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第03讲 等式与不等式的性质
目录
01 常考题型过关练
题型01作差法、作商法比较两数（式）的大小
题型02 利用不等式的性质判断命题真假
题型03 利用不等式的性质证明不等式
题型04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
题型05 不等式的综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 作差法、作商法比较两数（式）的大小
1．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD.
2．假设买水两次，两次买水的价格有变动，第一次a元/瓶，第二次b元/瓶，有以下两种方案买水（假设十元钱刚好能买到整数瓶水），方案一：每次买十元钱的水，买两次；方案二：每次买十瓶水，买两次．则下列说法正确的是（ ）
A．用两种买水方案买水的花费一样
B．用“方案二”买水比较划算
C．用“方案一”买水比较划算
D．用哪种方案买水比较划算与a，b的大小有关
【答案】C
【详解】方案一：平均每瓶的价格为（元）；方案二：平均每瓶的价格为（元）．由于，故方案一比较划算．
3．每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（ ）
A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定
【答案】A
【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为，
则乙方案的平均油价为：，甲方案的平均油价为：，
因为，
所以，即甲方案更经济．
故选：A
4．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【详解】若先取者取和，
则，
根据，且，不能确定大小关系，A错误；
若先取者取和，
则，
根据，且，不能确定大小关系，B错误；
若先取者取和，
则
，
根据，且，所以上式大于0，C正确，D错误.
故选：C
5．若，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵a>b>0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
02 利用不等式的性质判断命题真假
6．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误．
7．若，，为非零实数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，，则，，
因为此时，故A不成立；
，故B不成立；
，故D不成立；
根据不等式的基本性质：，，故C成立.
故选：C
8．下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若，则
【答案】A
【详解】对于A，，因，则，
又，则，故A错误；
对于B，由不等式同向可加性可知，当时，，故B正确；
对于C，，因，则，又，
则，故C正确；
对于D，，因，则，
，则，
故D正确．
故选：A
9．（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A：
，又，由加法性质知，A正确,
对于B：, ,，B正确,
对于C：,
,,但是的正负号不确定,
与大小关系不确定，C错误,
对于D：,,
，又,，D正确,
故选：ABD.
10．（多选）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】B选项，，
又，故，
由可得，即，
由可得，
所以，故，
由可得，即，
所以，B正确；
不妨设，满足和，
此时，，AD错误；
两边同除以得，
，，故，即，
不等式两边同除以得，
所以，C正确；
故选：BC
03 利用不等式的性质证明不等式
11．（多选）下列说法正确的有（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AC
【详解】A中，因为，可得，所以，所以A正确；
B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确；
C中，，
因为，，而，所以，即，所以C正确；
D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确．
故选：AC．
12．（1）已知，，，求证：；
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以．
（2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以．
13．已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由，则，故，
由，则，故，
所以，得证.
（2）由，而，
所以，即，得证.
14．设，，，证明：．
【答案】证明见解析
【详解】由题意知，，，
则有，，，①
，，，
所以．
又根据①的结论可知，，，
所以．
综上所述，.
15．已知，且，求证：
【答案】证明见解析．
【详解】因为，且，可得，，
所以，
所以，可得，
又因为，
所以，
所以，所以，
因为，由不等式的性质，可得，故．
16．已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.
(2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则”
【答案】(1)；证明见解析；
(2)证明见解析；
【详解】（1）由题可得，；
证明：因为，，，
所以，，，从而，即
（2）由三角形三边关系，可得，而函数，为单调递增函数，
，
，，
故，
所以，
04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
17．若，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，所以，
即的范围为.
故选：A
18．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，又，，所以的取值范围是．
故选：C．
19．（多选）已知且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】∵且，∴，即，故A正确；
取，则，故B错误；
取，则，故C错误；
∵，∴，又，∴，
∴，∴，
∵，∴，又，∴，
∴，∴，
综上，，故D正确，
故选：AD.
20．若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以．
05 不等式的综合
21．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，得，
因为，当且仅当时取等号，
所以，
因为，所以，
当时，，此时，，
这与矛盾，所以，
由，得，
所以，当且仅当时取等号，
由A选项知，当时，不符题意，
所以，
由，可得，
因为，所以，
所以，
因为，所以，所以，
由，得，
则，
因为，，
所以，
又因为，所以，所以，
综上所述，.
故选：A.
22．设集合，若，，且，，则（ ）
A． B．，
C． D．，
【答案】D
【详解】由，，则，，
则
又实数，，所以，即，A选项错误；
当，，此时，B选项错误；
由A选项知，，故当时，，C选项错误；
D选项：1.当为奇数，为奇数时，为偶数．又，因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
2.当，为整数，且其中至少有一个为偶数，则必为偶数．又，且为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．故，不可能都为整数，即，，选项D正确．
故选：D.
23．（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题可知：对于任意，总存在，
使得，
所以的取值范围是的子集即可，
，
注意到，
，
因为，所以
故选：B
24．已知实数满足．
(1)求和的取值范围；
(2)证明：．
【答案】(1)； ．
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
因为， 所以；
（2）．
因为，所以．
所以；
所以．
25．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】 由浓度不等式，可得，
则有，
于是，
，
因此．
证明浓度不等式：，其中，
证明：，
所以.
1．（多选）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】因为，，
对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错；
对于B，因为，所以，B错；
对于C，由不等式的性质可得，从而，C对；
对于D，由不等式的性质可得，D对.
故选：CD.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，．
3．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，则，充分性成立；
设，则有满足，
此时有，不满足，故必要性不成立，
综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（多选）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．已知，，则
D．已知，若，，则
【答案】CD
【详解】对于A,由，故，故A错误，
对于B，由于，所以，
又，所以，
又，故，故，
因此，故B错误，
对于C,由于，结合，，
则，故C正确，
对于D, ，由于，，
故，即，故D正确，
故选：CD
5．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（ ）
A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多
C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少
【答案】D
【详解】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个，
第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个，
第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个，
第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个，
又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，
所以①，且②，
由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少.
故选：D.
6．设，则M与N的大小关系是 ．
【答案】
【详解】因为，所以．
7．（多选）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】，，，
，
所以，
，
所以，所以，
所以B、C、D正确，A错误.
故选：BCD
8．已知，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解法1 因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证．
解法2 因为且，所以，且，所以，即．
（2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，．
9．求证：．
【答案】证明见解析
【详解】 原不等式可转化为，
由浓度不等式得，
则得，
于是
两边开平方，即得．
下面证明浓度不等式，，其中，
证明：由，
所以.
1．（2018·全国III卷·高考真题）设，，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选：B.
2．（2016·全国I卷·高考真题）若，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误，
因为选项C正确，故选C．
3．（2015·浙江·高考真题）设，是实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.
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题型03 利用不等式的性质证明不等式
题型04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
题型05 不等式的综合
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 作差法、作商法比较两数（式）的大小
1．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．假设买水两次，两次买水的价格有变动，第一次a元/瓶，第二次b元/瓶，有以下两种方案买水（假设十元钱刚好能买到整数瓶水），方案一：每次买十元钱的水，买两次；方案二：每次买十瓶水，买两次．则下列说法正确的是（ ）
A．用两种买水方案买水的花费一样
B．用“方案二”买水比较划算
C．用“方案一”买水比较划算
D．用哪种方案买水比较划算与a，b的大小有关
3．每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（ ）
A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定
4．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．若，求证：．
02 利用不等式的性质判断命题真假
6．若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，，为非零实数，且，，则（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题是假命题的为（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若且，则 D．若，则
9．（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选）若，且，则（ ）
A． B． C． D．
03 利用不等式的性质证明不等式
11．（多选）下列说法正确的有（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．（1）已知，，，求证：；
（2）证明：．
13．已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
14．设，，，证明：．
15．已知，且，求证：
16．已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了.
(1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式.
(2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则”
04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
17．若，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
18．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（多选）已知且，则（ ）
A． B．
C． D．
20．若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ．
05 不等式的综合
21．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
22．设集合，若，，且，，则（ ）
A． B．，
C． D．，
23．（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
24．已知实数满足．
(1)求和的取值范围；
(2)证明：．
25．求证：．
1．（多选）已知，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（多选）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．已知，，则
D．已知，若，，则
5．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（ ）
A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多
C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少
6．设，则M与N的大小关系是 ．
7．（多选）若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
9．求证：．
1．（2018·全国III卷·高考真题）设，，则
A． B．
C． D．
2．（2016·全国I卷·高考真题）若，，则
A． B． C． D．
3．（2015·浙江·高考真题）设，是实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
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