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第11讲 牛顿运动定律的综合应用（二）模型类
目录
01考情解码 命题预警 2
02体系构建 思维可视 3
03核心突破 靶向攻坚 5
考点一 连接体模型 5
知识点1 连接体问题特征 5
知识点2 常见类型 5
知识点3 解题方法 6
考向1 两物体并排连接体 7
考向2 轻绳连接体 8
考向3 轻弹簧连接体 9
考点二 滑块木板模型 10
知识点1 模型特征 10
知识点2 解题关键 10
知识点3 常见的两种位移关系 10
知识点4 模型构建 10
知识点5 解题方法 11
知识点6 滑块—木板模型的二种临界条件 11
考向1没有其他外力的板块模型 11
考向2受恒定外力的板块模型 13
考向3受变化外力的板块模型 15
【思维建模】 处理滑块—木板模型的三种方法 16
考点三 传动带模型 16
知识点1 传送带模型的特征及分类 16
知识点2 传送带模型分析流程 17
考向1 水平传送带 18
【思维建模】 水平传送带问题的常见情形及运动分析 19
考向2 倾斜传送带 20
【思维建模】 物体相对传送带位移的求解方法 21
【思维建模】 倾斜传送带问题的常见情形及运动分析 21
考点四 等时圆模型 22
知识点1 等时圆模型概述 22
知识点2 三种等时圆模型 23
考向1等时圆模型的理解与应用 23
04真题溯源 考向感知 25
考点 要求 考频 2025年 2024年 2023年
连接体模型 综合应用 中频 2025 安徽、2025 河北 2024 北京、2024 全国甲卷 2023 北京
滑块木板模型 综合应用 高频 \ 2024 浙江、2024 海南、2024 新疆河南 \
传动带模型 综合应用 高频 2025 福建 2024 北京、2024 安徽、2024 贵州、2024 湖北 \
等时圆模型 综合应用 低频 \ \ \
考情分析： 1.命题形式：选择题实验题计算题 2.命题分析：本专题属于综合应用热点内容，考查频率较高，是牛顿第二定律的在生活实际情境中的延申和拓展。连接体模型需掌握"质量分配原则"（同加速度系统中内力按质量比例分配），加速度关联性分析是必考点，高频难点有摩擦力突变问题。滑块模板模型考查频次逐年上升，情境复杂化，多出现粗糙度变化表面、倾斜板块，涉及相对运动分析。传送带模型核心考点是物体与传送带共速时刻分析，能量转化考查占比提升，等时圆模型多与机械能守恒结合，创新方向有非对称轨道设计。 3.备考建议：本讲内容备考时候，连接体模型需熟练运用"整体-隔离法"，掌握内力分配公式。滑块木板模型注意地面是否光滑，叠放体相对滑动（摩擦力方向判断）。传送到模型区分"划痕长度"与"相对位移"，注意静/动摩擦力转换点，掌握v-t图像分析法，等时圆模型熟记"竖直圆"临界速度公式及条件。 4.命题情境： ①生活实践类：CR450动车组，交通运输，工业传输，机场行李传送带，快递分拣传送带， 车辆拖拽故障车； ②学习探究类：航天器对接机构的刚性连接与弹性连接的动力学差异。 5.常用方法：整体法与隔离法、图像法、数学分析法
复习目标： 1.知道连接体的类型及运动特点，会用整体法和隔离法分析连接体问题。 2.掌握“滑块—木板”模型的受力情况和运动情况，会用动力学的观点处理“滑块—木板”问题。 3.掌握传送带模型的特点，了解传送带问题的分类。 4.会对传送带上的物体进行受力分析和运动状态分析，能正确解答传送带上物体的动力学问题，会计算相对位移及划痕的长度。 5.了解等时圆成立条件，会用等时圆结论解决实际问题。
考点一 连接体模型
知识点1 连接体问题特征
两个或两个以上相互作用的物体组成的具有相同运动状态的整体叫连接体.如几个物体叠放在一起，或并排放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法.
1.轻绳：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度大小总是相等。
2.轻杆：轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度;轻杆转动时，连接体具有相同的角速度，而线速度与转动半径成正比。
3.轻弹簧：在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度不一定相等;在弹簧形变最大时，两端连接体的速率相等。
4.接触连接：两物体通过弹力或摩擦力作用，可能具有相同的速度或加速度。其临界条件一般为两物体间的弹力为零或摩擦力达到最大静摩擦力。
知识点2 常见类型
1. 物物叠放连接体：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和加速度
2. 轻绳连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等．
3. 轻杆连接体：轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度和加速度．
4. 弹簧连接体：在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度、加速度不一定相等；在弹簧形变最大时，两端连接体的速度、加速度相等．
5. 关联速度连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度大小总是相等。下面三图中A、B两物体速度和加速度大小相等，方向不同。
关联速度连接体做加速运动时，由于加速度的方向不同，一般采用分别选取研究对象，对两物体分别列牛顿第二定律方程，用隔离法求解加速度及相互作用力。
知识点3 解题方法
整体法与隔离法，正确选取研究对象是解题的关键.
1. 整体法：若连接体内各物体具有相同的加速度,且不需要求系统内各物体之间的作用力,则可以把它们看作一个整体,根据牛顿第二定律,已知合外力则可求出加速度,已知加速度则可求出合外力.
2. 隔离法：若连接体内各物体的加速度不相同,则需要把物体从系统中隔离出来,应用牛顿第二定律列方程求解.
3. 若连接体内各物体具有相同的加速度,且需要求物体之间的作用力,则可以先用整体法求出加速度,然后再用隔离法选取合适的研究对象,应用牛顿第二定律求作用力,即“先整体求加速度,后隔离求内力”.
考向1 两物体并排连接体
例1我国航天员要在天宫二号航天器实验舱的桌面上测量物体的质量，可采用的方法如下：质量为的待测物A的前后连接有质量均为的两个力传感器，在某一恒定外力F作用下在桌面上一起运动，如图所示，稳定后待测物A前、后两个传感器的读数分别为、，由此可知待测物体A的质量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】隔离前面的传感器有，隔离待测物体A有，联立可得
故选B。
【变式训练1·变角度】（2025·福建福州·三模）如图所示，质量分别为m和M的两本书叠放在光滑水平面上，两本书之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，为使两本书一起做匀加速直线运动，则施加在m上的水平推力F最大值为（ ）
A．μmg B．
C． D．
【答案】D
【详解】依题意，由牛顿第二定律，m能够提供给M最大加速度时，二者间的静摩擦力达到最大值，即，对系统，，解得
故选D。
考向2 轻绳连接体
例2（2025·北京海淀·一模）如图所示，两相同物块用细线相连接，放在粗糙水平面上，在水平恒力F作用下，一起做匀加速直线运动，物块间细线的拉力大小为T。当两物块均由粗糙的水平面运动到光滑的水平面上且仍在F的作用下运动，则（　　）
A．两物块的加速度变大，细线的拉力仍为T
B．两物块的加速度不变，细线的拉力仍为T
C．两物块的加速度变大，细线的拉力小于T
D．两物块的加速度不变，细线的拉力小于T
【答案】A
【详解】设物块的质量为m，当水平地面粗糙时，设动摩擦因数为，以两物块为整体，根据牛顿第二定律可得，解得加速度为，以左侧物体为对象，根据牛顿第二定律可得，联立可得绳子的拉力为，当水平地面光滑时，以两物块为整体，根据牛顿第二定律可得，解得加速度为，以左侧物体为对象，根据牛顿第二定律可得，联立可得绳子的拉力为，则有，
故选A。
考向3 轻弹簧连接体
例3如图所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块和，它们的质量分别为和，弹簧的劲度系数为为一固定挡板，系统处于静止状态。现用一沿斜面向上的恒力拉物块使之沿斜面向上运动，当刚要离开时，的加速度方向沿斜面向上，大小为，则（　　）
A．物块始终做匀加速运动
B．从静止到刚离开的过程中，弹簧的弹力先减小后增大
C．从静止到刚离开的过程中，运动的距离为
D．恒力的大小为
【答案】BD
【详解】A．弹簧恢复原长前，由牛顿第二定律得，随着x的变化，a变化，不是匀加速，A错误；
B．从静止到B刚离开C的过程中，弹簧由压缩状态变为原长，再由原长变为拉伸状态，所以弹簧的弹力先减小后增大，B正确；
C．拉力作用前，对A由平衡条件得，物块B刚离开C时，对B由平衡条件得，A运动的距离为，解得，C错误；
D．物块B刚离开C时，对A根据牛顿第二定律得，解得，D正确。
故选BD。
考点二 滑块木板模型
知识点1 模型特征
一个物体在另一个物体上，两者之间有相对运动.问题涉及两个物体、多个过程，两物体的运动速度、位移间有一定的关系.
知识点2 解题关键
1. 统一参考系：所有物理量和计算以地面作为参考系。
2. 临界点：当滑块与木板速度相同时，“板块”间的摩擦力可能由滑动摩擦力转变为静摩擦力或者两者间不再有摩擦力(水平面上共同匀速运动)，因此速度相同是摩擦力突变的一个临界条件.
知识点3 常见的两种位移关系
滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板同向运动，则滑离木板的过程中滑块的位移与木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板相向运动，滑离木板时滑块的位移和木板的位移大小之和等于木板的长度.
知识点4 模型构建
1. 隔离法的应用:对滑块和木板分别进行受力分析和运动过程分析。
2. 对滑块和木板分别列动力学方程和运动学方程。
3. 明确滑块和木板间的位移关系
如图所示，滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移之差Δx=x1－x2=L(板长);滑块和木板反向运动时，位移大小之和x2+x1=L。
知识点5 解题方法
1. 明确各物体对地的运动和物体间的相对运动情况，确定物体间的摩擦力方向，.
2. 分别隔离两物体进行受力分析，准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变).
3. 物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口.求解中应注意联系两个过程的纽带，即每一个过程的末速度是下一个过程的初速度.
知识点6 滑块—木板模型的二种临界条件
1. 两者速度达到相等的瞬间，摩擦力可能发生突变。
2. 当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘，二者共速是滑块滑离木板的临界条件。
考向1没有其他外力的板块模型
例1（2025·四川绵阳·三模）（多选）如图甲所示，足够长、上表面粗糙的木板P静止在粗糙水平地面上，可视为质点的小物块Q静止在木板的右端、现给物块Q水平向左的初速度，之后物块Q的速度随时间变化的关系图像如图乙所示。若木板与地面间的滑动摩擦因数是，小物块与木板上表面间的滑动摩擦因数是，则（　　）
A．木板始终静止 B．木板先运动后静止 C． D．
【答案】BD
【详解】根据题意，由图乙可知，物块一直减速运动，且一段时间后加速度变小，可知，物块运动一段时间后与木板共速，并一起减速到0。
AB．物块刚滑上木板时，对木块由牛顿第二定律有，解得物块的加速度大小为，木板在木块给的水平向左的滑动摩擦力和地面给的向右的滑动摩擦力作用下，加速向做运动，当木块与木板共速后，一起向左做减速运动，直到速度减为零，停止运动，A错误，B正确；
CD．当木块与木板共速后，一起向左做减速运动的过程中，对整体受力分析，由牛顿第二定律有，解得共速后木块的加速度大小为，由木块的图像可知，即，C错误，D正确。
故选BD。
【变式训练1·变角度】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图所示，一长木板在水平地面上运动，在某时刻（）长木板速度为时，将一物块轻放到木板上，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间、木板与地面间均有摩擦，并认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。在物块放到木板上之后，物块运动的速度一时间图像可能是下列选项中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，可设二者达到速度后，一起匀减速至时刻停止。
对物块，有，则，对木板，有，则，二者一起匀减速时，有，则，A B．当时，可推出，矛盾，故A B均错误；
C．当时，可推出，故C正确；
D．当时，可推出，故D错误。
故选C。
考向2受恒定外力的板块模型
例2（2024·重庆九龙坡·一模）如图所示，一足够长的质量为M=10kg的长木板在光滑水平面上以3m/s的速度向右行驶。某时刻轻放一质量m=2.0kg的小黑煤块在长木板右端（小黑煤块视为质点且初速度为零），同时给长木板施加一个F=14N的向右水平恒力，煤块与长木板间动摩擦因数μ=0.20，取g=10m/s2.,则下列说法正确的是（　　）
A．煤块在整个运动过程中先做匀加速直线运动再做匀速直线运动
B．煤块放上长木板后，长木板一直做加速度不变的加速运动
C．煤块在4s内前进的位移为9m
D．煤块最终在长木板上留下的痕迹长度为4.5m
【答案】D
【详解】AB．对煤块，根据牛顿第二定律，有，可得煤块向右运动的加速度m/s2，对长木板，根据牛顿第二定律，有，解得长木板向右运动的加速度m/s2，经过时间两者共速，解得s，共速后两者一起以相同的加速度向右加速，根据牛顿第二定律，有，解得m/s2.，故AB错误；
CD．在s时间内，煤块向右运动位移，长木板向右运动的位移为，解得，煤块相对长木板向左的位移为，故C错误，D正确。
故选D。
【变式训练2·变情境】（2025·贵州遵义·模拟预测）（多选）质量为M的抽屉通过两条平行滑轨水平安装到柜体内部，其与柜体的其他部位无接触，正视图如图（a）所示。抽屉内部放置质量为m的小物块，侧视图如图（b）所示，小物块与抽屉内表面的动摩擦因数为。抽屉运动时，每条滑轨给抽屉的阻力大小恒为f，方向与滑轨平行且水平，物块与抽屉之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度为g。给抽屉拉手施加水平拉力F，将其沿滑轨方向拉出，在此过程中抽屉与柜体无碰撞，下列说法正确的是（　　）
A．要能拉动抽屉，拉力F必须大于
B．要能拉动抽屉，拉力F必须大于2f
C．为保证物块与抽屉不发生相对滑动，拉力F不能超过
D．为保证物块与抽屉不发生相对滑动，拉力F不能超过
【答案】BC
【详解】AB．抽屉运动时，每条滑轨给抽屉的阻力大小恒为f，要能拉动抽屉，拉力F必须大于2f，故A错误，B正确；
CD．当物块与抽屉恰好发生相对滑动时，对物块，由牛顿第二定律有，解得，对抽屉和物块整体，由牛顿第二定律有，解得，故为保证物块与抽屉不发生相对滑动，拉力F不能超过，故C正确，D错误。
故选BC。
例3如图甲所示，质量为2m的足够长木板C置于水平面上，滑块A、B质量均为m，置于C上，B位于A右方某处。A、C间的动摩擦因数，B、C间和C与地面间的动摩擦因数。给C施加一水平向右的恒力F，从开始施加恒力到A、B第一次相遇时间为t。可得与F的关系如图乙所示（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取）下列说法正确的是（　　）
A．滑块A能获得的最大加速度为
B．A、B之间的初始距离为4m
C．滑块A的质量为1kg
D．若，A、C之间将发生相对滑动
【答案】C
【详解】A．对滑块A有，解得，A错误；
B．对滑块B有，解得，由图可知F足够大时，A、B均相对C滑动，相遇时间恒定为，由，解得，B错误；
C．当，滑块B与C恰好发生相对滑动，则有，得，C正确；
D．设A、B、C均产生相对运动时的拉力为，则有，得，故时，A、C保持静止，D错误。
故选C。
考向3受变化外力的板块模型
例4（2025·湖北·模拟预测）（多选）如图甲所示，质量为的长木板B放在水平面上，质量为的物块A放在木板上，开始物块与木板均处于静止状态。现用水平外力F作用在物块上，当F从0开始逐渐增大时，物块与木板运动的加速度a随F变化的图像如图乙中实线所示，图中上段倾斜直线的延长线与横轴交于。已知物块始终没有离开木板，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　）
A．木板与水平面间的动摩擦因数为0.1 B．小物块与木板间的动摩擦因数为0.3
C．图乙中 D．图乙中
【答案】AD
【详解】A．由图乙知，当时，物块与木板开始运动，则有，解得，故A正确；
B．由图乙知，当外力时，物块与木板开始相对滑动，此时物块与木板的加速度大小均为，对木板，根据牛顿第二定律有，解得，故B错误；
CD．当外力时，物块与木板开始相对滑动，此时物块与木板的加速度大小均为，对小物块，根据牛顿第二定律有，解得，故C错误；
D．当时，物块与木板相对滑动，对物块，根据牛顿第二定律有，解得，变形得，解得，故D正确。
故选AD。
【思维建模】 处理滑块—木板模型的三种方法
（1）整体法：将滑块和木板看成一个整体，对整体进行受力分析和运动过程分析。
（2）隔离法：对滑块和木板进行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程。
（3）假设法：假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力Ff；比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系，若Ff＞Ffm，则发生相对滑动。
考点三 传动带模型
知识点1 传送带模型的特征及分类
传送带运输是利用货物和传送带之间的摩擦力将货物运送到其他地方，有水平传送带和倾斜传送带两种基本模型.
1. 水平传送带常见类型及滑块运动情况
常见情境 物体的运动情况及v-t图像（加速度a＝μg）
l≤时，一直匀加速 l＞时，先匀加速后匀速
v0＝v时，一直匀速 v0＜v时： ①l≤x物，一直匀加速。 ②l＞x物，先匀加速后匀速 v0＞v时： ①l≤x物，一直匀减速。 ②l＞x物，先匀减速后匀速
l≤时，一直匀减速 l＞且v0＞v时，先匀减速后反向匀加速再匀速 l＞且v0≤v时，先匀减速后反向匀加速
2. 倾斜传送带常见类型及滑块运动情况
常见情境 物体的运动情况及v-t图像
倾斜向上传送 l≤，μ＞tan θ时：加速度a＝g（μcos θ－sin θ），一直匀加速 l＞，μ＞tan θ时：加速度a＝g（μcos θ－sin θ），先匀加速后匀速
倾斜向下传送 l≤时：加速度a＝g（μcos θ＋sin θ），一直匀加速 l＞，μ＞tan θ时：加速度a＝g（μcos θ＋sin θ），先匀加速后匀速 l＞，μ＜tan θ时：加速度a＝g（μcos θ＋sin θ）、a'＝g（sin θ－μcos θ），先以a匀加速后以a'匀加速
知识点2 传送带模型分析流程
考向1 水平传送带
例1（多选）各种各样的传送带被使用，极大提高了物资物料的输送效率，某同学对传送带的工作引起极大兴趣，同学注意到某一条水平传送带正以1m/s匀速运动（顺时针），长度4m，行李和传送带之间的动摩擦因数为0.2，行李轻放在传送带左端。行李可视为质点，g取，下列说法正确的是（　　）
A．行李轻放在传送带上瞬间，行李的加速度大小为
B．行李加速前进的距离为0.5m
C．行李在传送带上留下摩擦痕迹的长度为0.25m
D．传送带的速度越快，行李运送到传送带右端所用时间越少
【答案】AC
【详解】A．行李轻放在传送带左端，行李做加速运动的加速度为，故A正确；
B．设行李到达右端前已经与传送带共速，则行李加速前进的距离为，故B错误；
C．行李轻放在传送带左端到与传送带共速所用时间为，行李加速过程与传送带发生的相对位移为，可知行李在传送带上留下的摩擦痕迹长度为0.25m，故C正确；
D．如果要把行李最快运送到传送带右端，行李应一直做匀加速运动到右端，则有，解得，可知传送带的速度大于行李运送到传送带右端时间相同，故D错误。
故选AC。
【变式训练1·变情境】（2025·福建厦门·二模）如图所示为速冻食品加工厂生产和包装饺子的一道工序。将饺子轻放在匀速运转的足够长的水平传送带上，不考虑饺子之间的相互作用和空气阻力。关于饺子在水平传送带上的运动，下列说法正确的是（　　）
A．饺子质量越大，加速运动的加速度一定越小
B．传送带的速度越快，饺子的加速度越大
C．饺子加速运动的过程受到滑动摩擦力，匀速运动的过程受到静摩擦力
D．饺子受到的滑动摩擦力对饺子做正功
【答案】D
【详解】AB．饺子在水平传送带上加速运动时，受到滑动摩擦力作用，设饺子和水平传送带之间的动摩擦因数为μ，饺子的加速度为a，根据牛顿第二定律有，解得，所以饺子的加速度大小与饺子的质量以及传送带的速度大小无关，故AB错误；
C．饺子加速运动的过程受到滑动摩擦力，匀速运动的过程不受摩擦力作用，故C错误；
D．饺子受到的滑动摩擦力方向与饺子的运动方向一致，所以饺子受到的滑动摩擦力对饺子做正功，故D正确。
故选D。
【思维建模】 水平传送带问题的常见情形及运动分析
1.物块初速度方向与传送带速度方向相同
图示 速度大小比较 物块和传送带共速前 传送带足够长，物块v-t图像
Ff方向 运动状态
v0=0 向右 匀加速直线运动
v0v0>v 向左 匀减速直线运动
2.物块初速度方向与传送带速度方向相反
图示 状态 速度大小比较 Ff方向 物块运动状态
传送带较短 向左 匀减速直线运动
传送带足够长 v0v0>v 向左(共速前) v-t图像：
考向2 倾斜传送带
例2（2025·山东临沂·三模）如图所示，一传送带与水平面间的夹角为θ，在电动机的带动下，传送带以速度v沿顺时针方向稳定运行。现将一物块（视为质点）从传送带的底端以速度v 冲上传送带，，当物块运动到传送带的顶端时速度刚好为0，物块与传送带之间的动摩擦因数为μ，物块的质量为m，下列说法正确的是（　　）
A．μ与θ之间的关系为μ=tanθ
B．物块在做减速运动的过程中保持加速度不变
C．物块的速度达到v前后，加速度的大小之差为2μgcosθ
D．物块的速度达到v前，在传送带上的划痕长度等于物块位移大小的一半
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，物块与传送带速度相等后继续向上减速，则有，可得，故A错误；
B．因为，物块与传送带速度相等之前，物块受到的滑动摩擦力沿斜面向下，加速度沿斜面向下，大小为，物块与传送带速度相等之后，加速度沿斜面向下，大小为，故B错误；
C．物块与传送带在速度相等前后，加速度的大小之差为，故C正确；
D．设物块从冲上传送带到与传送带速度相等所用时间为，此过程物块的位移为，传送带的位移为，可知此过程物块在传送带上的划痕长度为，若满足，则有，由于不一定等于，则共速前物块在传送带上的划痕长度不一定等于物块位移大小的一半，故D错误。
故选C。
【思维建模】 物体相对传送带位移的求解方法
若物体相对传送带的位移大小为Δx。
(1)若有一次相对运动:Δx=x传－x物或Δx=x物－x传，Δx也是划痕长度。
(2)若有两次相对运动:两次相对运动方向相同，则Δx=Δx1+Δx2(图甲);
两次相对运动方向相反，则划痕长度等于较长的相对位移大小Δx2(图乙)。
【思维建模】 倾斜传送带问题的常见情形及运动分析
1.物块由低处传送到高处(μ>tan θ)
图示 速度大 小比较 物块与传送带共速前 传送带足够长，物块运动的v-t图像
Ff方向 加速度大小 运动状态
v0=0 沿传送带向上 μgcos θ-gsin θ 匀加速直线运动
v0v0>v 沿传送带向下 μgcos θ+gsin θ 匀减速直线运动
2.物块从高处传送到低处，物块初速度方向与传送带速度方向相同(μ>tan θ)
图示 速度大小比较 物块与传送带共速前 传送带足够长，物块运动的v-t图像
Ff方向 加速度大小 运动状态
v0=0 沿传送带向下 μgcos θ+gsin θ 匀加速直线运动
v0v0>v 沿传送带向上 μgcos θ-gsin θ 匀减速直线运动
3.物块从高处传送到低处，物块初速度方向与传送带速度方向相反(μ>tan θ)
图示 状态 速度大小比较 Ff方向 加速度大小 物块运动状态
传送带较短 沿传送带向上 μgcos θ-gsin θ 匀减速直线运动
传送带足够长 v0v0>v 沿传送带向上 共速前： μgcos θ-gsin θ 共速后：0 v-t图像：
思考　若μ=tan θ或μ考点四 等时圆模型
知识点1 等时圆模型概述
所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点(或从最高点到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。
知识点2 三种等时圆模型
1.“同顶”等时圆：质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到圆环的最低点所用的时间相等，如图甲所示。
2.“同底”等时圆：质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用的时间相等，如图乙所示。
3.“双圆周”等时圆：竖直面内的两个圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点从上环上不同点沿光滑弦由静止开始经切点滑到下环上所用的时间相等，如图丙所示。
证明：如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，由牛顿第二定律可得其加速度a＝gsin θ，由几何关系可得位移x＝2Rsin θ，且有x＝at2，可得下滑时间t＝2，等于沿竖直直径自由下落的时间。图丙是两个等时圆的组合。
考向1等时圆模型的理解与应用
例1 （2025·安徽安庆·二模）如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3:2:1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为（　　）
A． B．
C．3:2:1 D．1:1:1
【答案】A
【详解】根据等时圆模型，如图所示
只需要求出A′P、B′P、C′P，的时间之比，设最小圆的直径为d，则
故选A。
例2如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上，有三块光滑的板，它们的一端搭在墙上，另一端搭在圆2上，三块板都通过两圆的切点，在圆上，在圆内，在圆外。从、、三处同时由静止释放一个小球，它们都沿光滑板运动，则最先到达圆2上的球是（　　）
A．从处释放的球 B．从处释放的球
C．从处释放的球 D．从、、三处释放的球同时到达
【答案】B
【详解】假设经过切点的板两端点分别在圆1、圆2上，板与竖直方向的夹角为，圆1的半径为，圆2的半径为，则圆内轨道的长度为，对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律得，解得下滑时小球的加速度为，根据位移时间公式得，解得，可知当板的端点在圆上时，小球沿不同板下滑到底端所用的时间相同。由题意可知，在圆上，在圆内，在圆外，可知从处释放的球下滑的时间最短，B正确。
故选B。
例3（2024·湖北黄石·三模）如图所示，是一个倾角为的传送带，上方离传送带表面距离为的处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在与传送带间建立一直线光滑管道，使原料无初速度地从处以最短的时间到达传送带上，则最理想管道做好后，原料从处到达传送带的时间为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图所示
以处为圆的最高点作圆与传送带相切于点，设圆的半径为，从处建立一管道到圆周上，管道与竖直方向的夹角为，原料下滑的加速度为，管道长度为，由运动学公式可得，解得，可知从处建立任一管道到圆周上，原料下滑的时间相等，故在与传送带间建立一管道，原料从处到传送带上所用时间最短；根据图中几何关系可得，可得，联立可得
故选D。
1．（2025·安徽·高考真题）如图，装有轻质光滑定滑轮的长方体木箱静置在水平地面上，木箱上的物块甲通过不可伸长的水平轻绳绕过定滑轮与物块乙相连。乙拉着甲从静止开始运动，木箱始终保持静止。已知甲、乙质量均为，甲与木箱之间的动摩擦因数为0.5，不计空气阻力，重力加速度g取，则在乙下落的过程中（　　）
A．甲对木箱的摩擦力方向向左 B．地面对木箱的支持力逐渐增大
C．甲运动的加速度大小为 D．乙受到绳子的拉力大小为
【答案】C
【详解】A．因为物块甲向右运动，木箱静止，根据相对运动，甲对木箱的摩擦力方向向右，A错误；
B．设乙运动的加速度为，只有乙有竖直向下的恒定加速度，对甲、乙和木箱，由整体法，竖直方向受力分析有，则地面对木箱的支持力大小不变，B错误；
CD．设绳子的弹力大小为，对甲受力分析有，对乙受力分析有，联立解得，，C正确，D错误。
故选C。
2．（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数，重力加速度大小。求
（1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
（2）平台距地面的高度。
【答案】（1）4m/s；；（2）
【详解】（1）物块在薄板上做匀减速运动的加速度大小为
薄板做加速运动的加速度
对物块
对薄板
解得
（2）物块飞离薄板后薄板得速度
物块飞离薄板后薄板做匀速运动，物块做平抛运动，则当物块落到地面时运动的时间为
则平台距地面的高度
3．（2024·北京·高考真题）水平传送带匀速运动，将一物体无初速度地放置在传送带上，最终物体随传送带一起匀速运动。下列说法正确的是（　　）
A．刚开始物体相对传送带向前运动
B．物体匀速运动过程中，受到静摩擦力
C．物体加速运动过程中，摩擦力对物体做负功
D．传送带运动速度越大，物体加速运动的时间越长
【答案】D
【详解】A．刚开始时，物体速度小于传送带速度，则物体相对传送带向后运动，A错误；
B．匀速运动过程中，物体与传送带之间无相对运动趋势，则物体不受摩擦力作用，B错误；
C．物体加速，由动能定理可知，摩擦力对物体做正功，C错误；
D．设物体与传送带间动摩擦因数为μ，物体相对传送带运动时，做匀加速运动时，物体速度小于传送带速度则一直加速，由可知，传送带速度越大，物体加速运动的时间越长，D正确。
故选D。
4．（2024·安徽·高考真题）倾角为的传送带以恒定速率顺时针转动。时在传送带底端无初速轻放一小物块，如图所示。时刻物块运动到传送带中间某位置，速度达到。不计空气阻力，则物块从传送带底端运动到顶端的过程中，加速度a、速度v随时间t变化的关系图线可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】时间内：物体轻放在传送带上，做加速运动。受力分析可知，物体受重力、支持力、滑动摩擦力，滑动摩擦力大于重力的下滑分力，合力不变，故做匀加速运动。
之后：当物块速度与传送带相同时，静摩擦力与重力的下滑分力相等，加速度突变为零，物块做匀速直线运动。
C正确，ABD错误。
故选C。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第11讲 牛顿运动定律的综合应用（二）模型类
目录
01考情解码 命题预警 2
02体系构建 思维可视 3
03核心突破 靶向攻坚 5
考点一 连接体模型 5
知识点1 连接体问题特征 5
知识点2 常见类型 5
知识点3 解题方法 6
考向1 两物体并排连接体 7
考向2 轻绳连接体 8
考向3 轻弹簧连接体 8
考点二 滑块木板模型 9
知识点1 模型特征 9
知识点2 解题关键 9
知识点3 常见的两种位移关系 9
知识点4 模型构建 9
知识点5 解题方法 10
知识点6 滑块—木板模型的二种临界条件 10
考向1没有其他外力的板块模型 10
考向2受恒定外力的板块模型 11
考向3受变化外力的板块模型 12
【思维建模】 处理滑块—木板模型的三种方法 13
考点三 传动带模型 13
知识点1 传送带模型的特征及分类 13
知识点2 传送带模型分析流程 14
考向1 水平传送带 15
【思维建模】 水平传送带问题的常见情形及运动分析 15
考向2 倾斜传送带 16
【思维建模】 物体相对传送带位移的求解方法 17
【思维建模】 倾斜传送带问题的常见情形及运动分析 17
考点四 等时圆模型 18
知识点1 等时圆模型概述 18
知识点2 三种等时圆模型 19
考向1等时圆模型的理解与应用 19
04真题溯源 考向感知 20
考点 要求 考频 2025年 2024年 2023年
连接体模型 综合应用 中频 2025 安徽、2025 河北 2024 北京、2024 全国甲卷 2023 北京
滑块木板模型 综合应用 高频 \ 2024 浙江、2024 海南、2024 新疆河南 \
传动带模型 综合应用 高频 2025 福建 2024 北京、2024 安徽、2024 贵州、2024 湖北 \
等时圆模型 综合应用 低频 \ \ \
考情分析： 1.命题形式：选择题实验题计算题 2.命题分析：本专题属于综合应用热点内容，考查频率较高，是牛顿第二定律的在生活实际情境中的延申和拓展。连接体模型需掌握"质量分配原则"（同加速度系统中内力按质量比例分配），加速度关联性分析是必考点，高频难点有摩擦力突变问题。滑块模板模型考查频次逐年上升，情境复杂化，多出现粗糙度变化表面、倾斜板块，涉及相对运动分析。传送带模型核心考点是物体与传送带共速时刻分析，能量转化考查占比提升，等时圆模型多与机械能守恒结合，创新方向有非对称轨道设计。 3.备考建议：本讲内容备考时候，连接体模型需熟练运用"整体-隔离法"，掌握内力分配公式。滑块木板模型注意地面是否光滑，叠放体相对滑动（摩擦力方向判断）。传送到模型区分"划痕长度"与"相对位移"，注意静/动摩擦力转换点，掌握v-t图像分析法，等时圆模型熟记"竖直圆"临界速度公式及条件。 4.命题情境： ①生活实践类：CR450动车组，交通运输，工业传输，机场行李传送带，快递分拣传送带， 车辆拖拽故障车； ②学习探究类：航天器对接机构的刚性连接与弹性连接的动力学差异。 5.常用方法：整体法与隔离法、图像法、数学分析法
复习目标： 1.知道连接体的类型及运动特点，会用整体法和隔离法分析连接体问题。 2.掌握“滑块—木板”模型的受力情况和运动情况，会用动力学的观点处理“滑块—木板”问题。 3.掌握传送带模型的特点，了解传送带问题的分类。 4.会对传送带上的物体进行受力分析和运动状态分析，能正确解答传送带上物体的动力学问题，会计算相对位移及划痕的长度。 5.了解等时圆成立条件，会用等时圆结论解决实际问题。
考点一 连接体模型
知识点1 连接体问题特征
___________________的物体组成的___________________的整体叫连接体.如几个物体叠放在一起，或并排放在一起，或用绳子、细杆等连在一起，在求解连接体问题时常用的方法为整体法与隔离法.
1.轻绳：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度大小总是相等。
2.轻杆：轻杆平动时，连接体具有相同的平动速度;轻杆转动时，连接体具有相同的角速度，而线速度与转动半径成正比。
3.轻弹簧：在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度不一定相等;在弹簧形变最大时，两端连接体的速率相等。
4.接触连接：两物体通过弹力或摩擦力作用，可能具有相同的速度或加速度。其临界条件一般为两物体间的弹力为零或摩擦力达到最大静摩擦力。
知识点2 常见类型
1. 物物叠放连接体：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有___________________和___________________
2. 轻绳连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体___________________总是相等．
3. 轻杆连接体：轻杆平动时，连接体具有相同的___________________和___________________．
4. 弹簧连接体：在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速度、加速度___________________；在弹簧形变最大时，两端连接体的速度、加速度___________________．
5. 关联速度连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体___________________总是相等。下面三图中A、B两物体速度和加速度大小相等，方向不同。
关联速度连接体做加速运动时，由于加速度的方向不同，一般采用分别选取研究对象，对两物体分别列牛顿第二定律方程，用隔离法求解加速度及相互作用力。
知识点3 解题方法
整体法与隔离法，正确选取研究对象是解题的关键.
1. 整体法：若连接体内各物体___________________,且不需要求系统内各物体之间的作用力,则可以把它们看作一个整体,根据牛顿第二定律, _________________________________________________________.
2. 隔离法：若连接体内各物体的___________________,则需要把物体从系统中___________________出来,应用牛顿第二定律列方程求解.
3. 若连接体内各物体具有相同的加速度,且需要求物体之间的作用力,则可以先用整体法求出加速度,然后再用隔离法选取合适的研究对象,应用牛顿第二定律求作用力,即“____________________________________”.
考向1 两物体并排连接体
例1我国航天员要在天宫二号航天器实验舱的桌面上测量物体的质量，可采用的方法如下：质量为的待测物A的前后连接有质量均为的两个力传感器，在某一恒定外力F作用下在桌面上一起运动，如图所示，稳定后待测物A前、后两个传感器的读数分别为、，由此可知待测物体A的质量为（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1·变角度】（2025·福建福州·三模）如图所示，质量分别为m和M的两本书叠放在光滑水平面上，两本书之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，为使两本书一起做匀加速直线运动，则施加在m上的水平推力F最大值为（ ）
A．μmg B．
C． D．
考向2 轻绳连接体
例2（2025·北京海淀·一模）如图所示，两相同物块用细线相连接，放在粗糙水平面上，在水平恒力F作用下，一起做匀加速直线运动，物块间细线的拉力大小为T。当两物块均由粗糙的水平面运动到光滑的水平面上且仍在F的作用下运动，则（　　）
A．两物块的加速度变大，细线的拉力仍为T
B．两物块的加速度不变，细线的拉力仍为T
C．两物块的加速度变大，细线的拉力小于T
D．两物块的加速度不变，细线的拉力小于T
考向3 轻弹簧连接体
例3如图所示，在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块和，它们的质量分别为和，弹簧的劲度系数为为一固定挡板，系统处于静止状态。现用一沿斜面向上的恒力拉物块使之沿斜面向上运动，当刚要离开时，的加速度方向沿斜面向上，大小为，则（　　）
A．物块始终做匀加速运动
B．从静止到刚离开的过程中，弹簧的弹力先减小后增大
C．从静止到刚离开的过程中，运动的距离为
D．恒力的大小为
考点二 滑块木板模型
知识点1 模型特征
一个物体在另一个物体上，两者之间有相对运动.问题涉及两个物体、多个过程，两物体的运动速度、位移间有一定的关系.
知识点2 解题关键
1. 统一参考系：所有物理量和计算以地面作为参考系。
2. 临界点：当滑块与木板___________________时，“板块”间的摩擦力可能由滑动摩擦力转变为静摩擦力或者两者间不再有摩擦力(水平面上共同匀速运动)，因此速度相同是摩擦力突变的一个临界条件.
知识点3 常见的两种位移关系
滑块从木板的一端运动到另一端的过程中，若滑块和木板同向运动，则滑离木板的过程中滑块的位移与木板的位移之差等于木板的长度；若滑块和木板相向运动，滑离木板时滑块的位移和木板的位移大小之和等于木板的长度.
知识点4 模型构建
1. 隔离法的应用:对滑块和木板______________________________________和___________________。
2. 对滑块和木板分别列动力学方程和运动学方程。
3. 明确滑块和木板间的位移关系
如图所示，滑块由木板一端运动到另一端的过程中，滑块和木板同向运动时，位移之差Δx=x1－x2=L(板长);滑块和木板反向运动时，位移大小之和x2+x1=L。
知识点5 解题方法
1. 明确各物体对地的运动和物体间的相对运动情况，确定物体间的摩擦力方向，.
2. ______________________________________，准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变).
3. ______________________________________是解题的突破口.求解中应注意联系两个过程的纽带，即每一个过程的末速度是下一个过程的初速度.
知识点6 滑块—木板模型的二种临界条件
1. 两者速度达到相等的瞬间，摩擦力可能发生突变。
2. 当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘，二者共速是滑块滑离木板的临界条件。
考向1没有其他外力的板块模型
例1（2025·四川绵阳·三模）（多选）如图甲所示，足够长、上表面粗糙的木板P静止在粗糙水平地面上，可视为质点的小物块Q静止在木板的右端、现给物块Q水平向左的初速度，之后物块Q的速度随时间变化的关系图像如图乙所示。若木板与地面间的滑动摩擦因数是，小物块与木板上表面间的滑动摩擦因数是，则（　　）
A．木板始终静止 B．木板先运动后静止 C． D．
【变式训练1·变角度】（2025·四川绵阳·模拟预测）如图所示，一长木板在水平地面上运动，在某时刻（）长木板速度为时，将一物块轻放到木板上，已知物块与木板的质量相等，物块与木板间、木板与地面间均有摩擦，并认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。在物块放到木板上之后，物块运动的速度一时间图像可能是下列选项中的（　　）
A． B．
C． D．
考向2受恒定外力的板块模型
例2（2024·重庆九龙坡·一模）如图所示，一足够长的质量为M=10kg的长木板在光滑水平面上以3m/s的速度向右行驶。某时刻轻放一质量m=2.0kg的小黑煤块在长木板右端（小黑煤块视为质点且初速度为零），同时给长木板施加一个F=14N的向右水平恒力，煤块与长木板间动摩擦因数μ=0.20，取g=10m/s2.,则下列说法正确的是（　　）
A．煤块在整个运动过程中先做匀加速直线运动再做匀速直线运动
B．煤块放上长木板后，长木板一直做加速度不变的加速运动
C．煤块在4s内前进的位移为9m
D．煤块最终在长木板上留下的痕迹长度为4.5m
【变式训练2·变情境】（2025·贵州遵义·模拟预测）（多选）质量为M的抽屉通过两条平行滑轨水平安装到柜体内部，其与柜体的其他部位无接触，正视图如图（a）所示。抽屉内部放置质量为m的小物块，侧视图如图（b）所示，小物块与抽屉内表面的动摩擦因数为。抽屉运动时，每条滑轨给抽屉的阻力大小恒为f，方向与滑轨平行且水平，物块与抽屉之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度为g。给抽屉拉手施加水平拉力F，将其沿滑轨方向拉出，在此过程中抽屉与柜体无碰撞，下列说法正确的是（　　）
A．要能拉动抽屉，拉力F必须大于
B．要能拉动抽屉，拉力F必须大于2f
C．为保证物块与抽屉不发生相对滑动，拉力F不能超过
D．为保证物块与抽屉不发生相对滑动，拉力F不能超过
例3如图甲所示，质量为2m的足够长木板C置于水平面上，滑块A、B质量均为m，置于C上，B位于A右方某处。A、C间的动摩擦因数，B、C间和C与地面间的动摩擦因数。给C施加一水平向右的恒力F，从开始施加恒力到A、B第一次相遇时间为t。可得与F的关系如图乙所示（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取）下列说法正确的是（　　）
A．滑块A能获得的最大加速度为
B．A、B之间的初始距离为4m
C．滑块A的质量为1kg
D．若，A、C之间将发生相对滑动
考向3受变化外力的板块模型
例4（2025·湖北·模拟预测）（多选）如图甲所示，质量为的长木板B放在水平面上，质量为的物块A放在木板上，开始物块与木板均处于静止状态。现用水平外力F作用在物块上，当F从0开始逐渐增大时，物块与木板运动的加速度a随F变化的图像如图乙中实线所示，图中上段倾斜直线的延长线与横轴交于。已知物块始终没有离开木板，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　）
A．木板与水平面间的动摩擦因数为0.1 B．小物块与木板间的动摩擦因数为0.3
C．图乙中 D．图乙中
【思维建模】 处理滑块—木板模型的三种方法
（1）整体法：将滑块和木板看成一个整体，对整体进行受力分析和运动过程分析。
（2）隔离法：对滑块和木板进行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程。
（3）假设法：假设两物体间无相对滑动，先用整体法算出一起运动的加速度，再用隔离法算出其中一个物体“所需要”的摩擦力Ff；比较Ff与最大静摩擦力Ffm的关系，若Ff＞Ffm，则发生相对滑动。
考点三 传动带模型
知识点1 传送带模型的特征及分类
传送带运输是利用货物和传送带之间的摩擦力将货物运送到其他地方，有水平传送带和倾斜传送带两种基本模型.
1. 水平传送带常见类型及滑块运动情况
常见情境 物体的运动情况及v-t图像（加速度a＝μg）
l≤时，______________ l＞时，______________
v0＝v时，______________ v0＜v时： ①l≤x物，______________。 ②l＞x物，______________ v0＞v时： ①l≤x物，______________。 ②l＞x物，______________
l≤时，______________ l＞且v0＞v时，____________________________ l＞且v0≤v时，____________________________
2. 倾斜传送带常见类型及滑块运动情况
常见情境 物体的运动情况及v-t图像
倾斜向上传送 l≤，μ＞tan θ时： 加速度a＝g（μcos θ－sin θ），______________ l＞，μ＞tan θ时：加速度a＝g（μcos θ－sin θ），____________________________
倾斜向下传送 l≤时：加速度a＝g（μcos θ＋sin θ），______________ l＞，μ＞tan θ时：加速度a＝g（μcos θ＋sin θ），______________ l＞，μ＜tan θ时：加速度a＝g（μcos θ＋sin θ）、a'＝g（sin θ－μcos θ），____________________________
知识点2 传送带模型分析流程
考向1 水平传送带
例1（多选）各种各样的传送带被使用，极大提高了物资物料的输送效率，某同学对传送带的工作引起极大兴趣，同学注意到某一条水平传送带正以1m/s匀速运动（顺时针），长度4m，行李和传送带之间的动摩擦因数为0.2，行李轻放在传送带左端。行李可视为质点，g取，下列说法正确的是（　　）
A．行李轻放在传送带上瞬间，行李的加速度大小为
B．行李加速前进的距离为0.5m
C．行李在传送带上留下摩擦痕迹的长度为0.25m
D．传送带的速度越快，行李运送到传送带右端所用时间越少
【变式训练1·变情境】（2025·福建厦门·二模）如图所示为速冻食品加工厂生产和包装饺子的一道工序。将饺子轻放在匀速运转的足够长的水平传送带上，不考虑饺子之间的相互作用和空气阻力。关于饺子在水平传送带上的运动，下列说法正确的是（　　）
A．饺子质量越大，加速运动的加速度一定越小
B．传送带的速度越快，饺子的加速度越大
C．饺子加速运动的过程受到滑动摩擦力，匀速运动的过程受到静摩擦力
D．饺子受到的滑动摩擦力对饺子做正功
【思维建模】 水平传送带问题的常见情形及运动分析
1.物块初速度方向与传送带速度方向相同
图示 速度大小比较 物块和传送带共速前 传送带足够长，物块v-t图像
Ff方向 运动状态
v0=0 向右 匀加速直线运动
v0v0>v 向左 匀减速直线运动
2.物块初速度方向与传送带速度方向相反
图示 状态 速度大小比较 Ff方向 物块运动状态
传送带较短 向左 匀减速直线运动
传送带足够长 v0v0>v 向左(共速前) v-t图像：
考向2 倾斜传送带
例2（2025·山东临沂·三模）如图所示，一传送带与水平面间的夹角为θ，在电动机的带动下，传送带以速度v沿顺时针方向稳定运行。现将一物块（视为质点）从传送带的底端以速度v 冲上传送带，，当物块运动到传送带的顶端时速度刚好为0，物块与传送带之间的动摩擦因数为μ，物块的质量为m，下列说法正确的是（　　）
A．μ与θ之间的关系为μ=tanθ
B．物块在做减速运动的过程中保持加速度不变
C．物块的速度达到v前后，加速度的大小之差为2μgcosθ
D．物块的速度达到v前，在传送带上的划痕长度等于物块位移大小的一半
【思维建模】 物体相对传送带位移的求解方法
若物体相对传送带的位移大小为Δx。
(1)若有一次相对运动:Δx=x传－x物或Δx=x物－x传，Δx也是划痕长度。
(2)若有两次相对运动:两次相对运动方向相同，则Δx=Δx1+Δx2(图甲);
两次相对运动方向相反，则划痕长度等于较长的相对位移大小Δx2(图乙)。
【思维建模】 倾斜传送带问题的常见情形及运动分析
1.物块由低处传送到高处(μ>tan θ)
图示 速度大 小比较 物块与传送带共速前 传送带足够长，物块运动的v-t图像
Ff方向 加速度大小 运动状态
v0=0 沿传送带向上 μgcos θ-gsin θ 匀加速直线运动
v0v0>v 沿传送带向下 μgcos θ+gsin θ 匀减速直线运动
2.物块从高处传送到低处，物块初速度方向与传送带速度方向相同(μ>tan θ)
图示 速度大小比较 物块与传送带共速前 传送带足够长，物块运动的v-t图像
Ff方向 加速度大小 运动状态
v0=0 沿传送带向下 μgcos θ+gsin θ 匀加速直线运动
v0v0>v 沿传送带向上 μgcos θ-gsin θ 匀减速直线运动
3.物块从高处传送到低处，物块初速度方向与传送带速度方向相反(μ>tan θ)
图示 状态 速度大小比较 Ff方向 加速度大小 物块运动状态
传送带较短 沿传送带向上 μgcos θ-gsin θ 匀减速直线运动
传送带足够长 v0v0>v 沿传送带向上 共速前： μgcos θ-gsin θ 共速后：0 v-t图像：
思考　若μ=tan θ或μ考点四 等时圆模型
知识点1 等时圆模型概述
所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有______________细杆由静止下滑，到达圆周的______________ (或从______________到达同一圆周上各点)的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。
知识点2 三种等时圆模型
1.“同顶”等时圆：质点从竖直面内的圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到圆环的最低点所用的时间相等，如图甲所示。
2.“同底”等时圆：质点从竖直面内的圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用的时间相等，如图乙所示。
3.“双圆周”等时圆：竖直面内的两个圆环相切且两环的竖直直径均过切点，质点从上环上不同点沿光滑弦由静止开始经切点滑到下环上所用的时间相等，如图丙所示。
证明：如图甲、乙所示，质点沿竖直面内圆环上的任意一条光滑弦从上端由静止滑到底端，由牛顿第二定律可得其加速度a＝gsin θ，由几何关系可得位移x＝2Rsin θ，且有x＝at2，可得下滑时间t＝2，等于沿竖直直径自由下落的时间。图丙是两个等时圆的组合。
考向1等时圆模型的理解与应用
例1 （2025·安徽安庆·二模）如图所示，竖直平面内三个圆的半径之比为3:2:1，它们的最低点相切于P点，有三根光滑细杆AP、BP、CP，杆的最高点分别处于三个圆的圆周上的某一点，杆的最低点都处于圆的最低点P。现各有一小环分别套在细杆上，都从杆的最高点由静止开始沿杆自由下滑至P点，空气阻力不计，则小环在细杆AP、BP、CP上运动的时间之比为（　　）
A． B．
C．3:2:1 D．1:1:1
例2如图所示，圆1和圆2外切，它们的圆心在同一竖直线上，有三块光滑的板，它们的一端搭在墙上，另一端搭在圆2上，三块板都通过两圆的切点，在圆上，在圆内，在圆外。从、、三处同时由静止释放一个小球，它们都沿光滑板运动，则最先到达圆2上的球是（　　）
A．从处释放的球 B．从处释放的球
C．从处释放的球 D．从、、三处释放的球同时到达
例3（2024·湖北黄石·三模）如图所示，是一个倾角为的传送带，上方离传送带表面距离为的处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在与传送带间建立一直线光滑管道，使原料无初速度地从处以最短的时间到达传送带上，则最理想管道做好后，原料从处到达传送带的时间为（　　）
A． B．
C． D．
1．（2025·安徽·高考真题）如图，装有轻质光滑定滑轮的长方体木箱静置在水平地面上，木箱上的物块甲通过不可伸长的水平轻绳绕过定滑轮与物块乙相连。乙拉着甲从静止开始运动，木箱始终保持静止。已知甲、乙质量均为，甲与木箱之间的动摩擦因数为0.5，不计空气阻力，重力加速度g取，则在乙下落的过程中（　　）
A．甲对木箱的摩擦力方向向左 B．地面对木箱的支持力逐渐增大
C．甲运动的加速度大小为 D．乙受到绳子的拉力大小为
2．（2024·新疆河南·高考真题）如图，一长度的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到O点。已知物块与薄板的质量相等。它们之间的动摩擦因数，重力加速度大小。求
（1）物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；
（2）平台距地面的高度。
3．（2024·北京·高考真题）水平传送带匀速运动，将一物体无初速度地放置在传送带上，最终物体随传送带一起匀速运动。下列说法正确的是（　　）
A．刚开始物体相对传送带向前运动
B．物体匀速运动过程中，受到静摩擦力
C．物体加速运动过程中，摩擦力对物体做负功
D．传送带运动速度越大，物体加速运动的时间越长
4．（2024·安徽·高考真题）倾角为的传送带以恒定速率顺时针转动。时在传送带底端无初速轻放一小物块，如图所示。时刻物块运动到传送带中间某位置，速度达到。不计空气阻力，则物块从传送带底端运动到顶端的过程中，加速度a、速度v随时间t变化的关系图线可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
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