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第03讲 等比数列及其前n项和
目录
01 常考题型过关练
题型01 等比数列基本量计算
题型02 等比数列角标和性质
题型03 等比数列片段和性质
题型04 等比数列奇数项与偶数项和问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 等比数列基本量计算
1．设数列为等比数列，，，则（ ）
A． B．3 C．6 D．9
2．已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ）
A．1或 B． C．2或 D．1
3．在等比数列中，，又，则（ ）
A．3 B．－3 C．2 D．－2
4．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．各项为正的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．9 C．4或 D．2或
6．已知等比数列的前项和为，若，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
7．记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则 ．
8．等比数列的前项和为，则 ．
02 等比数列角标和性质
9．已知数列满足且，则的值为（ ）
A．32 B．16 C． D．
10．在正项等比数列中，若为方程的两个实根，则（ ）
A．10 B．11 C．12 D．22
11．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．5 B．10 C．4 D．
12．已知在等比数列中，，则 ．
13．等比数列的各项为正数，若，则 .
14．已知等比数列的各项均为正数，且，则 .
03 等比数列片段和性质
15．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
16．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
17．记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
18．设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
19．已知等比数列的前项和为，若，则 .
20．设是等比数列的前项和，若，则 .
04 奇数项与偶数项和问题
21．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
22．已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
23．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．2
24．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为 .
1．（2025·江西九江·三模）九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（ ）
A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里
2．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（ ）
A．30 B．4944 C．9876 D．14748
3．（2025·广东·模拟预测）正项等比数列及其前项和满足：，，则的值为（ ）
A．416 B．468 C．520 D．607
4．（2025·上海青浦·三模）已知数列的前项和为，若，则不可能是（ ）
A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列
C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列
5．（2025·云南昆明·模拟预测）在数列中，若，则，，设数列的前项和为，则使成立的正整数的最大值为 .
6．（2025·四川宜宾·三模）设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则 .
7．（2025·河北张家口·三模）已知等比数列的前项和为，若，，则 .
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
3．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
4．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
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01 常考题型过关练
题型01 等比数列基本量计算
题型02 等比数列角标和性质
题型03 等比数列片段和性质
题型04 等比数列奇数项与偶数项和问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 等比数列基本量计算
1．设数列为等比数列，，，则（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，由，解得，
则.
故选：D.
2．已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ）
A．1或 B． C．2或 D．1
【答案】A
【详解】因为为，的等差中项，所以，
又因为数列为等比数列，设公比为，则有，
解得，
故选：A.
3．在等比数列中，，又，则（ ）
A．3 B．－3 C．2 D．－2
【答案】C
【详解】设数列的公比为q，由，可得，故，
又，所以，故，所以．
故选：C.
4．记为等比数列的前n项和.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，
因为，则，解得，
所以.
故选：B.
5．各项为正的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．4 B．9 C．4或 D．2或
【答案】A
【详解】设等比数列的公比为，
由，
则，解得或（舍去），
故.
故选：A
6．已知等比数列的前项和为，若，则的公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，
因为且，可得，
即，解得．
故选：C．
7．记为等比数列的前项和，且的公比为2，若，则 ．
【答案】/
【详解】由可得，解得，
所以，，故．
故答案为：．
8．等比数列的前项和为，则 ．
【答案】
【详解】设等比数列的公比为；
若，则即为，解得，不满足题意；
故，则即为，整理得：，
即，解得或（舍），故；
又，即，则；
故 .
故答案为：.
02 等比数列角标和性质
9．已知数列满足且，则的值为（ ）
A．32 B．16 C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，数列满足，，
则，即数列是公比为的等比数列，
又由，则，
则.
故选：D.
10．在正项等比数列中，若为方程的两个实根，则（ ）
A．10 B．11 C．12 D．22
【答案】B
【详解】由为方程的两个实根，得，
在正项等比数列中，，，
所以.
故选：B
11．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．5 B．10 C．4 D．
【答案】A
【详解】由题有，则
.
故选：A.
12．已知在等比数列中，，则 ．
【答案】4
【详解】设等比数列的公比为，则，
则，即，所以，即.
所以．
故答案为：4.
13．等比数列的各项为正数，若，则 .
【答案】
【详解】因为，
所以，又，
所以，则，所以.
故答案为：
14．已知等比数列的各项均为正数，且，则 .
【答案】10
【详解】因为数列为正项等比数列，则，即，
所以.
故答案为：10.
03 等比数列片段和性质
15．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】设为该等比数列的前项和，由等比数列的性质得成等比数列，
，即，解得或63.
又当时，，不符合题意，舍去，故.
故选：B.
16．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，则，
因为是等比数列，所以也成等比数列，且公比为，
所以，即，
所以.
故选：B.
17．记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【详解】因为为等比数列，所以，，（显然三个数均不为0）也是等比数列.
且，，所以.
所以.
故选：A
18．设是等比数列的前项和，若，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，，
因为成等比数列，故，
即，解得，则，
所以,.
故.
故选：D
19．已知等比数列的前项和为，若，则 .
【答案】8
【详解】因为所以，则，
由等比数列的前项和的性质可知，
数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即，
，即，
所以 .
故答案为：8.
20．设是等比数列的前项和，若，则 .
【答案】60
【详解】由题意，
因为成等比数列，
故 ，
即，解得，
则，
所以，.
所以.
故答案为：.
04 奇数项与偶数项和问题
21．已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】D
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为
则，
又，则，解得，
故数列的所有项之和是.
故选：D
22．已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【答案】D
【详解】设，则，
又因为，所以，
所以.
故选: D
【点睛】若等比数列有偶数项，则,用整体的思想处理问题，方便简捷.
23．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为（ ）
A．8 B．2 C．4 D．2
【答案】D
【详解】设公比为，项数为，
,
，故选D.
【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
24．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比为 .
【答案】
【详解】解：设公比是，项数为（为偶数）
由题意得，
，
，
，
解得，
故答案为：
1．（2025·江西九江·三模）九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程（公里）后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是（ ）
A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里
【答案】C
【详解】记第一周跑步量为，则，所以前4周的跑步量为等比数列，
所以则，故第5周到第10周的跑步量为等差数列，则，
第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，所以小宝同学跑步的总量是公里.
故选：C.
2．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（ ）
A．30 B．4944 C．9876 D．14748
【答案】B
【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列，
所以数列的前项和为，
数列的通项公式为，所以数列为等比数列，
所以数列的前项和为，
所以
，
，
当时，.
故选：B.
3．（2025·广东·模拟预测）正项等比数列及其前项和满足：，，则的值为（ ）
A．416 B．468 C．520 D．607
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，由，可得，
所以即，即，
由，所以，由得，
即.
故选：C.
4．（2025·上海青浦·三模）已知数列的前项和为，若，则不可能是（ ）
A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列
C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列
【答案】C
【详解】，，，
若数列是等差数列，设其公差为，
，，即，
，可正可负，可正可负；
若数列是等比数列，设其公比为，
若，则是公比为的等比数列，满足，
当时，若，则，，不成立，
若且，则，，不成立.
不可能是公比大于的等比数列.
故选：C.
5．（2025·云南昆明·模拟预测）在数列中，若，则，，设数列的前项和为，则使成立的正整数的最大值为 .
【答案】51
【详解】因为，则，，
所以当时，，
当时，，
当时，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，
，
所以，
所以时，，
所以，
所以成立的正整数的最大值为
故答案为：
6．（2025·四川宜宾·三模）设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则 .
【答案】3或
【详解】由，可得，
即，即，
又成等比数列，
可得：，联立，消去，
可得：，可得：或，
当时，，易得，
当时，，可得，
所以3或，
故答案为：3或
7．（2025·河北张家口·三模）已知等比数列的前项和为，若，，则 .
【答案】
【详解】由可得，
若，则与矛盾，
所以，
则.
故答案为：.
1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【详解】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以.
故选：D.
3．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，
取 ，则,故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【详解】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
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