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第03讲 导数与函数的极值、最值
目录
01 常考题型过关练
题型01 函数图象与极值（点），最值的关系
题型02 求已知函数的极值（点）
题型03 根据函数的极值（点）求参数
题型04求函数的最值（不含参）
题型05 求函数的最值（含参）
题型06 根据函数的最值求参数
题型07 函数的单调性、极值、最值的综合应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 函数图象与极值（点），最值的关系
1．已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．2是的极大值点 B．在处的切线斜率大于0
C． D．在上一定存在最小值
【答案】C
【详解】由图像得在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，显然2是的极大值点，故A正确，
由图像得，而在处的切线斜率即为，
结合可得在处的切线斜率大于0，故B正确，
由图像得在上单调递减，故成立，故C错误，
由图像得在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
是函数极小值，且，，
故在上一定存在最小值，故D正确.
故选：C
2．函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上存在极小值点 D．在上有最大值
【答案】B
【详解】时，，时，，故在上不单调，A选项错误；
时，，故在上单调递减，B选项正确；
时，，故在上单调递减，无极值点，C选项不正确；
时，，在上单调递增，虽然确定了的单调性，但没有的解析式，
故无法确定在上是否有最大值，D选项不正确．
故选：B．
3．如图所示为函数的导函数图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
①单调减区间是； ②和4都是极小值点；
③没有最大值； ④最多能有四个零点.
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】C
【详解】观察图象知，当或时，，当或时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上不单调，①错误；
和4都是极小值点，②正确；
函数在取得极大值，
当不小于函数在上的所有函数值时，函数有最大值，③错误；
当，，且函数函数在上的图象都与轴相交时，
函数在上各有1个零点，共有4个零点，
因此最多能有四个零点，④正确，
所以关于函数的说法正确的有②④.
故选：C
4．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值
【答案】D
【详解】由导函数图像可知，当或时，，
当，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故选项A，B错误；
在处取得极大值，且，故C错误，D正确；
故选：D.
5．（多选）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ）

A．在上单调递减 B．在处取得极大值
C．在上单调递减 D．在处取得最小值
【答案】BC
【详解】由导函数的图象可知，当时，当时，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值.
故正确的有BC.
故选：BC
02求已知函数的极值（点）
6．函数的极大值点是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】，
令，解得：或，
令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故的极大值点是.
故选：A.
7．函数的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【详解】函数的定义域为，
又，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
即恒成立，所以在上单调递增，则不存在极值点.
故选：A
8．函数的极小值点为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】.
令，得；令，得.
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以极小值点为1.
故选：B.
9．函数的极小值点为 ．
【答案】
【详解】由可得，
令可得，即，解得，
当时，，即单调递减，
当时，，即单调递增，
所以是的极小值点.
故答案为：
10．函数的极值点是 ．
【答案】3
【详解】的定义域为，所以，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以是的极大值点，无极小值点.
故答案为：3
03 根据函数的极值（点）求参数
11．已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A． B． C．0 D．或1
【答案】A
【详解】由题知在时取得极大值，
，解得或，
当时，，
由，在区间上单调递增；
由在区间上单调递减．
此时在时取得极大值，满足题意，
当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去．
．
故选：A.
12．已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】对函数求导得：，
又由是函数的极小值点，所以，
还需分析在附近的符号变化，令，
则，，
当时，，即在附近单调递增，又，
所以当时，，当时，，满足0是的极小值点；
当时，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，
所以单调递增，此时无极小值点；
当时，，即在附近单调递减，
又，所以当时，，当时，，
此时0是的极大值点，不符合题意；
综上所述：a的取值范围为.
故选：B
13．已知函数在上有且仅有3个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，且为奇函数，，
因为函数在上有且仅有3个极值点，所以函数在上有且仅有3个零点，
即得在上有且仅有1个零点，
当时，时，，所以在上无零点，不合题意；
当时，时，令，，
若，则单调递增，，时，恒成立，所以在上无零点，不合题意；
若，则，，
令，
则时，，即单调递增，
故函数在即上存在唯一零点，满足题意.
综上所述，.
故选：B.
14．（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为，求导得，
由是的极值点，得，解得，
此时，当时，；当时，，
因此是的极值点，所以.
故选：B
15．已知函数在区间上存在极小值点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】由得，
令，则其对称轴方程为，
因为函数在区间上存在极小值点，所以不符合题意；
若，则，解得；
若，由于，在区间上单调递减，且，
所以函数在区间上不存在极小值点；
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：.
04求函数的最值（不含参）
16．已知函数，为的导函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极值，求的单调区间和最值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，
则，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由，，则，
所以，
则，
因为函数在处取得极值，
所以，解得，
此时，
则，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则时，函数取得极小值，满足题意，即，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
当时，函数取得最小值，无最大值.
17．已知在处取得极值.
(1)求实数的值：
(2)求在区间上的值域.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，则，因为在处取得极值，所以，解得，
此时，则，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则时，函数取得极小值，符合题意，则.
（2）由（1）知，，且函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为，值域为.
18．已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)当时，求函数的最小值．
【答案】(1)递增区间为，递减区间为；极大值为，极小值为
(2)
【详解】（1）由题意得在上，故，
而，由题意得，
又，解得，故；
此时，
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上为减函数，
且的极大值为，极小值为.
（2）由（1）得当时，单调递增，当时，单调递减，
而，
故当时，函数的最小值为.
19．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，
又
令，解得 ，令，则或，
所以的单调递减区间为，单调递增区间.
（2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
则，解得，
所以，又，，
所以在区间上的最小值为.
20．已知函数．
(1)求函数的极大值；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)极大值为24；
(2)．
【详解】（1）由，得，
令，得或．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以当时，取到极大值，
所以函数的极大值为24．
（2）由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
又，
所以在区间上的最小值为．
05 求函数的最值（含参）
21．已知函数．
(1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求的最值．
【答案】(1)只有1条，
(2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值．
【详解】（1）当时，，则，
由题意可知点在曲线上，
①所以当是切点时，则切线斜率为
进而切线方程为，即，
②当不是切点时，设切点为，且，
则切线斜率为，
进而切线方程为，
化简得，
将代入上式，得，
化简得，解得（舍），进而此时没有切线，
综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为．
（2），
当时，由解得，由解得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，没有最大值；
当时，由解得，由解得，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，没有最小值．
综上，当时，，没有最大值；
当时，，没有最小值．
22．已知函数；
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值．
【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为.
(2)答案见解析.
【详解】（1）函数定义域为，
当时，，
则，
令，
令，
所以的单调增区间为，单调减区间为.
（2），
令解得
①当时，
当时，在区间上单调递增，
当时， 在区间上单调递减．
.
②当时，
当时，，在区间单调递增．
.
综上所述，当时，，
当时，.
23．函数
(1)若在处取得极小值，求实数的取值范围，
(2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
令得或，
当时，
所以在递增，在递减，则为极大值点，不符合题意；
当时，
在递减，在递增，则为极小值点，符合题意；
所以的取值范围为.
（2）当时，
在递增，在递减，
又，，
，，
，满足，则，
当时，
在递减，在递增，
，，
，满足，则，
综上：.
24．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值．
【答案】(1)单调递增区间为，，单调减区间为
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，，
令，解得或
当变化时，和的变化情况如表所示：
0 4
0 0
单调递增 单调递减 单调递增
所以函数的单调递增区间为，，单调减区间为.
（2），令，解得或
当时，
若，则，所以在区间上单调递增，
此时
当时，
若，则，所以在区间上单调递增，
若，则，所以在区间上单调递减；
此时
当时，
若，则，所以在区间上单调递减；
此时
综上所述，当时，；
当时，；
当时，
25．设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)求函数在区间上的最大值
【答案】(1)；
(2)极大值为，极小值为；
(3)答案见解析.
【详解】（1）由题设，则，且，
所以曲线在点处的切线方程，则；
（2）由（1）有，
或时，，则在、上单调递增，
时，，则在上单调递减，
所以函数极大值为，极小值为.
（3）在区间上， ，显然，
若，则，此时的最大值为0；
若，则，此时的最大值为.
06 根据函数的最值求参数
26．（2025·广东茂名·二模）已知函数，.
(1)若，求图象在点处的切线方程；
(2)若函数在上的最小值是，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
则，则，又，
所以函数在点处的切线方程为，
即.
（2）由，，
则，
当时，，则函数在上单调递增，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，函数在上单调递减，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
若，即时，函数在上单调递增，
此时函数在上没有最小值，不符合题意；
若，即时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，解得.
综上所述，．
27．已知函数，为的导函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若函数在处取极小值，求的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，，可得，
令，可得，
当，可得；当，可得，
所以在单调增，在单调减，
可得，所以在单调减，
又因为，故的解集为．
（2）由函数，可得，
令，可得，
①当，即时，恒成立，
当时，；当时，；
所以在单调增，在单调减；
②当时，等价于，
当时，；
当时，；
当时，，
所以在单调增，在单调减；
在单调增，在单调减．
（3）由（1）知：当时，0不是的极值点，所以；
由（2）知：当时，在单调减，所以，
故在单调减，与在处取极小值矛盾，所以．
记，则在单调增；
①当时，，，
则存在使，所以对恒成立，则，
所以在单调减，则，
所以在单调减，与在处取极小值矛盾；
②当时，，则存在使，
所以对恒成立，则，所以在单调减，
则，所以在单调增，与在处取极小值矛盾；
③当时，，当时，；当时，，
即在单调递减，在单调递增，
所以，则在单调增，
又因为，当时，；当时，，
所以在单调减，在单调增，在处取极小值．
综上知，.
28．已知函数 ．
(1)当时，判断在定义域上的单调性；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
【详解】（1）由题意得函数的定义域为，
因为，所以，
当时，令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增.
（2）若函数在上的最小值为，
则对于恒成立，且存在使得等号成立，
得到恒成立，即对于恒成立，
令，则恒成立，而，
令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
得到，故.
29．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)极大值，极小值
(2)
【详解】（1）当时，，．
令，
同理：或
所以：在单调递增，在单调递减，在单调递增．
当时，取得极大值；
当时，取得极小值．
（2）解法一：由题：，．
①当时，，在单调递增，．
②当时，，在单调递减，．
③当时，在单调递增，在单调递减．
此时：不合题意．
④当时，，在单调递增，．
综上：的值为．
解法二：由题：，．
①当时，，在单调递增，．
②当时，由于，在上的最小值小于，与题目矛盾，故不成立；
综上：的值为．
解法三：由题：，．
由题：的最小值为，则必有： ．
当时，，在单调递增，
．
故：的值为．
30．若函数.
(1)若函数在点处的切线方程为，求实数、的值；
(2)已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为，求实数的值.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为，其中，则，
由导数的几何意义可得，则，所以，，
因为点在直线上，所以，，解得.
综上所述，，.
（2）因为，其中，则，
因为，则，由可得，由可得，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，解得，合乎题意.
综上所述，.
07 函数的单调性、极值、最值的综合应用
31．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知函数，．
(1)若在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，设，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，设，则
①当时，，则在上单调递增．
因为当时，
此时不可能在上单调递增；
②当时，．则在上单调递增，符合题意；
③当时，令，得
－ 0 +
递减 极小 递增
故需使 ， 解得 ，故 ．
综上，的取值范围是．
（2）由 （1）知，时，，使．
即，可得，
－ 0 +
递减 极小 递增
令，
．
令，得
－1
+ 0 -
递增 极大 递减
所以，即的最大值为.
32．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)若为的极值点，求的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；最大值为
(2)存在使得的最大值为
【详解】（1），，
，
若为的极值点，
则 ，得．
，
当时，，当时，，
的单调递增区间是，单调递减区间是；
的极大值为 ，也即的最大值为 ．
（2）， ，
①当时，在上单调递增，
的最大值是 ，
解得，舍去；
②当时，由，得，
当，即时，
时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
又在上的最大值为，
，
；
当，即时，在上单调递增，
，
解得，舍去．
综上，存在使得的最大值为．
33．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且在上的最小值为，求的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由，因为的定义域为，
所以当时，在上单调递增；
当时，由
得在上单调递增，在上单调递减；
当时，由
得在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，在上单调递增，在上单调递减；
又当时，，可知在上单调递增，
所以，
当时，，可知在上单调递减，上单调递增，
所以(舍去).
故.
34．已知函数，，．
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，与的单调性相同，求实数的取值范围；
(3)若当时，有最小值，证明：．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题可知的定义域，，
令，可得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（I）可知在上单调递增，
即在时恒成立，
即在时恒成立．
令，，则，
可得当时，，当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，
又时，，所以，
所以，
即实数的取值范围是．
（3）由题可知，，
令，，则，
因为，，所以，
所以在上单调递增．
又，，
所以存在唯一的，使得，即，即．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以．
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，即，
所以．
35．已知函数．
(1)当时，求的单调性；
(2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）当时，，
则，
令，解得或．
令，解得，所以在上单调递减；
令，解得或，即在，上单调递增．
综上，函数在，上单调递增，在上单调递减．
（2）由求导得，
① 当时，恒成立，
令，解得，即在上单调递减；
令，解得，即在上单调递增，
故时，函数在处取得极小值，符合题意；
②当时，令，解得，，且，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，符合题意．
③ 当时，令，解得，此时恒成立且不恒为0，
单调递增，故函数无极值，不符合题意．
④ 当时，令，解得，，且，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，不符合题意．
综上，实数的取值范围是．
1．（多选）（2025·安徽·三模）波兰表达式（Polish notation）是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符 操作数1 操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为：“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是（ ）附：．
A．波兰表达式“”的值为108
B．若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是
C．若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则
D．若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4
【答案】BD
【详解】对于A，波兰表达式“”，即，故A错误；
对于B，波兰表达式“”的值大于6，等价于，
因为函数在上单调递增，且为其零点，
所以所求x的取值范围是，故B正确；
对于C，波兰表达式“”表示的函数为，
则，又函数无极值，所以，则，
所以，当且仅当时等号成立，
又，故，则，，故C错误；
对于D，波兰表达式“”的值为等价于，
易知满足该等式，令，则，
易知有唯一解，
且在区间上单调递减，在上单调递增，
又，，，
由零点存在定理知，方程必存在另外一解，且，
所以x的所有取值之和大于4，故D正确．
故选：BD.
2．若存在一个实数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称有下界，且是的一个下界.
(1)求函数的下界的取值范围：
(2)若1是函数的一个下界，求的取值集合；
(3)若是函数的一个下界，求证：的最大值为0.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由函数，得，
令，得，
所以为增函数；
又，
所以当时，，当时，，
所以，故；
（2）函数，得，
若，则，函数在为减函数，
因为，所以当时，，不合题意，舍去，
若，令，得，
故当时，，当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，
由题知，
令，，
故当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在单调递增，
所以，所以，所以的取值集合为.
（3），
即证的最小值为0，
，
令，则，
故函数单调递增，又，，
故在上存在唯一零点，即，
故当，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
由得，
下面证明：；
因为，
所以，即，
令，则上式等式可化为
因为，所以在单调递增，
故，即，
故的最小值为0；
即的最大值为0，得证.
3．已知函数.
(1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值；
(2)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得，
此时，由，得到或，
当或时，，当时，，
则在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取到极小值，符合题意.
所以.
（2），令，则或，
若，当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，
当时，函数取到极大值，即，所以，
当时，函数取到极小值，
即，
又当时，，当时，，
所以当，即时，有1个零点；
当，即时，有2个零点；
当，即时，有3个零点.
4．（2025·辽宁·二模）已知函数．
(1)若，当时，，求的取值范围；
(2)若，求的极值；
(3)若是的极小值点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)极大值为，无极小值
(3)
【详解】（1）当时，，
因为当时，，所以，
令，则，
当时，，单调递增，
所以，所以的取值范围为．
（2）当时，，则，
令，则，
由，得；由，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
且时，，，
所以当时，，即；
当时，，即，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
（3）由题可得，.
令，
则， ，
当，即时，
存在，使得当时，，
此时即在区间上单调递增，
故当时，，当时，，
所以当时，是的极小值点，符合题意．
当，即时，
存在，使得当时，，
此时即在区间上单调递减，
故当时，，当时，，
所以当时，是的极大值点，不符合题意．
当，即时，，，
令，得或0，
当时，， 当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故在上，有，
所以当时，不是的极值点，不符合题意．
综上所述，的取值范围为.
5．（2025·河南·三模）已知函数，，其中．
(1)求函数的零点；
(2)．
（ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：；
（ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)0．
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）．
【详解】（1）函数的定义域为R，
则，
当时，，则，
当时，，则，
所以函数在上为减函数．
又因为，故函数有且只有一个零点0.
（2）（ⅰ）函数的定义域为，
当时，，
当时，，
所以.
（ⅱ）由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
因为当时，恒成立，
所以等价于当时，恒成立，
又，
若，当时，由，
所以在上递增，所以此时恒成立.
若，当时，由，解得为，
在上递减，此时，不符合题意．
综上可知，存在实数a满足题意，a的取值范围是.
1．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
2．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.
故选：BCD
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3).
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
由一次函数与对数函数的性质可得，当时，
，
且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
5．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
【答案】(1)
【详解】（1）当时，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 导数与函数的极值、最值
目录
01 常考题型过关练
题型01 函数图象与极值（点），最值的关系
题型02 求已知函数的极值（点）
题型03 根据函数的极值（点）求参数
题型04求函数的最值（不含参）
题型05 求函数的最值（含参）
题型06 根据函数的最值求参数
题型07 函数的单调性、极值、最值的综合应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 函数图象与极值（点），最值的关系
1．已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．2是的极大值点 B．在处的切线斜率大于0
C． D．在上一定存在最小值
2．函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C．在上存在极小值点 D．在上有最大值
3．如图所示为函数的导函数图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
①单调减区间是； ②和4都是极小值点；
③没有最大值； ④最多能有四个零点.
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
4．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值
5．（多选）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（ ）

A．在上单调递减 B．在处取得极大值
C．在上单调递减 D．在处取得最小值
02求已知函数的极值（点）
6．函数的极大值点是（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．函数的极值点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．函数的极小值点为（ ）
A． B．1 C． D．2
9．函数的极小值点为 ．
10．函数的极值点是 ．
03 根据函数的极值（点）求参数
11．已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A． B． C．0 D．或1
12．已知，若0是的极小值点，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数在上有且仅有3个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·甘肃·模拟预测）已知是函数的极值点，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
15．已知函数在区间上存在极小值点，则实数的取值范围为 .
04求函数的最值（不含参）
16．已知函数，为的导函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在处取得极值，求的单调区间和最值．
17．已知在处取得极值.
(1)求实数的值：
(2)求在区间上的值域.
18．已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)当时，求函数的最小值．
19．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．
20．已知函数．
(1)求函数的极大值；
(2)求函数在区间上的最小值．
05 求函数的最值（含参）
21．已知函数．
(1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求的最值．
22．已知函数；
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数在上的最大值．
23．函数
(1)若在处取得极小值，求实数的取值范围，
(2)若在区间上的最大值是，最小值是，求的值.
24．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)求在区间上的最大值．
25．设函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)求函数在区间上的最大值
.
06 根据函数的最值求参数
26．（2025·广东茂名·二模）已知函数，.
(1)若，求图象在点处的切线方程；
(2)若函数在上的最小值是，求的值.
27．已知函数，为的导函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若函数在处取极小值，求的值.
28．已知函数 ．
(1)当时，判断在定义域上的单调性；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值．
29．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在上的最小值为，求实数的值.
30．若函数.
(1)若函数在点处的切线方程为，求实数、的值；
(2)已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为，求实数的值.
07 函数的单调性、极值、最值的综合应用
31．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知函数，．
(1)若在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，设，求的最大值．
32．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，，其中为自然对数的底数.
(1)若为的极值点，求的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
33．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若，且在上的最小值为，求的值．
34．已知函数，，．
(1)讨论的单调性；
(2)若当时，与的单调性相同，求实数的取值范围；
(3)若当时，有最小值，证明：．
35．已知函数．
(1)当时，求的单调性；
(2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围．
1．（多选）（2025·安徽·三模）波兰表达式（Polish notation）是一种特殊的数学式表示方法，可以用于逻辑、算术和代数的表示，波兰表达式的基本结构为“运算符 操作数1 操作数2”，运算时从左到右读取表达式，遇到运算符时，将其与接下来的两个操作数结合．如：波兰表达式“”的运算过程为：先将“”转化为：“”，再以“”为运算符，“”和“5”为操作数，即得“”；波兰表达式“”中，“”表示幂运算，该式的运算过程为：先将“”转化为“”，将“”转化为“”，再由“”得“”，由“”得“”，最后由“”得“”．根据上述内容，下列说法正确的是（ ）附：．
A．波兰表达式“”的值为108
B．若波兰表达式“”的值大于6，则x的取值范围是
C．若波兰表达式“”表示的函数无极值，且，则
D．若波兰表达式“”的值为，则x的所有取值之和大于4
2．若存在一个实数，使得对于函数定义域内的任意，都有，则称有下界，且是的一个下界.
(1)求函数的下界的取值范围：
(2)若1是函数的一个下界，求的取值集合；
(3)若是函数的一个下界，求证：的最大值为0.
3．已知函数.
(1)若函数在处取得极小值，求实数a，b的值；
(2)已知，且函数的极大值是1，讨论函数的零点个数.
4．（2025·辽宁·二模）已知函数．
(1)若，当时，，求的取值范围；
(2)若，求的极值；
(3)若是的极小值点，求的取值范围．
5．（2025·河南·三模）已知函数，，其中．
(1)求函数的零点；
(2)．
（ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：；
（ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
1．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
2．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
5．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
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