切线方程，将点代入切线方程为，整理得，即，解得，或，过点的直线与曲线相切于点或，因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确．故选：ACD．50．若函数的图象关于直线x=1对称，则 ．【答案】4【分析】根据函数对称性定义列式代入计算求参.【详解】因为函数的图象关于直线x=1对称，所以，所以，所以，所以，所以.故答案为：4.13 对称、周期的综合51．（多选）已知对任意，且，则（ ）A． B．C．的图象关于直线对称 D．【答案】AC【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值，函数的奇偶性、对称性和周期性，以及利用这些性质进行数列求和逐步推导函数的各项性质，进而判断选项的正确性.【详解】由题意得任意，，且，令，则，则．令，则，故A正确．令，则，所以的图象关于直线对称，故C正确．令，则，结合C选项，得，所以有，则为奇函数．又因为的图象关于直线对称，所以是以2为周期的函数，所以，故B错误．令，则，，故D错误．故选：AC．52．（多选）定义在R上的偶函数满足，当时，．设函数，则下列结论正确的是（ ）A．的图象关于直线对称B．的图象在处的切线方程为C．D．的图象与的图象所有交点的横坐标之和为8【答案】AC【分析】根据奇偶性和对称性判断A；根据周期性和对称性求出函数解析式，进而求出切线方程判断B；根据周期性求出目标式的值判断C；数形结合，求出交点的横坐标的和判断D.【详解】对于A，由为偶函数，得，即，则，函数的图象关于直线对称，A正确；对于B，由A得是周期函数且周期为，当时，，则，当时，，，切线方程为：，B错误；对于C，由的周期为得：，C正确；对于D，，函数的图象关于对称，而，且时，此时在上为增函数，故图象如图所示：由图得的图象与的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10，D错误.故选：AC53．（多选）设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（ ）A．是奇函数 B．C．点为曲线的对称中心 D．【答案】ACD【分析】根据函数奇偶性的概念可判断A；由为奇函数，知，从而结合，可得的值，即可判断B；根据复合函数求导结合函数的对称性即可得判断C；根据函数的奇偶性、对称性可得的周期性，由周期性可得的值，即可判断D.【详解】A.在中，令，得，所以，故是奇函数，A正确；B.由定义域为，且为奇函数，知，在中，令，得，B错误；C.因为，所以，故，又因为，所以，即，所以点为曲线的对称中心，C正确；D. 因为是奇函数，所以，故，即是偶函数，由得，，故，即的周期为4，因为，所以，即，在中，令，得，所以，D正确.故选：ACD.54．已知函数，的定义域为，，且满足，，则 .【答案】【分析】由题意得的对称中心为，对称轴为直线，进一步得的周期，求出对应的函数值结合周期性计算可得到答案.【详解】由得，又因为，所以，即的对称中心为.由得，即（常数），令，得，所以，即的对称轴为直线，所以，由得，故，，所以，故的周期.因为，所以，中，令，得，由得，在中，令，得，故，所以.故答案为：.1．（多选）设函数，下列说法正确的是（ ）A．曲线为轴对称图形B．C．当时，D．若不等式恰有两个正整数解，则实数的取值范围为【答案】BC【分析】对于A，利用对称轴的定义计算判断即可；对于B，根据解析式计算得，由此对所求式进行并组求和，即得；对于C，作差后利用因式分解和配方法，结合自变量范围可推得差小于0即可；对于D，代入，将其分解因式后求出不等式解为或，因，即得此时不等式仅有1个正整数解，故不符合要求，即D错误.【详解】对于A，不妨设曲线有一条对称轴为直线，则，而，显然，故曲线不是轴对称图形，即A错误；对于B，因，则，故B正确；对于C，由，因时，，且，故，故C正确；对于D，不妨取，则不等式为，整理得：，即，解得或，因故此时不等式恰有一个正整数解为2，不合题意，故实数的取值范围不可能是，即D错误..故选：BC.2．（多选）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）A．函数关于点对称B．函数关于直线对称C．函数的周期为4D．【答案】AC【分析】利用复合函数的奇函数定义及复合函数的导数法则，结合函数的对称性及周期性即可求解.【详解】对于A，因为为奇函数，所以，所以函数关于点对称，故A正确；对于B，因为，所以，所以，又，所以，所以，即，所以函数的图象关于点对称，故B错，对于C，因为，所以，所以，为常数，因为，所以，所以，取，可得.所以，由，得，所以，即，所以，所以函数是周期函数，且周期为，又，即，所以函数也是以周期得周期函数，故C正确；对于D，因为，，所以，即，所以，则，所以，，无法确定该值，故D错误.故选：AC.3．（多选）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则下列说法正确的有（ ）A． B．C．是奇函数 D．对任意的，存在唯一的，使．【答案】ACD【分析】根据函数新定义利用指数的运算性质判断A，B；结合函数新定义根据奇偶性定义判断C，先根据函数定义得，然后结合指数函数性质判断单调性并求出值域即可判断D.【详解】对于A，，正确；对于B，，错误；对于C，的定义域为，关于原点对称，，所以是奇函数，正确；对于D，，由在上单调递增及单调性的性质可知，在上单调递增，因为，所以，所以，即函数的值域为，所以对任意的，存在唯一的，使，正确.故选：ACD4．（多选）已知是定义在R上的奇函数，，不恒为零且为偶函数，则（ ）A．为偶函数 B．C． D．【答案】ABD【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义、复合函数的求导法则，结合周期性逐项分析判断.【详解】对于A，由是上的奇函数，得，求导得，即，因此为偶函数，A正确；对于B，由为偶函数，得，求导得，令，得，则，B正确；对于C，由为偶函数，得，无条件说明成立，C错误；对于D，，则，，且，即，函数的周期是8，，D正确.故答案为：ABD5．记实数中的最大数为，最小数为，则关于函数的说法中正确的是（ ）A．方程有三个根 B．的单调减区间为和C．的最大值为 D．的最小值为【答案】A【分析】由的定义作出函数图象，结合图象依次判断各个选项即可.【详解】由的定义作出函数图象，如图， 由图象可知：对于A，的图象与直线有且仅有三个不同交点，即有三个根，A正确；对于B，的单调递减区间为和，B错误；对于C，，C正确；对于D，无最小值，D错误.故选：A6．（24-25高三下·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】当时，利用函数的单调性解不等式，再利用是偶函数解不等式即可.【详解】由对数函数和一次函数的单调可得是增函数，且，所以当时，的解集为，因为是奇函数，易知是偶函数，当时，可得，根据偶函数知：当时，可得，故选：A.7．（多选）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）A． B．在区间上单调递增C．的图象关于直线对称 D．函数有5个零点【答案】ACD【分析】A先由条件得出，即可得出的一个周期为4，再结合题中给出的解析式以及周期性即可求解；B先证明是偶函数，再结合周期性以及在上的单调性即可；C利用偶函数以及周期性可得；D画出与的图象，判断两个图象的交点个数即可.【详解】为奇函数，故，即①，又为偶函数，故②，则由①②可得，，则，则的一个周期为4，在①中令有，又当时，，则，则，所以，故A正确；由②可得，，则，即函数是定义在上的偶函数，因时，，则是上的增函数，则是上的减函数，因是的一个周期，则是上的减函数，故B错误；因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以的图象关于直线对称，故C正确；函数的零点个数可以转化为与图象的交点个数，由题意得与的图象如下：当时，，当时，，当时，，结合图象可知，函数在上存在1个零点，当时，，当时，，由此可得与的图象有5个交点，所以有5个零点，故D正确．故选：ACD．8．（24-25高二下·福建·期中）已知是函数的导函数，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为 .【答案】【分析】构造新函数，利用导数的单调性即可求解不等式.【详解】设，所以，所以在上单调递减，由，可得，所以，所以，解得，即不等式的解集为.故答案为：1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误；对B，设，函数定义域为，且，则为偶函数，故B正确；对C，设，，，则不是偶函数，故C错误；对D，设，函数定义域为，因为，且不恒为0，则不是偶函数，故D错误.故选：B.3．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）A．当时，有三个零点B．当时，是的极大值点C．存在a，b，使得为曲线的对称轴D．存在a，使得点为曲线的对称中心【答案】AD【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.【详解】解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以符合题意；故选：D.5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ） A． B．C． D．【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当时、，即A、C中上函数值为正，排除；故选：D21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（专项训练）（原卷版）.docx 2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（专项训练）（解析版）.docx
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