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第03讲 幂函数与二次函数
目录
01 常考题型过关练
题型01 幂函数的图象
题型02 幂函数的单调性与奇偶性
题型03 幂函数比较大小
题型04幂函数的综合应用
题型05 一元二次不等式
题型06 分式、绝对值、高次不等式
题型07 二次函数的解析式
题型08 二次函数的图象与性质
题型09 二次函数的实根分布
题型10二次函数的单调性与最值
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 幂函数的图象
1．（多选）当时，幂函数的图象不可能经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】BD
【分析】根据幂函数性质确定选项.
【详解】因为经过第一、三象限；经过第一象限；
经过第一、三象限；经过第一、三象限；
所以不可能经过的象限是第二、四象限
故选：BD．
2．幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）．那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ）
A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤
【答案】D
【详解】取得，故在第⑤卦限；再取得，故在第①卦限．
3．若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的幂函数图象可得，再变形函数并由函数值的特性得解.
【详解】由幂函数图象可得，
函数定义域为，
而，则恒成立，BCD错误，A正确.
故选：A
4．下列四个图象中，函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的性质来判断即可.
【详解】因为，即，所以，解得，即函数的定义域为，
故排除A、C、D，且函数在定义域上单调递增，故B正确.
故选:B.
5．如图所示，幂函数，，，在第一象限内的图象依次为 ．

【答案】，，，
【分析】由幂函数的性质，得到的幂指数大于0，的幂指数小于0，再由图象的变化速度得到答案.
【详解】观察题目所给出的坐标系可以明确，四个函数均在第一象限内，
根据幂函数的性质，第一象限内的图象当时函数值递增，与此同时越大，
函数值的递增速度越快，当时函数值递减，同时越大，图象越陡，
那么结合四个函数的的大小，可以发现：的值大于的值，
图中的递增速度明显快于；
的值大于的值，图中更陡．
可以确定的图象为，的图象为，
的图象为，的图象为．
故答案为：，，，
02 幂函数的单调性与奇偶性
6．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据初等函数的单调性判断即可.
【详解】根据一次函数的单调性，可得是减函数，故A错误；
根据指数函数的单调性，可得都是减函数，故B，C均错误；
根据幂函数的单调性，可得是增函数，故D正确.
故选：D.
7．已知幂函数的图象经过点，函数，则（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数
C．为增函数 D．为减函数
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义与求解，从而可得的单调性，于是可得的单调性与奇偶性.
【详解】因为是幂函数，所以，即，
又的图象经过点，所以，解得，
所以，则为上的增函数，
则，则函数的定义域为，
所以非奇非偶函数，且为上的减函数.
故选：D.
8．已知函数的定义域为且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出的单调性，根据自变量的大小即可比出函数值的大小.
【详解】由题意得是减函数，因为，
所以．
故选：B.
9．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.
所以，，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递增，则，解得.
故选：B．
10．已知定义在上的函数，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数并确定其奇偶性及单调性，再求解不等式.
【详解】令，函数定义域为，关于原点对称，
又，则函数是奇函数，
又函数和在上都单调递增，则函数在上单调递增，
不等式，
因此，解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：
03 幂函数比较大小
11．（多选）若，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据指数函数的单调性逐项比较指数式的大小关系即可得结论.
【详解】对A，当时，是减函数，所以，故A错误；
对B，当时，函数在上单调递增，故，故B正确；
对C，当时，，则是增函数，故，故C错误；
对D，当时，是减函数，，D正确．
故选：BD.
12．已知，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数的单调性和指数的运算性质比较大小即可.
【详解】，
因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为，，且，
所以，所以，
所以.
故选：C
13．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的单调性比较大小关系，通过指数幂运算比较大小关系，由此结果可知.
【详解】因为，，，
因为幂函数在上单调递增，所以，
又因为，所以，
由上可知，
故选：B.
14．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【分析】先通过函数是幂函数以及单调性求出的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或，
又因为对任意，且，满足，
即对任意，都有，
故函数是幂函数且在上单调递增，
所以，
所以，
则，明显为上的奇函数，
由得，
所以，
所以.
故选：A.
15．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知可得，，由对数函数的单调性可判断；根据对数的性质可判断；由幂函数的性质可判断；由指数函数的单调性可判断.
【详解】由题意知，，
而，
所以在定义域内单调递减，
故，则错误；
，故错误；
由在第一象限内单调递增，知，故错误；
因为在定义域内单调递减，即，故正确.
故选：.
04 幂函数的综合应用
16．（多选）已知函数与的图象如图所示，则（ ）
A．为奇函数 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．的值域为
【答案】AC
【分析】现根据图象判断出函数与的定义域、奇偶性、单调性，利用奇偶性的定义判断选项A；根据单调性的定义判断选项C；取说明选项BD错误即可.
【详解】由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在单调递减；
定义域为，是奇函数，在上单调递增，在单调递增；
对于A，定义域为，
又因为，所以是奇函数，故A正确；
对于B，令，则，,
但，，，故B错误；
对于C，，由图象知，
因为在上单调递增，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即在上单调递减，故C正确；
对于D，令，则，
当接近正无穷大时，函数值接近0，故的值域不能为，故D错误；
故选：AC.
17．若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先分别求两段函数单调递增得出参数范围，再根据分段函数解析式的特点得出分界点的不等关系，解出不等式组即可判断参数范围.
【详解】二次函数的图象开口向下，
对称轴为直线，所以，即得,
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以当时，,此时函数单调递增，又单调递增，
则，单调递增；
所以解得，
故的取值范围为．
故选：A.
18．已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（ ）
A．2024 B．2025 C．4048 D．4049
【答案】D
【分析】根据已知有，进而可得、，利用对称性求目标式的值.
【详解】由题可知：，则，
所以，且，
则
.
故选：D
19．若，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用幂函数的单调性即可比较得，利用幂函数的单调性可得，进而根据指数函数的单调性可得，即可求解，或者举特殊值求解.
【详解】方法一：因为，所以函数在上单调递增．
因为，所以，即．
同理，由函数在上单调递增，得，即．
因为，所以．
因为，所以在上单调递减，
所以，所以，即，
所以．
方法二：
由，令，，
则，，，．
因为，所以．
故选：B．
20．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为奇函数 B．
C．函数的值域为 D．当时，
【答案】AD
【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可.
【详解】设幂函数为
将代入解析式得，故，所以，
定义域为，
因为，故函数为奇函数，故A正确；
函数，故B错误；
显然的值域为，故C错误；
当时，，
即满足，故D正确
故选：AD
21．（多选）已知幂函数的图象关于轴对称，.下列表述正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．函数恒过定点
D．当时，函数在的值域为
【答案】BD
【分析】根据幂函数定义计算可得，函数在上单调递减，可得A错误，即B正确；
由指数函数图象性质可得恒过定点判断C，由指数函数单调性计算可得D正确.
【详解】因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，，图象不关于轴对称，故舍去，
当时，，图象关于轴对称，
所以符合题意，故A不正确，
易知时在上单调递减，即B正确；
由指数函数性质可得函数，易知恒过定点，故C不正确；
易知当时，函数在为减函数，
所以其值域为，故D正确.
故选：BD.
22．已知函数是减函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知条件及分段函数单调性分段处理的原则，结合一次函数与幂函数的单调性即可求解.
【详解】因为函数是上的减函数，
所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
05 一元二次不等式
23．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法求，根据对数函数的单调性求后可求.
【详解】，
，
故，
故选：D.
24．已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由集合有3个真子集可得中有两个不同的元素，故求出的范围后可得正确的选项.
【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素，
故且，则，
解得且.
故选：C.
25．（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名字命名，该函数解析式为，，其中为有理数集，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．，
C．，
D．关于的方程有四个不同的实数根
【答案】CD
【分析】对于A选项，分是有理数和无理数两种情况，根据的值解不等式，发现无理数情况矛盾. 对于B选项，通过取特殊值，，验证与是否相等， 对于C选项，同样分是有理数和无理数，结合是有理数，判断和的情况，得出. 对于D选项，还是分是有理数和无理数，根据的值解方程，得到四个不同解.
【详解】对于选项A：当为有理数时，，由得，得且；
当为无理数时，，由得，解得，与为无理数矛盾，故A错误.
对于选项B：取，，显然，故B错误.
对于选项C：当为有理数时，因为，所以，均为有理数，所以；
当为无理数时，因为，所以，均为无理数，所以，故C正确.
对于选项D：当为有理数时，，由得，解得或，符合题意；
当为无理数时，，由得，解得或，符合题意.
所以关于的方程有四个不同的实数根，故D正确.
故选：CD.
26．（多选）已知，满足，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最大值为2 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据完全平方公式即可判断AB；构造以为两根的一元二次方程，结合即可判断CD．
【详解】，
所以，
解得，故A正确；
所以，即，故B错误；
由得，，
，
构造以为两根的一元二次方程，
则，故CD正确；
故选：ACD．
27．向量，满足，且，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及定义，结合一元二次不等式恒成立列式求得答案.
【详解】由，得，
因为，，
则，
即，整理得，
即，所以，
故选：C.
28．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域．
【详解】，
则，解得，
所以，
即函数的定义域为.
故答案为：
29．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据条件，利用一元二次不等式的解法及根与系数的关系，得，即可求解.
【详解】因为二次不等式的解集为，
则的两根为，则，
所以，解得，
故答案为：.
06 分式、绝对值、高次不等式
30．已知集合，则
【答案】
【分析】首先化简B，利用数形结合求出在部分，再由交集的定义求解即可
【详解】，
因为单调递增，在单调递增，
又当或时，成立，
分别画出和，
因为，要求只需考虑在部分即可；
由图象可知，时，成立，
所以
故答案为：
31．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】移项通分得，即，再利用穿根法即可得到答案.
【详解】，即，即，
则，根据穿根法解得，
故答案为：.
32．不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】由函数定义域解不等式即可得，对在不同区间内的取值进行分类讨论即可求得不等式的解集.
【详解】根据题意可知，解得；
当时，易知，满足题意；
当时，，所以，符合题意；
当时，当时，，原不等式成立；
当时，，若要满足题意只需，解得，所以可得；
综上可知，原不等式的解集为.
故答案为：
33．求下列关于的不等式的解集：
(1)；
(2).
【答案】(1){或}
(2)答案见解析
【分析】（1）移项、通分，再利用分式不等式的解法可得原不等式的解集；
（2）分、、三种情况讨论，利用二次不等式的解法可得原不等式的解集.
【详解】（1）由，得，解得或，
故不等式的解集为{或}；
（2）当时，原不等式即为，该不等式的解集为；
当时，，原不等式即为.
①若，则，原不等式的解集为{或}；
②若，则，原不等式的解集为{或}.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为{或}；
当时，原不等式的解集为{或}.
07 二次函数的解析式
34．已知为二次函数且，，则 ．
【答案】
【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可．
【详解】设，
，
，
．
又，
.
故答案为：
35．已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 .
【答案】
【分析】根据题意，假设出二次函数的顶点式，再将点代入即可得解.
【详解】因为的对称轴为，函数在上最小值为，
所以可设，
将代入，得，解得，
故.
故答案为：.
36．二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由函数为二次函数，设出其解析式为，然后利用题目条件确定系数，从而求得函数的解析式；
（2）将在区间上，的图象恒在图象的上方，转化为在上恒成立，即 在上最小值大于零，即可求解.
【详解】（1）由题设，
．又，
，
．
（2）当时，的图象恒在图象上方，
所以当时，恒成立，即恒成立．
令，对称轴为，故函数在上单调递减，
当时，，
故，解得，所以实数的取值范围为．
37．已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；
（2）分和讨论即可；
（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出的范围.
【详解】（1）因为对都有，
所以的图象关于直线对称，
又因为二次函数的最小值为，
所以可设二次函数的解析式为，
又因为是其一个零点，
所以，解得，
所以的解析式为.
（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
当时，，
.
（3）因为关于的不等式在区间上有解，
即不等式在上有解，所以，
记，因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，
所以，即，
故存在实数符合题意，所求实数的取值范围为.
08 二次函数的图象与性质
38．（多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】ABC
【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质求参数．
【详解】由，得函数的对称轴为，
当时，函数取的最小值为，
当或时，函数值为，
函数的定义域为，值域为，
所以，实数的值可能为．
故选：ABC
39．设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围.
【详解】当时，，；
因，即x每增大，对应的纵坐标都变原来的倍.
当时，，故，
则，；
当时，，故，
则，；
当时，，故，
则，.
当时，由，可得，解得或，
如下图所示：
由图可知，当时，恒成立，故实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围.
40．函数的最大值为1，最小值为，则 .
【答案】/
【分析】由题意得，令，，求出对称轴，对分，，和讨论最值即可求解.
【详解】，
令，，对称轴方程为，
①当时，，，
解得，，
②当时，，，
解得，，
③当时，，，
即或，无满足条件的解，
综上，.
故答案为：.
41．若函数在上的最大值为2，则实数 ．
【答案】2
【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解.
【详解】令，则在上的最大值，
最小值．
当时，，解得．
当时，，解得（舍去）．
综上，．
故答案为：2
42．已知函数在时有最大值和最小值，设.若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围
【答案】
【分析】根据题意得，再根据二次函数单调性列方程求解；再用换元法化简方程为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得的取值范围.
【详解】，
因为，当时，，为常函数，不满足题意；
所以，，在上单调递增，
因为函数在时有最大值和最小值，
所以，解得，
方程等价于，
即，，
令，则方程化为，，
因为方程有三个不同的实数解，
所以，画出的图象如下图所示，
所以，，有两个根 ，且或，.
记，
所以，，即，此时
或得，此时无解，
综上，，即实数的取值范围.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于令，进而结合题意，数形结合得，，有两个根 ，且或，，再根据零点存在性定理求解即可.
43．已知函数.
(1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(2)若函数，且对，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据二次函数的解析式可得其对称轴，利用二次函数的性质，可得不等式，可得答案；
（2）根据指数函数的单调性求得最值，利用分类讨论思想，由题意建立不等式，可得答案.
【详解】（1）由二次函数，则其对称轴为，
由函数在区间上具有单调性，则，即或.
（2）由函数在上单调递减，则，
易知二次函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上的最小值，
由题意可得，则，解得，此时无解；
当时，函数在上的最小值，
由题意可得，则，，解得，此时；
当时，函数在上的最小值，
由题意可得，则，解得，此时；
综上所述，可得.
09 二次函数的实根分布
44．函数在上有零点，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】转化为二次方程根的分布求解，按方程的判别式分三大类讨论；当时，再按区间端点处函数值是否为0及符号分类讨论可得.
【详解】对于函数，开口向上，对称轴为，
令，由题意得方程在区间内有根.
，
当，即时，没有零点，不符合题意；
当，即或时，
当时，，零点为，，不符合题意；
当时，，零点为，，符合题意；
当，即或时，方程有两个不相等的根，
由题意方程至少有一个根在区间内.
① 若，解得，
此时，故零点为0或，符合题意；
② 若，解得，同上成立；
③若，要使函数在有零点，
，又，即；
综上可得 .
故选：D.
45．（多选）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．方程有2个不相等实数根
B．函数在上单调递增
C．函数无最值
D．实数的取值范围为
【答案】AC
【分析】画出函数图象，根据图象可以判断ABC是否正确，对于D选项，将方程是为一元二次方程，利用韦达定理，结合分段函数的图象性质，得到根的分布，进而求出参数的取值范围．
【详解】由函数解析式，可得函数图象如图：
由图知方程有2个的不相等实数根，函数没有最值，故A、C正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
由于方程有4个不同的实数根，令，
则有2个不同的实数根，所以恒成立，
设两个不等的实根为，由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
即函数有两零点
，解得，故D错误.
故选：AC.
46．已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围．
【详解】的图象如图所示：
∵方程有4个不相等的实数根，
设，结合图象可知有两个不等实根，
设此关于方程的解为、，其中均不为零且．
由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，，
故不能都大于2，不能都小于等于1，
故（舍）或或（舍）．
令，其开口向上，
需满足，即，解得．
故选：D．
【点睛】复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
47．已知函数的两个零点为2，3．若函数的两个零点分别在区间内，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据函数的零点定义求得的值，即得，再结合二次函数的图象性质与函数的零点存在定理列出不等式组，解之即得.
【详解】依题意，为方程的两根，
则，解得，
故，则，
因函数的两个零点分别在区间内，
则，即，解得，
故实数m的取值范围是．
故答案为：
10 二次函数的单调性与最值
48．若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，，分和两种情况讨论，分别求出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围.
【详解】令，，依题意可得，恒成立，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
综上可得的取值范围是.
故选：B
49．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】令，“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，求出的对称轴方程，分在上单调递增和在上单调递减两种情况求解.
【详解】，令，
则“函数在上单调”等价于“函数在上单调”，的对称轴为，若在上单调递增，
则，解得，若在上单调递减，
则，解得，综上所述，实数的取值范围为.
故选：D.
50．若函数在区间上的最小值、最大值分别为，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，通过函数的最小值为及定义域可知函数在处取得最小值，再通过对函数的分段讨论及函数的最大值为求出实数的取值范围即可．
【详解】令，解得或，
∵函数定义域为，∴，即函数在处取得最小值，
且，即，则，
∵函数的值域为，∴，
当时，有，即，
解得，即；当时，有，
即，解得，即．
综上，实数a的取值范围为，故D正确.
故选：D．
51．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意结合二次函数性质和图象分析求解即可.
【详解】因为函数，
可知函数图象的对称轴为直线，且函数的最小值为．
令，解得或4，
因为在区间上的最大值为5，最小值为，

所以的取值范围是．
故答案为：.
52．已知函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】．
【分析】由解析式得到函数对称轴，讨论对称轴的位置，分别得到函数在区间上的最值，让最大值与最小值的差小于等于4，然后求得实数的取值范围.
【详解】由题意得
则，对称轴．
由题意，，都有成立．
∵，
∴只需在上恒成立即可．
①当，即时，在上单调递增，
∴
解得，此时．
②当，即时，在上单调递减，
∴，
，
解得，此时，．
③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
∴的最大值是与中的较大者．
ⅰ）当，即时，∵，∴，
∴，解得，此时，．
ⅱ）当，即时，∵，∴，
∴，即，解得，
此时．
综上，实数的取值范围是．
53．已知函数．
(1)若函数的定义域为R，值域为，求实数a的值；
(2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围．
【答案】(1)1或
(2)
【分析】（1）由求出的最小值，再利用配方法可得答案；
（2） 利用复合函数的单调性可得答案．
【详解】（1）函数的值域为，
，又，
而函数的定义域为R，
的最小值．
而，
，解得，即，
实数a的值为1或；
（2）在上为增函数，
函数在上是减函数，
∴函数在上为减函数且，
，解得，
即，故实数a的取值范围为．
54．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．
(1)求和的值；
(2)若实数满足，求的最小值.
【答案】(1)或1，
(2)2
【分析】（1）根据幂函数的概念和性质求解；
（2）由（1）得，变形可得，然后利用基本不等式中1的妙用求出最小值．
【详解】（1）幂函数，则，解得或1，
又幂函数在上是减函数，故，解得，
因为，故或，
当时，幂函数为，图象关于轴对称，符合题意；
当时，幂函数为，图象关于原点对称，不合题意，
综上所述：或1，；
（2）∵实数满足，
∴，则，
∴
.
当且仅当且，即时等号成立.
所以的最小值是2.
1．已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】由可求得函数的周期为4，由函数为奇函数结合已知解析式求出时的解析式，再结合周期可求得结果.
【详解】由，
因此可以得到：，所以函数的周期为4，
当时，，
设，则，所以，
因为是定义在上奇函数，
所以，得，
当时，，
所以，
所以当时，函数的最小值为.
故选：B
2．（多选）有如下命题，其中为真命题的是（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数（且）的图象恒过定点
C．函数有两个零点
D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数的取值范围是
【答案】BD
【分析】根据幂函数的定义判断选项A，由指数的性质判断选项B，由零点存在性定理的应用判断选项C，由二次函数的图象和性质判断选项D．
【详解】设幂函数，代入，得到，∴，∴，则，故A错误；
由于恒过定点，因此令，即时，恒有，
即图象恒过定点，故B正确；
转化，即，
函数与在同一直角坐标系下的图象如图1所示，
两个函数只有一个交点，故函数只有一个零点，故C错误.
函数中，得，，
如图2所示，可得若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，
则实数的取值范围是，故D正确.
故选：BD.

3．已知函数当时，函数的最大值、最小值分别为，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出时，的范围，进而可知的范围为，再进行分类讨论求出的取值即可．
【详解】函数的图象如图所示，
当时，，此时，
当时，或；时，或
而由题意得函数的值域为，
当，即时，需满足，此时满足不等式；
当，即时，需满足，此时满足不等式；
综上所述：实数的取值集合为，
故选：B．
4．已知为奇函数，则的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可得，结合二次函数单调性分析求解即可.
【详解】令，解得可知函数的定义域为，
因为为奇函数，则，解得，
则，可得，
可知为奇函数，即符合题意，
则，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线，
所以的单调递增区间是．
故答案为：.
5．已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数在区间上的值域；
(3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数定义以及性质求解；
（2）利用二次函数性质求解；
（3）对参数的取值进行分类讨论，结合二次函数性质即可求解.
【详解】（1）依题意，解得或；
当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去；
当时，在区间上单调递增，符合题意，
所以；
（2）当时，可得，
令，因为，所以，
即可得，
当时，，当时，；
所以函数在区间上的值域为
（3）令，因为，所以，
即可得，
因为对任意恒成立，所以对于任意恒成立；
所以.
当时，在上单调递减，可得，符合题意；
当时，图象的对称轴为，
易知恒成立，因此在上的最小值为，符合题意；
当时，若，此时，可得，此时不等式无解，不符合题意；
当时，，此时在上的最小值为，解得.
综上可知，实数a的取值范围为.
6．已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式
(3)若对任意，都存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由幂函数的定义结合单调性即可求解；
（2）通过和两类情况讨论即可；
（3）由题意得到，再得到存在，使得，进而可求解.
【详解】（1）由幂函数在上单调递减，
可得，解得，所以
（2）当时，，解集为，
当时，，得，
，
当时，，
方程的两根为
所以不等式的解为，
当时， ，不等式的解集为，
综上可知，当时，解集为，
当0≤a<1时，解集为.
（3）由（1）知，因为对，使得都成立，
所以，易知，
所以，
因为存在，使得成立，
可得，
因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，
解得：或，
所以的取值范围为.
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 幂函数与二次函数
目录
01 常考题型过关练
题型01 幂函数的图象
题型02 幂函数的单调性与奇偶性
题型03 幂函数比较大小
题型04幂函数的综合应用
题型05 一元二次不等式
题型06 分式、绝对值、高次不等式
题型07 二次函数的解析式
题型08 二次函数的图象与性质
题型09 二次函数的实根分布
题型10二次函数的单调性与最值
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 幂函数的图象
1．（多选）当时，幂函数的图象不可能经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．幂函数及直线，，将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如图所示）．那么幂函数的图象经过的“卦限”是（ ）
A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤
3．若函数的图象如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C． D．
4．下列四个图象中，函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，幂函数，，，在第一象限内的图象依次为 ．

02 幂函数的单调性与奇偶性
6．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知幂函数的图象经过点，函数，则（ ）
A．为偶函数 B．为奇函数
C．为增函数 D．为减函数
8．已知函数的定义域为且，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知定义在上的函数，则不等式的解集是 .
03 幂函数比较大小
11．（多选）若，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
13．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若a，，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
15．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
04 幂函数的综合应用
16．（多选）已知函数与的图象如图所示，则（ ）
A．为奇函数 B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．的值域为
17．若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18．已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（ ）
A．2024 B．2025 C．4048 D．4049
19．若，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
20．（多选）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．函数为奇函数 B．
C．函数的值域为 D．当时，
21．（多选）已知幂函数的图象关于轴对称，.下列表述正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．函数恒过定点
D．当时，函数在的值域为
22．已知函数是减函数，则实数的取值范围是 .
05 一元二次不等式
23．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
24．已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（ ）
A． B． C． D．
25．（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名字命名，该函数解析式为，，其中为有理数集，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．，
C．，
D．关于的方程有四个不同的实数根
26．（多选）已知，满足，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．的最大值为2 D．的最小值为
27．向量，满足，且，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．函数的定义域为 .
29．已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是 .
06 分式、绝对值、高次不等式
30．已知集合，则
31．不等式的解集是 ．
32．不等式的解集是 ．
33．求下列关于的不等式的解集：
(1)；
(2).
07 二次函数的解析式
34．已知为二次函数且，，则 ．
35．已知函数为二次函数，的图象过点，对称轴为，函数在R上最小值为，则的解析式为 .
36．二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)在区间上，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围．
37．已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围．
08 二次函数的图象与性质
38．（多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
39．设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
40．函数的最大值为1，最小值为，则 .
41．若函数在上的最大值为2，则实数 ．
42．已知函数在时有最大值和最小值，设.若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围
43．已知函数.
(1)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围；
(2)若函数，且对，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
09 二次函数的实根分布
44．函数在上有零点，则实数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
45．（多选）已知函数，若方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．方程有2个不相等实数根
B．函数在上单调递增
C．函数无最值
D．实数的取值范围为
46．已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
47．已知函数的两个零点为2，3．若函数的两个零点分别在区间内，则实数m的取值范围为 ．
10 二次函数的单调性与最值
48．若对，恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
49．已知函数在上单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
50．若函数在区间上的最小值、最大值分别为，，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
51．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为，则的取值范围是 ．
52．已知函数．若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
53．已知函数．
(1)若函数的定义域为R，值域为，求实数a的值；
(2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围．
54．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．
(1)求和的值；
(2)若实数满足，求的最小值.
1．已知函数是定义在上奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
2．（多选）有如下命题，其中为真命题的是（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数（且）的图象恒过定点
C．函数有两个零点
D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数的取值范围是
3．已知函数当时，函数的最大值、最小值分别为，则实数的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为奇函数，则的单调递增区间为 ．
5．已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令．
(1)求函数的解析式；
(2)当时，求函数在区间上的值域；
(3)若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
6．已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式
(3)若对任意，都存在，使成立，求实数的取值范围.
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
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