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第03讲 三角函数的图象与性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 求三角函数的定义域、值域（最值）
题型02 利用三角函数的值域（最值）求参数
题型03 三角函数的周期性
题型04 三角函数的单调性
题型05 三角函数的奇偶性
题型06 三角函数的对称性
题型07 三角函数的零点问题
题型08 三角函数的图象变换
题型09 图象变换中的最小平移
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式
题型11 三角函数的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 求三角函数的定义域、值域（最值）
1．已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】已知函数的定义域为，对于，则有.
解得.
因为函数的定义域为，所以对于，有.
正切函数的周期是，在上单调递增，且，.
所以，.
解不等式，可得，即。；
解不等式，可得.
当时，；当时，.
综合前面两步，取与和的公共部分.
与的公共部分为；与的公共部分为.
所以函数的定义域为.
故选：B.
2．函数的定义域与值域的交集为 .
【答案】
【详解】由，解得，
所以定义域为.
由于，所以，
所以的值域为，
所以定义域与值域的交集为.
故答案为：
3．函数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【详解】
，其中，
则当时，取最大值.
故选：C
4．设，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得，．由得，．
于是
，，
故当时，取最小值．
故选：C．
02 利用三角函数的值域（最值）求参数
5．若函数在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当时，，且值域为，
所以，则.
故选：B.
6．已知函数的最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为
【答案】
【详解】因为，，
，，
，，，
的最大值为2，此时，则，
，故取最大值时对应x的集合为
故答案为：.
7．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 .
【答案】/
【详解】解：取，解得，
所以在上单调递增，
即在上单调递减，
因为在闭区间上有最大值为7，最小值为3，
所以，且，，
即，解得，
因为，所以，故.
故答案为：
8．（多选）设，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，当变化t时，以下情形可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】考虑到函数的最小正周期为，
对于B，若，在区间上，则；
在区间上可以取得，此时，故B正确；
对于C，同理，取，在区间上的最小值可以为，
由于，所以在区间上的最小值大于零，故可能，故C正确；
对于D，取，显然在区间上的最小值可以为，在区间上的最小值可以小于零，即可能，故D正确；
对于A，由以上BCD中的取值范围可知，当时，，结合正弦函数的单调性可得必有小于零，故A错误.
故选：BCD.
9．已知函数，在区间上的最小值为，则所有满足条件的的积属于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，得，由的最小值为，得，即，
当时，的最小值，则，此时，符合题意，因此；
若的最小值大于，则，且，解得，
余弦函数在上单调递减，因此存在唯一，使得，
因此或，所以所有满足条件的的积属于区间.
故选：B
【点睛】关键点点睛：按函数最小值能否取到进行分类是求解问题的关键.
03 三角函数的周期性
10．（多选）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，因，而，而，故A错误；
对于B，因，则函数的最小正周期为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为偶函数，则，其最小正周期为，故D错误．
故选：BC．
11．三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】C
【详解】对于①，设，该函数的定义域为，
因为，
故函数是周期函数，①对；
对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
若函数是周期函数，设为该函数的一个周期，
则存在非零整数、，使得，，可得，所以，，
因为为无理数，而为有理数，故等式不成立，
所以函数不是周期函数，②错.
故选：C.
12．设函数.已知，且的最小值为，则 .
【答案】8
【详解】由于的最大值为1，结合且的最小值为，
故函数的周期，故,
故答案为：8
13．已知，，则 ．
【答案】
【详解】因为，，
则
故答案为：.
04 三角函数的单调性
14．函数的单调递增区间是 ．
【答案】
【详解】函数，
所以，所以，
所以函数的单调递增区间是，
故答案为：.
15．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】，
，
在上单调递增，，即.
故选：C.
16．函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】令，故，
所以函数的减区间为，
因为在上为减函数，
故存在，使得，因为，
所以，所以，故，
.则的最大值为.
故选：B.
17．（四川省泸州市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试题）已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 .
【答案】1
【详解】在上是增函数，需，
时，，
故，解得，
又为整数，所以.
故答案为：1
18．设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究，
因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数，
所以只需要在区间是单调函数即可，
根据选项可知只需要满足时取值，
故，
根据余弦函数的单调性，若满足，解得，
若满足，解得，
若满足，无解，
故必满足题意，而，则ABC错误；
故选：D．
05 三角函数的奇偶性
19．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，的最小正周期为，A不是；
对于B，函数是偶函数，B不是；
对于C，函数最小正周期为且是奇函数，C是；
对于D，是偶函数，D不是.
故选：C
20．已知，且，则= .
【答案】
【详解】依题意，，则，
所以.
故答案为：
21．已知函数是奇函数，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由是奇函数，则是偶函数，
所以，即，
故当时，，
故选：A．
22．若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，
所以的最小正周期，又，所以，
所以，则，又为奇函数且，
所以，所以，
所以的最小值为．
故选：B．
06 三角函数的对称性
23．写出函数的一个对称中心 ．
【答案】（答案不唯一，）
【详解】函数中，令，解得，
取，则该函数的一个对称中心为.
故答案为：
24．若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．的最小正周期的最小值为 B．的最小正周期的最大值为
C．的最小正周期的最小值为 D．的最小正周期的最大值为
【答案】B
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，解得.又，所以，
则的最小正周期，所以的最小正周期的最大值为.
故选：B
25．已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（ ）
A．20 B．16 C．13 D．7
【答案】C
【详解】由条件可知，，得，
当时，，
由条件可知，，得，，且，
综上可知，的最小值为13.
故选：C
26．已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【详解】，由题意可得，
解得，当时，.
故选：C
27．，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【详解】设的最小正周期为，根据题意有，，
由正弦函数的对称性可知，
即，
又在上单调递增，则，
∴，则，
∵，∴时，，∴，
当时，，
由正弦函数的单调性可知.
故选：A
28．已知函数的图象离原点最近的对称轴为，若满足，则称为“近轴函数”．若函数是“近轴函数”，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】靠近原点的对称轴为，则，即，因为，则其离原点最近的对称轴为，要为近轴函数，则．因为，所以时，时，，所以或解得．
07 三角函数的零点问题
29．（ 2025·北京丰台·二模）已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ．
【答案】 （答案不唯一） 4
【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴，
所以，解得，
又，所以取（答案不唯一）；
若在区间上有零点，令，解得，
由，故且,
又且要求的最小值，故，所以的最小值为；
故答案为：（答案不唯一）；
30．（ 2025·上海·三模）函数的零点个数为
【答案】3
【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，
时，函数取最大值，
时函数的值为，
又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点.
所以的零点个数为个.
故答案为：.
31．已知函数，令在区间上恰有2个零点，则 .
【答案】/
【详解】由函数，且，
因为在区间上恰有2个零点，
可得在上恰有2个实数根，
即在上恰有2个根，
当时，令，
如图所示，画出在时的函数图象，
由图知关于对称，故，即，
解得，且，
因为，
所以.
故答案为：.
32．设为正整数.如果函数在区间内恰有2023个零点，则的值是 .
【答案】1349
【详解】令，，
由解得或，
即或,
根据正弦函数的图象和性质可知，在区间内有个解，，
所以当时，在区间内有2022个零点，
又在区间内有一个解，
综上函数在区间内恰有2023个零点，
故答案为：1349
33．已知函数．
(1)若的最小正周期为，求的单调递增区间；
(2)若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知
，
因为的最小正周期为，且，所以，
解得，所以，
令，
解得，
即的单调递增区间为．
（2）令，得，
当时，，
又在区间上恰有两个零点，即有两解，
所以，
解得，即的取值范围是．
08 三角函数的图象变换
34．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】D
【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位长度得：
的图像，故A错误；
对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得：
的图像，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度得：
的图像，故C错误；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得：
的图像，故D正确.
故选：D.
35．已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
，
要使函数与图象的对称中心完全相同，
则需为奇函数，
所以，，即解得，
因为，
当时，，当时，，
所以满足题意的的个数为2个.
故选：
36．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为向左平移个单位长度，
得到，
故选：B.
37．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，平移后所得解析式为，因此，
解得，当时，，D可以，
不存在整数，使得取，ABC不可以.
故选：D
38．将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 .
【答案】
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的图象，
因为，
由题意可知，函数的图象与函数的图象重合，
所以，可得，
因为，故当时，取最小值.
故答案为：.
09 图象变换中的最小平移
39．把函数的图象向右平移a个单位长度后得到偶函数的图象，则a的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，
由（）得（），当时，a有最小正值为.
故选：D
40．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数，则，
由的图象关于原点对称，得，解得，
所以当时，取得的最小正值为.
故选：C
41．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ．
【答案】/
【详解】由题意可得平移后所得函数的解析式为，由于为偶函数，所以,故,
，最小正值为．
故答案为：
10 由图象确定正(余）弦函数的解析式
42．函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意函数的图象的一个最高点坐标为，
相邻的一个最低点坐标为，可得函数最小正周期为，
故，且，
即，将代入得，即，
则，即，结合选项可知，
故选：D
43．（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减
D．当时，
【答案】BCD
【详解】由图可知，又过，
所以，解得，
，
所以，即，
又，，则，
对于A，，所以不是函数的对称轴，故A错误；
对于B，，所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，时，，
又在单调递减，
所以函数在上单调递减，故C正确；
对于D，时，，，
，故D正确；
故选：BCD.
44．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为
D．的图象与直线和线段围成的图形面积为
【答案】ABD
【详解】对于A选项，观察图象，得，即，而，解得，故A正确；
对于B选项，由，且在函数的递增区间内，得，解得，解得，因此，故B正确；
对于C选项，将向左平移个单位后，得曲线C：，故C错误；
对于D选项，画出的图象与直线，线段，如图实线围成区域即为所求，
由于，且的最小正周期为，
结合对称性知，所求区域面积即为矩形ABCD的面积：，故D正确.
故选：ABD.
45．函数（）的图象如图所示，点、分别为图象在内的一个最大值点和最小值点，点是曲线上在段的一个动点；
(1)求的值；
(2)设是坐标原点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可知，函数的图象过点，
∴，∴，
∴，，解得，，
∵，∴；
（2）由（1）可得，
在上，，
，
设，；则，
由条件可知与在区间上都是减函数，
所以函数在区间上是减函数，
当时，，当时，，
所以值域为
所以的取值范围是．
46．已知函数的部分图像如图所示:
(1)求函数的表达式；
(2)写出函数所有的对称轴的方程和对称中心的坐标；
(3)当时，求方程的所有根的和.
【答案】(1)；
(2)对称轴方程为，对称中心为；
(3).
【详解】（1）解：由函数的图象，可得，可得，所以，
因为，即，
可得，即，
又因为，可得，所以.
（2）因为，则令，
解得，则其对称轴方程为，
令，解得，则其对称中心为.
（3）由，可得或，
因为，可得，
当时，，设方程的解为，
则，可得；
当时，，则，可得，
综上所述，方程的所有根的和为.
11 三角函数的实际应用
47．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
【答案】D
【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为，
对于A，依题意，，则，A错误；
对于B，由时，得，即，而，则，B错误；
对于C，，令，得，
解得，则，解得，
即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误；
对于D，由，得，即，
则，解得，
所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确.
故选：D
48．（ 2025·广西河池·二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】
当时，时，.
故选：B
49．（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型：

记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（ ）
A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的
B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值
C．第94天时，情绪值小于15
D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期
【答案】ABD
【详解】由图象，智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的，故A正确；
由图像，体力曲线的最小正周期为天，，所以在出生起180天内，体力共有7次达高峰值，故B正确；
由图像，情绪曲线的最小正周期为天，所以第天情绪值为，第91天情绪值为20，而，所以第天情绪值大于，故C错误；
由图像，智力曲线的最小正周期为天，而，所以第天，智力曲线处于上升期，，所以第天，情绪曲线处于上升期，故D正确.
故选：ABD
50．奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值.
(1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值；
(2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释.
【答案】(1)4
(2)，合理解释见解析
【详解】（1）当时，，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以的最大值为4.
（2）因为，所以.
①当时，令，即，
所以，解得，，
又，所以，所以.
②当时，，即，
所以，解得，，
又，所以，所以，所以.
解释：函数，
可以由向左平移12个单位得到.从实际意义来看，
可以把前一天中午12点到第二天中午12点看成一天，故需降温时长不变.
1．已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
则
将向左平移个单位，得：
再向上平移个单位，得
当时， 令，则
方程即
作出函数在的图象：
要使有两个解，结合图象可知，解得，
因此，当时，有两个不等实根.
故选：C.

2．设，，为函数的3个相邻零点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，则的最小正周期为，可知，
又因为，可得，
即，且，
且，可知或为的零点，
若为的零点，则，
可得，且，可得，
若为的零点，则，
可得，这与矛盾；
综上所述：.
故选：B.
3．（多选）已知函数，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．的对称中心为
D．的单调递减区间为
【答案】AD
【详解】，定义域为，
的最小正周期为，故A正确；
的定义域为，值域为，故B错误；
令，则，
的对称中心为，故C错误；
令，则，
的定义域为，的单调递减区间为，故D正确.
故选：AD.
4．已知，函数，，若函数值域为，则 ．
【答案】或.
【详解】，
因为，所以，，
当时，，所以，
所以，所以；
当时，，所以，
所以，所以；
故答案为：或.
5．已知函数，.给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②函数在区间上是增函数；
③函数在区间内恰有3个不同的零点；
④函数的值域为.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【详解】函数，，
对于①，，函数是奇函数，①正确；
对于②，，，
而，即，②错误；
对于③，，
，
而，由，得，
当，解得，在内恰有3个不同的零点，③正确；
对于④，当，即时，
，当时，，，即函数的值域为，④正确.
故答案为：①③④
6．某摩天轮最高点距离地面高度米，转盘直径为米，设置有个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在后距离地面的高度，则的函数解析式为 ；在摩天轮转动的一周内，有 距离地面超过米.

【答案】 或
【详解】摩天轮转一周需要分钟，所以周期，又，则，解得，
摩天轮最高点距离地面高度米，则，又转盘直径为120米，
所以摩天轮最低点距离地面高度为米，所以，
由，解得，
所以的函数解析式为，
因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，所以时，，
则，所以，又，所以，
则.
在摩天轮转动的一周内，距离地面超过米的时间，即，所以，
则，所以，
所以在摩天轮转动的一周内，有分钟距离地面超过米，
故答案为：或；.
7．已知函数的部分图像如图所示，
(1)求解析式；
(2)求函数的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由图可知，∴，∴，∴.
又，∴，∴，∴.
又，∴，，∴.
（2）由（1）知，∴
.
∴当，即时，函数的最大值，最大值为.
8．已知函数的一个零点为．
(1)求c；
(2)当时，若的值域为，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题，，
所以.
（2）由（1），
，
因为，所以，
若的值域为，则，解得，
所以的取值范围为.
9．已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）依题意知，，，
所以，又，可得，故函数，
由图象经过点，所以，
可得，所以，，
所以，，又因为，所以，
所以，
令，解得，故对称中心为，.
（2）因为对任意的，，都有，所以.
因为，所以，
所以，所以，
，
令，则，.
对称轴为，所以①，可得，
②，可得，
③，可得，
综上.
1．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ．
【答案】
【详解】由函数在上单调递增，在单调递减，
且，
故函数在上的值域为.
故答案为：.
2．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中，B选项中，
C选项中，D选项中，
排除选项CD，
对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，
故选：B.
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
5．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
6．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 三角函数的图象与性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 求三角函数的定义域、值域（最值）
题型02 利用三角函数的值域（最值）求参数
题型03 三角函数的周期性
题型04 三角函数的单调性
题型05 三角函数的奇偶性
题型06 三角函数的对称性
题型07 三角函数的零点问题
题型08 三角函数的图象变换
题型09 图象变换中的最小平移
题型10 由图象确定正（余）弦函数的解析式
题型11 三角函数的实际应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 求三角函数的定义域、值域（最值）
1．已知函数 的定义域为[-1,1]，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的定义域与值域的交集为 .
3．函数的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
4．设，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
02 利用三角函数的值域（最值）求参数
5．若函数在上的值域是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的最大值为，最小值为．函数取最大值时对应x的集合为
7．已知函数在闭区间上的最大值为7，最小值为3，则 .
8．（多选）设，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为，当变化t时，以下情形可能的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，在区间上的最小值为，则所有满足条件的的积属于区间（ ）
A． B． C． D．
03 三角函数的周期性
10．（多选）下列函数中，以为周期的函数有（ ）
A． B．
C． D．
11．三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
12．设函数.已知，且的最小值为，则 .
13．已知，，则 ．
04 三角函数的单调性
14．函数的单调递增区间是 ．
15．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
16．函数在上单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
18．设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）．
A． B． C． D．
05 三角函数的奇偶性
19．下列函数中，最小正周期为且是奇函数的为（ ）
A． B．
C． D．
20．已知，且，则= .
21．已知函数是奇函数，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
22．若函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，且为奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
06 三角函数的对称性
23．写出函数的一个对称中心 ．
24．若函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．的最小正周期的最小值为 B．的最小正周期的最大值为
C．的最小正周期的最小值为 D．的最小正周期的最大值为
25．已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（ ）
A．20 B．16 C．13 D．7
26．已知函数的图象关于直线对称，则的取值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
27．，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．0
28．已知函数的图象离原点最近的对称轴为，若满足，则称为“近轴函数”．若函数是“近轴函数”，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
07 三角函数的零点问题
29．（ 2025·北京丰台·二模）已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ．
30．（ 2025·上海·三模）函数的零点个数为
31．已知函数，令在区间上恰有2个零点，则 .
32．设为正整数.如果函数在区间内恰有2023个零点，则的值是 .
33．已知函数．
(1)若的最小正周期为，求的单调递增区间；
(2)若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
08 三角函数的图象变换
34．要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
35．已知，现将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得函数与图象的对称中心完全相同，则满足题意的的个数为（ ）
A． B． C． D．
36．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
37．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
38．将函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合， 则的最小值为 .
09 图象变换中的最小平移
39．把函数的图象向右平移a个单位长度后得到偶函数的图象，则a的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
40．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
41．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ．
10 由图象确定正(余）弦函数的解析式
42．函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（ ）
A． B． C． D．
43．（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减
D．当时，
44．（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的最小正周期为
C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线，则曲线的一个对称中心为
D．的图象与直线和线段围成的图形面积为
45．函数（）的图象如图所示，点、分别为图象在内的一个最大值点和最小值点，点是曲线上在段的一个动点；
(1)求的值；
(2)设是坐标原点，求的取值范围．
46．已知函数的部分图像如图所示:
(1)求函数的表达式；
(2)写出函数所有的对称轴的方程和对称中心的坐标；
(3)当时，求方程的所有根的和.
11 三角函数的实际应用
47．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
48．（ 2025·广西河池·二模）埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程.这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔（AlphonseEiffel）对科学和技术的贡献.方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”（这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度）.则埃菲尔铁塔最大“高度”值为（ ）
A． B． C． D．2
49．（多选）假设某人在出生起180天内的体力、情绪、智力呈周期性变化，它们的变化规律遵循如图所示的正弦型曲线模型：

记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处、均为可向右延伸，则（ ）
A．智力曲线的最小正周期是三个曲线中最大的
B．在出生起180天内，体力共有7次达高峰值
C．第94天时，情绪值小于15
D．第62天时，智力曲线和情绪曲线均处于上升期
50．奉贤中学生物创新实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：，其中，.随着人工智能的普及，该实验室引进了AI管理系统，可以根据实际需求设定参数和的取值.
(1)若设定，且要求实验室一天的最大温差不超过8℃，求的最大值；
(2)若设定，且要求实验室温度不高于11℃.由两个实验小组分别设定参数如下：①；②，两个小组一天需要降温的时长分别为和.请比较和的大小关系，并进行合理解释.
1．已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设，，为函数的3个相邻零点，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）已知函数，则以下说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的值域为
C．的对称中心为
D．的单调递减区间为
4．已知，函数，，若函数值域为，则 ．
5．已知函数，.给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②函数在区间上是增函数；
③函数在区间内恰有3个不同的零点；
④函数的值域为.
其中所有正确结论的序号是 .
6．某摩天轮最高点距离地面高度米，转盘直径为米，设置有个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在后距离地面的高度，则的函数解析式为 ；在摩天轮转动的一周内，有 距离地面超过米.

7．已知函数的部分图像如图所示，
(1)求解析式；
(2)求函数的最大值.
8．已知函数的一个零点为．
(1)求c；
(2)当时，若的值域为，求t的取值范围．
9．已知函数（，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及对称中心；
(2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围.
1．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ．
2．（2023·天津·高考真题）已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
6．（2023·北京·高考真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
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