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第03讲 平面向量的数量积及其应用
目录
01 常考题型过关练
题型01 平面向量数量积的定义
题型02 平面向量数量积的运算
题型03 数量积的坐标表示
题型04 投影向量
题型05 向量在几何中的应用
题型06 向量在物理中的应用
题型07 向量新定义
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 平面向量数量积的定义
1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】数乘的性质即可求解①④，根据数量积的性质即可求解②③.
【详解】，，，
表示与共线的向量，表示与共线的向量，故两者不一定相等，
故①②③正确，④错误，
故选：D
2．已知向量，在上的投影向量为，则（ ）
A． B．8 C．4 D．
【答案】A
【分析】由数量积的几何意义可判断选项正误.
【详解】由得，根据在上的投影向量为，可知在上的投影的数量为，
故根据数量积的几何意义，等于与在上的投影的数量的乘积，
故．
故选：A．
3．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可.
【详解】
过C作交延长线于E点，则，
因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值，
此时，
，
故选：C.
4．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
B．设，，为非零向量，则
C．设，为非零向量，若，则
D．若点为的重心，则
【答案】CD
【分析】由，可得，可判断A；根据数量积的意义判断B；根据向量垂直，数量积等于0计算，判断 C；根据三角形重心性质结合向量的线性运算可判断D.
【详解】对于A选项，若，则，，
与平行或与夹角为锐角，所以A错误；
对于B选项，，，为非零向量，则是与共线的向量，是与共线的向量，
而与不一定共线，故不一定成立，所以B错误；
对于C选项，因为，所以，
，所以C正确；
对于D选项，为的重心，

则点，，分别为，，的中点，
且，，，
则，所以D正确．
故选：CD．
02 平面向量数量积的运算
5．在矩形中，，点满足，则（ ）
A． B．1 C．3 D．9
【答案】C
【分析】直接利用数量积的运算律代入计算即可.
【详解】，
由于在矩形 中，，且相邻边互相垂直，
因此 ，所以，
所以，
又因为，所以 ，
代入得：.
故选：C
6．如果向量，满足，，且，则和的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据平面向量垂直得出；再利用平面向量夹角的计算公式即可求解.
【详解】因为，
所以，即.
又因为，
所以两向量夹角的余弦值为.
又因为，
所以，
故两向量夹角的大小是.
故选：B
7．在中，且，为边的中点.若在边上运动（点可与重合） ， 则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题得三角形是等腰直角三角形，利用平面向量基本定理，将，用其他已知方向和模长的向量表示，计算数量积，求最小值.
【详解】由题，为等腰直角三角形，，，，
设，，
则，，
所以，
即，因为，所以当时，最小等于.
故选：A.
8．已知向量满足，若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积的运算律，建立方程并化简，可得答案.
【详解】设与的夹角为，
由，
则，解得.
故选：C.
9．若，，为单位向量，则 .
【答案】
【分析】根据向量的模长计算公式，及数量积运算求解即可.
【详解】都为单位向量，
，
即，
，
，
故答案为：．
10．设向量， ，已知．
(1)求实数的值；
(2)求与的夹角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的模长及数量积的坐标运算即可求解.
（2）根据向量夹角公式即可求解.
【详解】（1），
，所以，
即，
所以，解得.
（2）设与的夹角为，，
所以，
，由（1）得，
所以，
，即与的夹角为
03 数量积的坐标表示
11．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量垂直的坐标表达式计算即得.
【详解】由可得，解得.
故选：C.
12．已知其中k为实数，若向量与的夹角为钝角，则k的取值范围（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【分析】由，结合不共线可得答案.
【详解】，不共线时，.
所以.
故选：D．
13．（多选）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据向量数量积的坐标表示，以及垂直，夹角，模的公式，即可判断选项.
【详解】对于A，因为，
所以，故A错误；
对于B，因为，
所以，即，故B正确；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
14．（多选）已知向量，满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的取值范围为
D．若与夹角为钝角，则实数的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对于选项A，利用向量垂直的坐标表示以及模为1可以列出方程组求出；对于选项B，利用向量的共线可以求出的值；对于选项C，将模平方，展开后根据向量夹角的范围求出模的范围即可；对于选项D，根据向量夹角的余弦公式即可求出的范围.
【详解】对于选项A：
因为，所以.
设，则，解得或.
所以或，所以A错误.
对于选项B：
因为，所以，所以，
所以，所以B错误.
对于选项C：
.
因为，所以，所以.所以C正确.
对于选项D：
因为向量的夹角为钝角，所以且.
所以且，
所以实数的取值范围为且，所以D错误.
故选：ABD.
04 投影向量
15．已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得.
【详解】因为在方向上的投影向量为，所以，
可得，即；
因为，为单位向量，所以，所以.
故选：A．
16．在中，已知，若向量在向量上的投影向量为，，则实数m的值为（ ）
A． B．5 C．2 D．
【答案】B
【分析】由题意可得，可得，利用同角的平方关系可求得，利用投影向量的定义可得，计算可求得.
【详解】由，可得，所以是直角三角形，且，
因为，所以，又，所以，
又因为向量在向量上的投影向量为，所以，
所以，所以，所以，
又因为，所以，解得.
故选：B.
17．已知，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由投影向量的定义、数量积的运算律即可求解.
【详解】，与的夹角为，则在上的投影向量为
.
故选：C.
18．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用投影向量的意义求解.
【详解】由，，得，，
所以在方向上的投影向量为.
故答案为：
05 向量在几何中的应用
19．已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据条件，确定的形状，再以为原点，建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标表示，再结合二次函数求最小值.
【详解】因为，所以为中点，
又为的外接圆圆心，所以为直角三角形，，
又，所以为等边三角形，
如图，以为原点，建立平面直角坐标系：
则，，设，，
则，，
所以
，（当时取“”）.
故选：C
20．如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂心的性质，通过面积比，得出三个角的正切值之比，根据题目条件列出方程，根据两角和的正切公式和同角三角函数关系，求出角的余弦值.
【详解】是的垂心，延长交与点，
设，
，
同理可得，，
又，，
又，，
不妨设，其中，
，
，解得或，
当时，此时，则都是钝角，
则，矛盾.
故，则，是锐角，，
于是，解得.
故选：A.
21．如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值.
【详解】
取中点为，由，
因为，所以，
若在围成的区域内一动点（含边界），当与重合时取到最大值，,
若在以为直径的半圆区域内一动点（含边界），
此时，当P为直线OM与半圆的交点时等号成立，
因为，
所以，
故的最大值为，
故选：C.
22．图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据向量的共线表示以及平面向量基本定理，可表达出，结合图形特征以及数量积的运算即可求解.
【详解】过点作于，
所以且，其中,
，
当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时,取得最大值为；
当点与点重合时，此时，即，故，取得的最小值为；
的取值范围是．
故答案为：．
23．如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点．
(1)求；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立坐标系，设，表达出，，由得到方程，求出，利用平面向量夹角余弦公式求出答案；
（2）设，表达出，结合，求出.
【详解】（1）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴，建立平面直角坐标系，
，，设，则，，，
，，
由，则，即，
又，，，
，，，，
，
又为锐角，；
（2）设，，
，，
，
，.
06 向量在物理中的应用
24．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用向量加法求出合力，然后利用相反向量求出即可.
【详解】由题意，作用在该质点上的三个力，，，
则．
想要该质点恰好达到平衡状态，只需．
故选：C.
25．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（ ）
A．3 B． C． D．12
【答案】A
【分析】由平面向量加法的平行四边形法则可知，，求得的坐标，然后利用坐标求模长建立关于的方程，解方程即可得解.
【详解】

设船实际航行的速度为，则，
又，所以，解得（负值舍去）.
故选：A
26．（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．越小越费力，越大越省力
C．当时， D．的范围为
【答案】AC
【分析】根据向量的平行四边形法则，由可知平行四边形法则为菱形，再逐一可验证求解.
【详解】
因为，所以平行四边形法则为菱形，故，即，故A正确；
根据向量加法的平行四边形法则越小越省力，越大越费力，故B错误；
当时，，又，所以为等边三角形，即，故C正确；
若，则，与矛盾，所以，故D错误；
故选：AC.
27．如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．
【答案】
【分析】设三条绳受的力分别为，则，根据向量加法法则和直角三角形三边关系得到，得到答案.
【详解】设三条绳受的力分别为，则，
合力为，，
如图，在平行四边形中，
∵，
∴，
即，故细绳OA受力最大，即对OA绳的耐力性要求最高．
故答案为：
07 向量新定义
28．（多选）设向量的夹角为，定义，已知平面内互不相等的两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，，则，则中，，，外接圆的半径为1，设，由正弦定理可得，，，则，利用三角恒等变换化简，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】设，，则，
因为，与的夹角为，
所以中，，，如图所示，
由正弦定理得外接圆的半径为，
则为圆上与不重合的动点，
设（），
由正弦定理可得，，，
则
，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为.
故选：D.
29．令表示全体平面向量构成的集合，若对于任意，都存在唯一的正整数（记为）与之对应，且对任意向量和任意实数都有，则对于集合中所含元素的个数说法正确的是（ ）
A．中至少有两个元素 B．中至少有无数个元素
C．中至多有三个元素 D．中至多有无数个元素
【答案】C
【分析】由题意可得对任意的的线性组合对应的值小于等于对应的值的最大值，且是唯一的，进而举例分析求解即可.
【详解】由，
则，
即对任意的的线性组合对应的值小于等于对应的值的最大值，且是唯一的.
若对于任意的，都有（为常数，且为正整数），
满足对任意向量，都有，
此时集合，只有1个元素；
设对于，对应，
任取，则，
由于，则，此时集合有2个元素；
设对于，对应，
任取，则，
由于，则，此时集合有3个元素；
当集合中所含元素的个数有4个及以上时，
设，，且，
任取，则，
当，且时，对应的值并不是唯一的，可以取除以外的值，
因此，这种情况不满足题意.
综上所述，中至多有三个元素.
故选：C.
30．（多选）已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（ ）．
A．，
B．在上投影向量的模为
C．若，，则
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据正弦值与余弦值的关系，结合题意，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算公式，可得其正误，对于CD，数量积的坐标运算，求得夹角，可得其正误.
【详解】对于A，当时，，则，故A正确；
对于B，在上投影向量的模为，，故B错误；
对于C，由，，则，所以，故C正确；
对于D，由，，，
则，所以，故D正确.
故选：ACD.
31．已知向量，，定义向量的新运算：．设向量，．若，则 ；若，则 ．
【答案】
【分析】第一空，利用向量共线求得，进而利用定义计算即可；第二空，利用定义计算可求得.
【详解】第一空：因为，．，所以，解得．
所以，所以；
第二空：由，可得，
解得，所以，又，所以，
所以.
故答案为：①；②.
32．已知向量与向量的对应关系用表示．
(1)设，，求向量及的坐标；
(2)求满足的向量的坐标；
(3)证明：对任意向量、，均满足．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据对应关系计算即可；
（2）根据设，根据对应关系可得关于的方程组，求出其解后可得向量的坐标；
（3）设，，根据对应关系可得及后可得两者相等.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以．
（2）设，则，
因为，则，即
解得因此．
（3）设，，∴，
，
又，，
所以
，
所以对任意向量，，均满足．
．
1．已知向量，，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据模长的坐标公式以及数量积的运算律，可得答案.
【详解】由，在，
由，则，即，
所以.
故选：D.
2．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，，则A，B两点的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积的定义求出夹角，根据题意计算即可.
【详解】根据题意，，
则，
所以两点的余弦距离为.
故选：D.
3．函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点.圆与的图象从左至右依次交于A，B，C，D，E，F六点，且在轴上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】AF为圆的直径，可得判断A；由题意可得，可求得，判断C；利用，可求得判断C；由题意得不出，可判断B.
【详解】根据的图象以及圆的对称性，可得A，F关于对称，且AF为圆的直径，
，故A正确；
同理B，E关于对称，，
故C正确；
，故D正确.
由题意可得A，F关于对称，B，E关于对称，所以为圆的直径，
而，，故，
若，则，故，
而，故，
故，而，故，故矛盾，故不垂直于，
故，故B错误.
故选：B.
4．已知，，三点不共线，，其中，为实数且不同时为0，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则，，三点共线
B．若，则点为的重心
C．若，则平分
D．若，则
【答案】D
【分析】根据向量共线、三角形重心、角平分线以及向量垂直的相关性质逐一分析选项.
【详解】对于选项A：
因为，所以，
所以.
所以.
所以点三点共线，所以A正确；
对于选项B：
，设的中点，
根据向量加法的平行四边形法则得，所以.
根据三角形重心的定义，三角形的重心是三条中线的交点，且重心分得所在线段长度为，
可知点为的重心，B正确；
对于选项C：
设，则，
分别是与同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
菱形的对角线平分内角，所以平分，所以C正确；
对于选项D：
.
因为，所以，
因为不一定为0，所以与不一定垂直，所以D错误.
故选：D.
5．在矩形中，，，点是边上的一点，且，则的值为 .
【答案】
【分析】以为平面内一组基底表示，再由向量数量积运算律计算即可.
【详解】由题意知，，
所以.
故答案为：
6．如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为 .

【答案】3
【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，将代入直线的方程，并用向量的坐标表示出，和上式联立，即可得出，最后求出等边三角形的边长.
【详解】设等边三角形边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
直线的斜率为：，方程为：，
设，因为在上，所以，
且，依题意，，所以，解得（负的舍去），即等边三角形的边长为3.

故答案为：3.
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为，所以，
则，，
所以.
故选：B.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
5．（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
6．（上海·高考真题）若，且满足，则 .
【答案】/
【分析】设，利用数量积定义求出，即可求出.
【详解】因为，所以，设.
由可得：，
两式相除得：.
又，且
解得：.
因为，所以，解得：.
故答案为：.
7．（浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到，然后利用即可解出．
【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
8．（天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出．
【详解】方法一：
，，
，当且仅当时取等号，而，所以．
故答案为：；．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，，
，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时．
故答案为：；．
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01 常考题型过关练
题型01 平面向量数量积的定义
题型02 平面向量数量积的运算
题型03 数量积的坐标表示
题型04 投影向量
题型05 向量在几何中的应用
题型06 向量在物理中的应用
题型07 向量新定义
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 平面向量数量积的定义
1．下面给出的关系式中，正确的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知向量，在上的投影向量为，则（ ）
A． B．8 C．4 D．
3．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．20
4．（多选）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
B．设，，为非零向量，则
C．设，为非零向量，若，则
D．若点为的重心，则
02 平面向量数量积的运算
5．在矩形中，，点满足，则（ ）
A． B．1 C．3 D．9
6．如果向量，满足，，且，则和的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，且，为边的中点.若在边上运动（点可与重合） ， 则的最小值（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量满足，若，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．若，，为单位向量，则 .
10．设向量， ，已知．
(1)求实数的值；
(2)求与的夹角的大小．
03 数量积的坐标表示
11．已知，，若，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知其中k为实数，若向量与的夹角为钝角，则k的取值范围（ ）
A． B． C．6 D．
13．（多选）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
14．（多选）已知向量，满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的取值范围为
D．若与夹角为钝角，则实数的取值范围为
04 投影向量
15．已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
16．在中，已知，若向量在向量上的投影向量为，，则实数m的值为（ ）
A． B．5 C．2 D．
17．已知，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
18．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
05 向量在几何中的应用
19．已知的外接圆圆心为O，且，，点D是线段BC上一动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，已知是的垂心，且，则（ ）
A． B． C． D．
21．如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．24
22．图中所示一个正六边形.已知该正六边ABCDEF的边长为1，点在其边上运动，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 .
23．如图，在梯形中，，，，，分别为，的中点，且，是线段上的一个动点．
(1)求；
(2)求的取值范围．
06 向量在物理中的应用
24．已知三个力，，同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则（ ）
A． B． C． D．
25．已知一条河的两岸平行，一艘船从河的岸边处出发，向对岸航行，若船的速度，水流速度，且船实际航行的速度的大小为9，则（ ）
A．3 B． C． D．12
26．（多选）在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．越小越费力，越大越省力
C．当时， D．的范围为
27．如图，无弹性细绳，一端分别固定在A，B处，在同样的细绳的下端吊一重物，要保持此状态，对细绳的耐力性要求最高的是 (三条绳本身质量忽略不计，横线上填或或)．
07 向量新定义
28．（多选）设向量的夹角为，定义，已知平面内互不相等的两个非零向量满足，且与的夹角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
29．令表示全体平面向量构成的集合，若对于任意，都存在唯一的正整数（记为）与之对应，且对任意向量和任意实数都有，则对于集合中所含元素的个数说法正确的是（ ）
A．中至少有两个元素 B．中至少有无数个元素
C．中至多有三个元素 D．中至多有无数个元素
30．（多选）已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（ ）．
A．，
B．在上投影向量的模为
C．若，，则
D．
31．已知向量，，定义向量的新运算：．设向量，．若，则 ；若，则 ．
32．已知向量与向量的对应关系用表示．
(1)设，，求向量及的坐标；
(2)求满足的向量的坐标；
(3)证明：对任意向量、，均满足．
1．已知向量，，且满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度来识别身份的一种技术，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设平面内有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知点，，则A，B两点的余弦距离为（ ）
A． B． C． D．
3．函数的部分图象如图中实线所示，为函数与轴的交点.圆与的图象从左至右依次交于A，B，C，D，E，F六点，且在轴上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，，三点不共线，，其中，为实数且不同时为0，则下列结论不正确的是（ ）
A．若，则，，三点共线
B．若，则点为的重心
C．若，则平分
D．若，则
5．在矩形中，，，点是边上的一点，且，则的值为 .
6．如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为 .

1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
6．（上海·高考真题）若，且满足，则 .
7．（浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
8．（天津·高考真题）在中，点D为AC的中点，点E满足.记，用表示 ，若，则的最大值为
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