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第02讲 平面向量的基本定理及坐标表示
目录
01 常考题型过关练
题型01 对基向量概念的理解
题型02 用基底表示向量
题型03 利用平面向量基本定理求参数
题型04平面向量的坐标运算
题型05 向量共线的坐标表示
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 对基向量概念的理解
1．若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．（多选）设是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．（多选）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
02 用基底表示向量
5．如图，中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在平行四边形ABCD中，，，记，，则（ ）．
A． B．
C． D．
8．如图，平行四边形中，点是的中点，，，设，．
(1)用，表示，；
(2)若，，求的余弦值．
03 利用平面向量基本定理求参数
9．在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ）
A．0 B． C． D．1
10．在中，，点为与的交点，，则（ ）
A．0 B． C． D．
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．平行四边形中，E为中点，与交于O，记，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
13．在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则
04 平面向量的坐标运算
14．已知点，点，则（ ）
A． B． C． D．
15．如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（ ）
A． B．1 C．5 D．
16．已知，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
17．已知，且，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（ ）
A．2 B． C．0 D．
19．已知平面向量，则 ．
20．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ．
21．已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足.
(1)求点的坐标；
(2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论.
05 向量共线的坐标表示
22．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
23．（多选）延长正方形的边至点，使，动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列正确的是（ ）
A．若，则点与点重合
B．若点与点重合，则，
C．满足的点有2个
D．满足的点有且只有1个
24．已知向量，若，则
1．已知、分别为等差数列、的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为 ．
2．已知O为的外心，满足，若的最大值为，则 ．
3．已知向量满足，且，则的值为 .
4．如图，菱形中，，，，点在线段上，且，则 ．
5．在平面直角坐标系中，，，点满足，，则的取值范围为 ．
1．（新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2004·安徽·高考真题）已知向量,且,则的值分别为(　　)
A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2
3．（福建·高考真题）已知，点C在内，且.设，则等于（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
5．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 平面向量的基本定理及坐标表示
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01 常考题型过关练
题型01 对基向量概念的理解
题型02 用基底表示向量
题型03 利用平面向量基本定理求参数
题型04平面向量的坐标运算
题型05 向量共线的坐标表示
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 对基向量概念的理解
1．若，是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.
【详解】因为，是平面内一组不共线的向量，
设，无解，，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误；
设，则，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误；
设，则，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误；
，，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确；
故选：D.
2．（多选）设是平面内一个基底，则下列四组基底中，能作为基底的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【分析】根据向量共线分别判断各个选项即可得出基底.
【详解】选项A，假设与共线，则存在实数，使得，即，
因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底.
选项B，因为，所以与共线，不能作为基底.
选项C，假设与共线，则存在实数，使得，即，
因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底.
选项D，假设与共线，则存在实数，使得，即，
因为，是基底，所以无解，所以与不共线，可以作为基底.
故选：ACD.
3．（多选）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】通过判断向量是否共线即可得解.
【详解】对于A，令，即，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确；
对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误；
对于C，令，即，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确；
对于D，令，即，
所以无解，
故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确
故选：ACD.
4．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，因为不共线， 且都是非零向量，所以A符合题意；
对于B，因为，所以与共线，故B不符合题意；
对于C，因为为零向量，所以C不符合题意；
对于D，因为，所以与共线，所以D不符合题意；
故选：A
02 用基底表示向量
5．如图，中，，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的线性运算化简可得出关于、的表达式.
【详解】在中，，，故，
，
因此.
故选：A.
6．如图，已知在中，，，和交于点E，若，则以为基底表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，进而可得，利用三点共线可求得，进而利用向量的线性运算可求得.
【详解】因为，所以，又因为三点共线，
所以设，又，所以，
所以，又三点共线，所以，解得，
所以，
所以.
故选：C.
7．在平行四边形ABCD中，，，记，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知及向量加减、数乘的几何意义用，表示出.
【详解】由题设，其中，
故．
故选：B
8．如图，平行四边形中，点是的中点，，，设，．
(1)用，表示，；
(2)若，，求的余弦值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）结合图形，利用平面向量的线性运算即可求解；
（2）先根据平面向量模的求法及向量数量积的运算法则求出 ，；再根据向量夹角的求法即可求解.
【详解】（1）由平行四边形性质可得：.
因为点是的中点，
所以.
又因为，，
所以，
.
（2）因为，，
所以， .
又因为，
，
所以
.
03 利用平面向量基本定理求参数
9．在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【分析】选一组基底，利用平面向量基本定理即可求解.
【详解】
因为是边上靠近点的三等分点，是的中点，
所以，
所以，
因为，不共线，所以.
故选：C.
10．在中，，点为与的交点，，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理得到，，从而列出方程组，求出，得到，求出答案.
【详解】因为，所以为中点，
三点共线，故可设，即，
整理得，
因为，所以，即，
又三点共线，
则，
所以，解得，
可得，则，.
故选：D.
11．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点为的重心，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件得出向量之间的关系，再通过向量的运算法则逐步推导出关于和的表达式，从而确定和的值，最后计算.
【详解】如图，延长AG与BO相交于点，可得为OB的中点，可得，
由，有，有，
又由，
有，可得.
故选：A.
12．平行四边形中，E为中点，与交于O，记，，，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题根据平面向量加减与数乘运算结合平面向量基本定理即可得解.
【详解】由题意得，
所以，，．
故选：B．
13．在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线，则
【答案】8
【分析】根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理，使用基地表示出各向量，根据向量关系列出参数的方程，求出参数关系.
【详解】因为，所以，则，
所以，，
因为为的中点，故．
又因为、、三点共线，则，
所以，存在，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，所以，
所以，，故．
故答案为：8.
04 平面向量的坐标运算
14．已知点，点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示求解.
【详解】点，点，则.
故选：B
15．如果用，分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且，，若，则（ ）
A． B．1 C．5 D．
【答案】B
【分析】利用向量的坐标表示求解即得.
【详解】由，，得，由，得，
因此，所以.
故选：B
16．已知，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算的坐标表示求解即可.
【详解】由题意得，
因为，
所以
故.
故选：A.
17．已知，且，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，求得，结合向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由向量，因为，可得，解得，
即，所以.
故选：A.
18．如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，且，则的最大值是（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】以所在直线为轴建立坐标系，根据三角函数定义，写出的坐标，用三角函数表示出参数，进而将问题转化为求三角函数的值域，即可求得结果.
【详解】以所在直线为轴，为坐标原点，建立如图所示直角坐标系：
设，则根据三角函数定义，，且，
同时，由可得：
，也即，，
则，，
则，，
则，，故，
也即的最大值为.
故选：A.
19．已知平面向量，则 ．
【答案】
【分析】根据向量加法的坐标运算计算即可得解.
【详解】.
故答案为：
20．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可；
【详解】点，，点在线段的延长线上，且，
设点的坐标为，则，，且，
即，解得，
所以点为．
故答案为：．
21．已知，，三点的坐标分别为，，，且点满足.
(1)求点的坐标；
(2)若点满足，判断向量与向量是否共线，并证明你的结论.
【答案】(1)
(2)共线，证明见解析
【分析】（1）设出点的坐标，再利用向量的坐标运算即可求解；
（2）利用向量共线定理即可证明.
【详解】（1）设，因为，，则，，
因为，所以，即，
解得，所以；
（2）向量与向量共线，证明如下：
设，因为，，
所以，，因为，
则，
即，解得，所以，
所以，，所以，故与共线.
05 向量共线的坐标表示
22．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】由平面向量的共线定理可得，再结合基本不等式即可求得答案.
【详解】因为三点共线，所以存在实数，使，即，
又向量不共线，所以，整理，得，
由，所以，
当且仅当时，取等号，即的最小值为4.
故选：B．
23．（多选）延长正方形的边至点，使，动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点，若，则下列正确的是（ ）
A．若，则点与点重合
B．若点与点重合，则，
C．满足的点有2个
D．满足的点有且只有1个
【答案】AC
【分析】对于选项A和选项B，直接将选项中的条件代入，结合向量的加法法则判断，对于选项C和选项D，建立平面直角坐标系，再根据点的坐标和选项中的条件表示出点，依次分析点在四条边上的情况即可判断.
【详解】选项A：已知，，即，
若，则，
故点与点重合，选项A正确；
选项B：若点与点重合，则，
故，，选项B错误；
选项C：以为原点，为轴建立平面直角坐标系，
，，，若，则，，
，当在上时，，解得，为点，
当在上时，，解得，，为点，
当在上时，，解得，，不符合题意，
当在上时，，解得，，
综上，满足的点有2个，一个是点，一个是，选项C正确；
选项D：若，则，，
，当在上时，，解得，，不符合题意，
当在上时，，解得，，
当在上时，，解得，，不符合题意，
当在上时，，解得，，综
上，满足的点有2个，一个是，一个是，选项D错误.
故选：AC.
24．已知向量，若，则
【答案】/0.28
【分析】由向量共线关系得出方程，求解，再由余弦二倍角求得结果.
【详解】由，可得，即，
，解得：或（舍），
．
故答案为：.
1．已知、分别为等差数列、的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为 ．
【答案】/
【分析】设，则，求出、的值，可得出的值，设，利用平面向量的线性运算、平面向量的基本定理以及，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.
【详解】因为、分别为等差数列、的前项和，，
设，则，
所以，
，
所以，所以，
因为点是直线上一点，点是直线外一点，
设，即，所以，
由题意可知、不共线，由平面向量基本定理可得，解得.
故答案为：.
2．已知O为的外心，满足，若的最大值为，则 ．
【答案】
【分析】设，得，得的最大值为，要使取最大值，得是等腰三角形后可求解问题.
【详解】如图，延长交于，设，则，
因为在上，所以，即，
所以的最大值为，
设外接圆的半径为，所以，
当最大时，即最小时，即时，取最大值，
所以，解得，
此时是等腰三角形，，
.
故答案为：.

3．已知向量满足，且，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，设，根据向量的模可得，且，从而可解.
【详解】根据题意，设，则，
，
由于，所以，
则，得，
所以，即，所以.
故答案为：
4．如图，菱形中，，，，点在线段上，且，则 ．
【答案】
【分析】由题意得出，分别是，的一个三等分点，设，然后把用，表示可得，和已知等式相比，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
所以，分别是，的一个三等分点，，，
设，
则
，
又，
所以，解得，
所以.
故答案为：．
5．在平面直角坐标系中，，，点满足，，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】法一：点在以为圆心，半径为的圆B上，利用三角代换可得，结合已知可得，进而计算可求得的取值范围.法二：点在以为圆心，半径为的圆B上．过作直线的平行线，求得的坐标，进而可求得的最值可得取值范围.
【详解】法一：，点在以为圆心，半径为的圆B上．
设，由已知，得
，
，
，
当时，；当时，，
的取值范围为．
法二：，点在以为圆心，半径为的圆B上．
过作直线的平行线，设此平行线方程为，
则，解得，所以直线方程为，令，则，
则，且，所以在圆上，
直线与圆的另一交点为，与轴的交点为，过作轴于，
则，所以可得，又，
所以，解得，所以，所以，
设，由，所以，
所以，所以当取得最值时，取得最值，
设，当与圆相切时，取得最值，此时即为与圆的交点，
当与重合时，由，得，，
，
此时．
当与重合时，，又，
，此时，
的取值范围为．
1．（新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
2．（2004·安徽·高考真题）已知向量,且,则的值分别为(　　)
A．－2，1 B．1，－2 C．2，－1 D．－1，2
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算列出关于的方程组求解即可.
【详解】因为,所以.
所以解得.
故选：D．
3．（福建·高考真题）已知，点C在内，且.设，则等于（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得,建立坐标系，由已知条件可得，进而可得，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以,
又因为点C在内，且，
建立如图所示的坐标系：
则,,
又因为，
所以，
所以，
所以.
故选：B.
4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，，解得．
故答案为：15．
5．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
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