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第38讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建 思维可视 3
03核心突破 靶向攻坚 4
考点一 带电粒子在力电等效场中的圆周运动 4
知识点 方法概述及应用 4
考向1 竖直电场中的等效场问题 4
考向2 水平电场中的等效场问题 6
考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 8
知识点1 力电综合问题的处理流程 8
知识点2 电场中的功能关系 8
考向1 用动力学和能量观点解决力电综合问题 9
考向2 用能量和动量观点解决力电综合问题 11
04真题溯源 考向感知 12
考点 要求 考频 2025年 2024年 2023年
力电等效场中的圆周运动 综合应用 中频 \ 2024 浙江 2024 河北 \
用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 综合应用 高频 2025 黑吉辽蒙 2025 福建 2024 福建 2024 江西 2023 福建
考情分析： 1.命题形式：选择题实验题计算题 2.命题分析：高考对带电粒子在电场中运动的综合问题的考查较为频繁，大多在综合性的计算题中出现，题目难度较大。 3.备考建议：本讲内容备考时候，强化训练用力力、能量、动量三大观点来处理带电粒子在电场中运动时的直线和曲线运动的问题。 4.命题情境：此类题目多是将重力场中的模型，比如说板块、传送带、弹簧等模型放到匀强电场中予以命题。
复习目标： 会利用动力学、能量和动量的观点处理带电粒子在电场中直线运动、曲线运动问题。
考点一 带电粒子在力电等效场中的圆周运动
知识点 方法概述及应用
1.方法概述
等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。
2.方法应用
先求出重力与电场力的合力,将这个合力视为一个等效 ,将a=视为等效 。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效 场中分析求解即可。
考向1 竖直电场中的等效场问题
例1如图所示，竖直放置的半径为R的四分之一光滑圆弧轨道AB与粗糙绝缘水平轨道BC在B处平滑连接，O为圆弧轨道的圆心，直线OB左侧空间分布着电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场。一质量为m、电荷量为的带负电的物块，以一定的初速度从A点沿切线进入圆弧轨道。已知物块与水平轨道BC间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．无论在A点的初速度多大，物块一定能沿圆弧轨道运动到B点
B．物块以不同的初速度从A点沿圆弧轨道滑到B点，其在B点的速度最小为0
C．物块以不同的初速度从A点沿圆弧轨道滑过B点后，最终可停在距B点的位置
D．物块沿圆弧轨道滑过B点后，最终停在BC上，因摩擦产生的热量的最小值为
【变式训练1-1·变考法】如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，电场强度为E，A、B为两个固定的电荷量为的点电荷，O点是连线的中点。有一质量为m的带电小球在两电荷连线的中垂面内做半径为R的匀速圆周运动，圆心为O，带电小球和电荷A的连线与连线夹角为，重力加速度为g，静电力常量为k。下列说法正确的是（　　）
A．小球带负电 B．小球所带电荷量的大小为
C．小球做圆周运动向心力大小为 D．小球做圆周运动的线速度大小为
【变式训练1-2·变情境】如图所示，竖直向下的匀强电场中，A、B分别是轨迹的最高点和最低点，用绝缘细线拴住的质量为m的带电小球在竖直平面内绕O做圆周运动，重力加速度为g，以下四种说法中正确的是（　　）
A．A、B两点的绳子拉力差可能是12mg B．带电小球不可能做匀速圆周运动
C．带电小球通过A点时，细线拉力一定最小 D．带电小球通过B点时，动能一定最大
【变式训练1-3·变考法】用轻绳拴着一质量为m、带正电的小球在竖直面内绕O点做圆周运动，竖直面内加有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，如图甲所示，不计一切阻力，小球运动到最高点时的动能Ek与绳中张力F间的关系如图乙所示，当地的重力加速度为g，则（　　）
A．小球所带电荷量为
B．轻绳的长度为
C．小球在最高点的最小速度为
D．小球在最高点的最小速度为
考向2 水平电场中的等效场问题
例2如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，电场强度大小为E，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q（q>0）的带电小球（可视为点电荷），使小球获得一初速度后能绕O点在竖直平面内做圆周运动。A、B为水平方向的直径，小球运动到B点时细线的拉力恰好为小球在A点时细线拉力的6倍。下列说法正确的是（　　）
A．小球运动到B点时，动能最大
B．小球运动到B点时，动能为
C．小球运动到A点时，向心加速度大小为
D．小球在A点和B点动能之比为1:3
【变式训练2-1】如图所示，质量为m、电荷量为q的带正电的小球用长为L的绝缘细线悬挂在O点，空间存在水平向右的匀强电场，小球静止时位于P点，此时细线与竖直方向的夹角α = 37°，不计小球的大小，重力加速度为g。sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。则下列说法正确的是（　　）
A．匀强电场的电场强度大小为
B．若剪断细线，小球将做平抛运动
C．若在P点给小球一定初速度使小球恰好在竖直面内做圆周运动，则小球做圆周运动过程中的最小速度为
D．若在P点给小球一定初速度使小球恰好在竖直面内做圆周运动，则小球做圆周运动过程中的最小速度为
【变式训练2-2·变情境】如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，电场中固定一半径为R的半圆形绝缘槽，槽的左右端点a、c等高，b为槽的最低点。从a点静止释放一质量为m的带负电的小球，小球沿圆弧槽下滑至b点时对槽的压力为mg。小球可视为质点，运动过程中电量保持不变，摩擦力可忽略不计。下列判断正确的是（ ）
A．小球可以运动至c点
B．小球将在b点保持静止
C．小球运动过程中的最大速率为
D．若从c点静止释放小球，小球将沿圆弧运动至b点
【变式训练2-3】如图，在水平方向的匀强电场中，一质量为m、电量为+q的小球，栓在一长为L的轻绳一端，在水平绝缘光滑桌面上绕O点做圆周运动，小球运动到B点时的速度方向恰与电场方向垂直，小球运动到与B点在同一直径上的A点时，球与绳间刚好没有拉力作用，则（　　）
A．小球在B点时的速度
B．小球在B点时的速度
C．小球在B点时绳上的拉力大小为
D．小球运动向心加速度的最大值是最小值的6倍
考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题
知识点1 力电综合问题的处理流程
知识点2 电场中的功能关系
1．电场中的功能关系
(1)若只有静电力做功?电势能与 之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功?电势能、重力势能、 之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功?等于物体 的变化。
(4)所有外力对物体所做的功?等于物体 的变化。
2．电场力做功的计算方法
(1)WAB＝qUAB(普遍适用)
(2)W＝qEx cos θ(适用于匀强电场)
(3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解)
(4)W电＋W非电＝ΔEk(由动能定理求解)
考向1 用动力学和能量观点解决力电综合问题
例1如图所示，某空间区域的竖直平面内存在电场，其中竖直的一条电场线如图甲中虚线所示，一个质量为、电荷量为的带正电小球，在电场中从点由静止开始沿电场线竖直向下运动，以为坐标原点，取竖直向下为轴的正方向，小球的机械能与位移的关系如图乙所示，重力加速度为，不计空气阻力，则（　　）

A．电场强度方向沿轴正方向
B．从运动到的过程中，小球的速率越来越小，加速度越来越大
C．从运动到的过程中，相等的位移内，小球克服电场力做的功变大
D．到达位置时，小球速度的大小为
【变式训练1-1·变情境】如图所示，一长为L的绝缘轻绳一端系着质量为m、带电荷量为+q的小球（可视为质点）、另一端固定在O点，整个空间存在与竖直方向夹角为的匀强电场。小球绕O点在竖直面ACBD内做圆周运动，其中AB水平，CD竖直，E、F连线与电场平行且经过O点，小球运动到A点时速度最小，为，g为重力加速度，则下列说法正确的是（　　）

A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球从A点运动到B点，合力做功为4mgL
C．小球在B点时轻绳的拉力大小为6mg D．小球运动到E点时机械能最小
【变式训练1-2·变情境】在地面附近，存在着两个有理想边界的电场，边界A、B将该空间分成上下两个区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ中有竖直向上的匀强电场，区域Ⅱ中有竖直向下的匀强电场。两区域电场强度大小相等，在区域Ⅰ中的P点由静止释放一质量为m，电荷量为q的带电小球，小球穿过AB边界时速度为，进入区域Ⅱ到达M点速度刚好减为零，如图所示，已知此过程中小球在区域Ⅱ中运动时间是区域Ⅰ中运动施加的2倍，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　）
A．小球带正电
B．电场强度大小是
C．P点距边界的距离为
D．若边界AB处电势为零，则M点电势为
【变式训练1-3·变情境】如图所示，在倾角为的光滑斜面的底端有一个固定的挡板，劲度系数为的轻质弹簧的两端分别栓接在固定挡板和质量为的小物体B上，质量为带电量为的小物体A和B靠在一起处于静止状态。已知弹簧的弹性势能为，其中为弹簧的形变量，不计空气阻力（重力加速度为g）。现施加沿斜面向上场强大小为的匀强电场（未画出），使小物体A向上运动，当小物体A、B恰好分离时，小物体B的动能为（　　）
A． B． C． D．
考向2 用能量和动量观点解决力电综合问题
例2离子推进器是我国新一代航天动力装置，推进剂从图中P处注入，在A处电离出一价正离子，已知B、C之间加有恒定电压U，正离子进入B时的速度忽略不计，经加速形成电流为I的离子束后喷出推进器，假设单位时间内射出离子的质量为M。则推进器获得的推力大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1·变情境】如图，绝缘底座放在光滑水平面上，间距为d的平行板电容器竖直固定在绝缘底座上，A板有小孔O，水平光滑绝缘杆穿过O固定在B板上，绝缘杆离地高度为h，电容器、底座和绝缘杆的总质量为m。给电容器充电后，一质量为m的带正电圆环P套在杆上以某一速度对准O向左运动，在电容器中P距B板最近的位置为S，。若A、B板外侧无电场，内部为匀强电场，P过孔O时与板无接触，不计P对A、B板间电场的影响。则（　　）
A．P从O至S的过程中，绝缘底座的位移大小为
B．P进入两板间所受的电场力为
C．P从O至S的过程中，整个系统电势能的增加量为
D．圆环P落地时，圆环P和水平光滑绝缘杆最右端的距离为
【变式训练2-2·变情境】如图所示，水平地面上固定有一足够大的导体板，上表面绝缘，右端接地。板上放置着两滑块M、N，其中M带正电，N不带电且绝缘。滑块M、N的质量分别为m、2m。N的正上方P处固定一电荷量为Q的正点电荷。现给滑块M向右的初速度v0，经过一段时间与滑块N发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后滑块N向右运动距离l恰好静止。已知两滑块与导体板间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，两滑块均视为质点，整个过程滑块电荷量不变。则下列说法中正确的是（　　）
A．M在运动过程中的电势能增大
B．M在运动过程中的加速度不变
C．碰撞前M运动的时间为
D．碰撞前M克服摩擦力所做的功为
【变式训练2-3·变情境】是一种放射性同位素，生物学中常将标记到有机物中，追踪其在生物体内的代谢路径。已知静止在O点的原子核发生衰变的同时，空间中出现如图所示的匀强电场。之后衰变产物两粒子的运动轨迹如图中虚线所示，不考虑粒子所受重力、阻力和两粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．原子核发生的是衰变
B．衰变过程满足能量守恒，动量不守恒
C．两粒子始终处在同一等势面上
D．经过相等时间A、B粒子水平位移大小之比为2∶5
1．（多选）（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　）
A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
2．（2025·广东·高考真题）如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的平行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A点处，由静止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在B点处碰撞，碰撞时电荷量改变，反弹后离开下方绝缘平板瞬间，颗粒的速度与所受合力垂直，其水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为碰前瞬间的k倍（）。已知颗粒质量为m，两绝缘平板间的距离为h，两金属平板间的距离为d，B点与左平板的距离为l，电源电压为U，重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求：
(1)颗粒碰撞前的电荷量q。
(2)颗粒在B点碰撞后的电荷量Q。
(3)颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功W。
3．（2024·福建·高考真题）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。时撤去电场，C向下加速运动，下降后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为。已知A、B、C的质量分别为、、，小球C的带电量为，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。
(1)求匀强电场的场强大小；
(2)求A与B间的滑动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小；
(3)若时电场方向改为竖直向下，当B与A即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B继续向右运动，一段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离，C未与地面相碰）
4．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E的大小。
（2）小球在A、B两点的速度大小。
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01 考情解码 命题预警 2
02体系构建 思维可视 3
03核心突破 靶向攻坚 4
考点一 带电粒子在力电等效场中的圆周运动 4
知识点 方法概述及应用 4
考向1 竖直电场中的等效场问题 4
考向2 水平电场中的等效场问题 7
考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 10
知识点1 力电综合问题的处理流程 10
知识点2 电场中的功能关系 11
考向1 用动力学和能量观点解决力电综合问题 11
考向2 用能量和动量观点解决力电综合问题 14
04真题溯源 考向感知 17
考点 要求 考频 2025年 2024年 2023年
力电等效场中的圆周运动 综合应用 中频 \ 2024 浙江 2024 河北 \
用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题 综合应用 高频 2025 黑吉辽蒙 2025 福建 2024 福建 2024 江西 2023 福建
考情分析： 1.命题形式：选择题实验题计算题 2.命题分析：高考对带电粒子在电场中运动的综合问题的考查较为频繁，大多在综合性的计算题中出现，题目难度较大。 3.备考建议：本讲内容备考时候，强化训练用力力、能量、动量三大观点来处理带电粒子在电场中运动时的直线和曲线运动的问题。 4.命题情境：此类题目多是将重力场中的模型，比如说板块、传送带、弹簧等模型放到匀强电场中予以命题。
复习目标： 会利用动力学、能量和动量的观点处理带电粒子在电场中直线运动、曲线运动问题。
考点一 带电粒子在力电等效场中的圆周运动
知识点 方法概述及应用
1.方法概述
等效思维方法是将一个复杂的物理问题,等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。对于这类问题,若采用常规方法求解,过程复杂,运算量大。若采用等效法求解,则能避开复杂的运算,过程比较简捷。
2.方法应用
先求出重力与电场力的合力,将这个合力视为一个等效重力,将a=视为等效重力加速度。再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可。
考向1 竖直电场中的等效场问题
例1如图所示，竖直放置的半径为R的四分之一光滑圆弧轨道AB与粗糙绝缘水平轨道BC在B处平滑连接，O为圆弧轨道的圆心，直线OB左侧空间分布着电场强度大小为E、方向竖直向下的匀强电场。一质量为m、电荷量为的带负电的物块，以一定的初速度从A点沿切线进入圆弧轨道。已知物块与水平轨道BC间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．无论在A点的初速度多大，物块一定能沿圆弧轨道运动到B点
B．物块以不同的初速度从A点沿圆弧轨道滑到B点，其在B点的速度最小为0
C．物块以不同的初速度从A点沿圆弧轨道滑过B点后，最终可停在距B点的位置
D．物块沿圆弧轨道滑过B点后，最终停在BC上，因摩擦产生的热量的最小值为
【答案】D
【详解】AB．的带负电的物块受到竖直向上的电场力4mg和竖直向下的重力mg，则场力的合力方向竖直向上，大小为3mg，可知，B点为等效物理最高点，若物块恰好达到B点，则在B点若恰好由场力的合力提供向心力，此时物块在B点的速度为最小值，则有解得由A点到B点根据动能定理得解得所以物块如果能沿圆弧轨道运动到B点，在A点的初速度最小为，B点速度的最小值为，故AB错误；
CD．结合上述，若从A点沿圆弧轨道滑过B点，到达B点的最小速度为，在水平轨道上根据动能定理有解得所以最小距离为，此时摩擦力做功为所以摩擦生热最小值为，故C错误，D正确。故选D。
【变式训练1-1·变考法】如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，电场强度为E，A、B为两个固定的电荷量为的点电荷，O点是连线的中点。有一质量为m的带电小球在两电荷连线的中垂面内做半径为R的匀速圆周运动，圆心为O，带电小球和电荷A的连线与连线夹角为，重力加速度为g，静电力常量为k。下列说法正确的是（　　）
A．小球带负电 B．小球所带电荷量的大小为
C．小球做圆周运动向心力大小为 D．小球做圆周运动的线速度大小为
【答案】D
【详解】AB．由于小球在两电荷连线的中垂线内做匀速圆周运动，则有解得小球处于竖直向上的匀强电场中，受到竖直向上的电场力，故小球带正电，故AB错误；
CD．带电小球和电荷A的连线与连线夹角为，则由于解得故C错误，D正确。故选D。
【变式训练1-2·变情境】如图所示，竖直向下的匀强电场中，A、B分别是轨迹的最高点和最低点，用绝缘细线拴住的质量为m的带电小球在竖直平面内绕O做圆周运动，重力加速度为g，以下四种说法中正确的是（　　）
A．A、B两点的绳子拉力差可能是12mg B．带电小球不可能做匀速圆周运动
C．带电小球通过A点时，细线拉力一定最小 D．带电小球通过B点时，动能一定最大
【答案】A
【详解】A．设细线长度为r，当电场力与重力的合力F方向竖直向下时，对小球从A到B的运动过程，根据动能定理有 ①在A、B两点根据牛顿第二定律分别有 ②；
③联立①②③解得A、B两点的绳子拉力差为 ④；
当F=2mg时，有 ⑤故A正确；
B．当电场力与重力平衡时，小球可以做匀速圆周运动，故B错误；
CD．若小球所受电场力竖直向上，且大于重力，则小球通过A点时，速度最大，做圆周运动所需向心力最大，细线拉力最大，同理可知这种情况下小球通过B点时动能最小，故CD错误。故选A。
【变式训练1-3·变考法】用轻绳拴着一质量为m、带正电的小球在竖直面内绕O点做圆周运动，竖直面内加有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，如图甲所示，不计一切阻力，小球运动到最高点时的动能Ek与绳中张力F间的关系如图乙所示，当地的重力加速度为g，则（　　）
A．小球所带电荷量为
B．轻绳的长度为
C．小球在最高点的最小速度为
D．小球在最高点的最小速度为
【答案】C
【详解】A．当时，由，联立解得故A错误；
B．在最高点，绳对小球的拉力、重力和电场力的合力提供向心力，则有即由可得由图像可组织，图像斜率即故B错误；
CD．当时，重力和电场力的合力提供向心力，此时为最小速度，由解得故C正确，D错误。故选C。
考向2 水平电场中的等效场问题
例2如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，电场强度大小为E，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m、电荷量为+q（q>0）的带电小球（可视为点电荷），使小球获得一初速度后能绕O点在竖直平面内做圆周运动。A、B为水平方向的直径，小球运动到B点时细线的拉力恰好为小球在A点时细线拉力的6倍。下列说法正确的是（　　）
A．小球运动到B点时，动能最大
B．小球运动到B点时，动能为
C．小球运动到A点时，向心加速度大小为
D．小球在A点和B点动能之比为1:3
【答案】C
【详解】A．由题意可知，小球在等效最低点速度最大，动能最大，由于小球重力跟电场力的合力斜向左下方，即等效重力指向左下方，可知该位置应在运动轨迹的最低点与B点之间某一位置，所以其在B点时的动能不是最大，故A错误；
BCD．设小球在A点和B点时细线的拉力分别为TA和TB，根据牛顿第二定律有，小球从A点运动到B点，根据动能定理有联立解得，，所以故BD错误，C正确。故选C。
【变式训练2-1】如图所示，质量为m、电荷量为q的带正电的小球用长为L的绝缘细线悬挂在O点，空间存在水平向右的匀强电场，小球静止时位于P点，此时细线与竖直方向的夹角α = 37°，不计小球的大小，重力加速度为g。sin37° = 0.6，cos37° = 0.8。则下列说法正确的是（　　）
A．匀强电场的电场强度大小为
B．若剪断细线，小球将做平抛运动
C．若在P点给小球一定初速度使小球恰好在竖直面内做圆周运动，则小球做圆周运动过程中的最小速度为
D．若在P点给小球一定初速度使小球恰好在竖直面内做圆周运动，则小球做圆周运动过程中的最小速度为
【答案】C
【详解】A．对小球进行受力分析如图
可知解得故A错误；
B．若剪断细线，小球所受的合力沿着绳子拉力的反方向，则小球做匀加速直线运动，故B错误；
CD．小球静止时，沿着绳子方向斜向下的点为等效最低点，沿着绳子斜向上的点是等效最高点，在等效最高点时，由等效重力提供向心力时速度最小，此时等效重力为根据牛顿第二定律解得故C正确，D错误。故选C。
【变式训练2-2·变情境】如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，电场中固定一半径为R的半圆形绝缘槽，槽的左右端点a、c等高，b为槽的最低点。从a点静止释放一质量为m的带负电的小球，小球沿圆弧槽下滑至b点时对槽的压力为mg。小球可视为质点，运动过程中电量保持不变，摩擦力可忽略不计。下列判断正确的是（ ）
A．小球可以运动至c点
B．小球将在b点保持静止
C．小球运动过程中的最大速率为
D．若从c点静止释放小球，小球将沿圆弧运动至b点
【答案】C
【详解】A．小球沿圆弧槽下滑至b点时对槽的压力为mg，由牛顿第三定律可知，在竖直方向圆弧槽b点对小球的支持力大小为mg，可知小球在竖直方向受力平衡，由牛顿第二定律可知，此时小球的速度是零，且受电场力方向水平向左，因此小球不可以运动至c点，故A错误；
B．小球在竖直方向受力平衡，受电场力方向水平向左，由牛顿第二定律可知，小球向左做加速运动，故B错误；
C．小球在a点时速度是零，在b点时速度是零，可知小球从a点到b点，重力势能转化为电势能，且重力势能的减少等于电势能的增加，则有可得由题意可知，当小球从a点下落到受重力和电场力的合力方向与O点的连线在一条直线上时，小球的速率最大，如图所示
由动能定理，则有解得故C正确；
D．由C选项分析可知，小球受到的重力大小等于受的电场力，因此小球在c点时受到的合力大小为
受合力方向与水平直径成45°角，即由c点指向b点，因此从c点静止释放小球，小球将沿直线运动至b点，故D错误。故选C。
【变式训练2-3】如图，在水平方向的匀强电场中，一质量为m、电量为+q的小球，栓在一长为L的轻绳一端，在水平绝缘光滑桌面上绕O点做圆周运动，小球运动到B点时的速度方向恰与电场方向垂直，小球运动到与B点在同一直径上的A点时，球与绳间刚好没有拉力作用，则（　　）
A．小球在B点时的速度
B．小球在B点时的速度
C．小球在B点时绳上的拉力大小为
D．小球运动向心加速度的最大值是最小值的6倍
【答案】B
【详解】AB．小球运动到A点时球与绳间刚好没有拉力作用，说明了电场力提供向心力，则解得B到A的过程中电场力做功，由动能定理得解得故A错误，B正确；
C．小球在B点时绳上的拉力大小与电场力的合力提供加速度，得解得故C错误；
D．球所受向心力的最大值而最小值是qE，即小球所受向心力的最大值是最小值的5倍，根据牛顿第二定律可知小球运动向心加速度的最大值是最小值的5倍，故D错误。故选B。
考点二 用力学三大观点处理带电粒子在电场中运动的综合问题
知识点1 力电综合问题的处理流程
知识点2 电场中的功能关系
1．电场中的功能关系
(1)若只有静电力做功?电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有静电力和重力做功?电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力之外，其他各力对物体做的功?等于物体机械能的变化。
(4)所有外力对物体所做的功?等于物体动能的变化。
2．电场力做功的计算方法
(1)WAB＝qUAB(普遍适用)
(2)W＝qEx cos θ(适用于匀强电场)
(3)WAB＝－ΔEp＝EpA－EpB(从能量角度求解)
(4)W电＋W非电＝ΔEk(由动能定理求解)
考向1 用动力学和能量观点解决力电综合问题
例1如图所示，某空间区域的竖直平面内存在电场，其中竖直的一条电场线如图甲中虚线所示，一个质量为、电荷量为的带正电小球，在电场中从点由静止开始沿电场线竖直向下运动，以为坐标原点，取竖直向下为轴的正方向，小球的机械能与位移的关系如图乙所示，重力加速度为，不计空气阻力，则（　　）

A．电场强度方向沿轴正方向
B．从运动到的过程中，小球的速率越来越小，加速度越来越大
C．从运动到的过程中，相等的位移内，小球克服电场力做的功变大
D．到达位置时，小球速度的大小为
【答案】C
【详解】A．小球机械能的变化量取决于除重力外的其他力所做的功，即
故题图乙中图线的切线斜率表示小球受到的电场力，斜率变大，场强变大，小球机械能减小，电场力做负功，则场强沿轴负方向，故A错误；
B．从运动到的过程中，根据牛顿第二定律可得由于变大，可知变小，小球由静止释放后一开始做加速度减小的加速运动，故B错误；
C．从运动到的过程中，相等的位移内，小球克服电场力做功为由于变大，可知变大，故C正确；
D．从运动到的过程中，根据动能定理可得解得到达位置时，小球速度的大小为故D错误。故选C。
【变式训练1-1·变情境】如图所示，一长为L的绝缘轻绳一端系着质量为m、带电荷量为+q的小球（可视为质点）、另一端固定在O点，整个空间存在与竖直方向夹角为的匀强电场。小球绕O点在竖直面ACBD内做圆周运动，其中AB水平，CD竖直，E、F连线与电场平行且经过O点，小球运动到A点时速度最小，为，g为重力加速度，则下列说法正确的是（　　）

A．匀强电场的电场强度大小为 B．小球从A点运动到B点，合力做功为4mgL
C．小球在B点时轻绳的拉力大小为6mg D．小球运动到E点时机械能最小
【答案】D
【详解】A．小球运动到A点时速度最小，则电场力和重力的合力水平向右，电场力 mg解得匀强电场的电场强度大小故A错误；
B．电场力和重力的合力大小F合=mg方向水平向右，所以小球从A点运动到B点合力做功为2mgL，故B错误；
C．A到B过程，由动能定理有小球在B点时有解得小球在B点时轻绳的拉力大小故C错误；
D．由能量守恒知，小球运动到E点时电势能最大，机械能最小，故D正确。
故选D。
【变式训练1-2·变情境】在地面附近，存在着两个有理想边界的电场，边界A、B将该空间分成上下两个区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ中有竖直向上的匀强电场，区域Ⅱ中有竖直向下的匀强电场。两区域电场强度大小相等，在区域Ⅰ中的P点由静止释放一质量为m，电荷量为q的带电小球，小球穿过AB边界时速度为，进入区域Ⅱ到达M点速度刚好减为零，如图所示，已知此过程中小球在区域Ⅱ中运动时间是区域Ⅰ中运动施加的2倍，已知重力加速度为g，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　）
A．小球带正电
B．电场强度大小是
C．P点距边界的距离为
D．若边界AB处电势为零，则M点电势为
【答案】D
【详解】A．根据题意，小球先做匀加速运动，后做匀减速运动，可知电场力大于重力，且区域Ⅱ的场强方向向下，故电荷带负电，故A错误；
B．在上方电场，根据牛顿第二定律得在下方电场中，根据牛顿第二定律得，加速度大小为因为 ， 解得故B错误；
C．设P点距边界的距离为h，则故C错误；
D．对边界到M的过程运用动能定理得：解得则故D正确。故选D。
【变式训练1-3·变情境】如图所示，在倾角为的光滑斜面的底端有一个固定的挡板，劲度系数为的轻质弹簧的两端分别栓接在固定挡板和质量为的小物体B上，质量为带电量为的小物体A和B靠在一起处于静止状态。已知弹簧的弹性势能为，其中为弹簧的形变量，不计空气阻力（重力加速度为g）。现施加沿斜面向上场强大小为的匀强电场（未画出），使小物体A向上运动，当小物体A、B恰好分离时，小物体B的动能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】小物体A和B靠在一起处于静止状态，根据平衡条件有，A、B刚刚分离时，加速度相等，A、B之间弹力为0，则有，加电场至A、B刚刚分离过程，B的动能解得故选B。
考向2 用能量和动量观点解决力电综合问题
例2离子推进器是我国新一代航天动力装置，推进剂从图中P处注入，在A处电离出一价正离子，已知B、C之间加有恒定电压U，正离子进入B时的速度忽略不计，经加速形成电流为I的离子束后喷出推进器，假设单位时间内射出离子的质量为M。则推进器获得的推力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在A处电离出正离子，经B、C间电压加速后，由动能定理可知解得以推进器为参考系，应用动量定理有又因为，解得根据牛顿第三定律知推进器获得的推力大小为。故选A。
【变式训练2-1·变情境】如图，绝缘底座放在光滑水平面上，间距为d的平行板电容器竖直固定在绝缘底座上，A板有小孔O，水平光滑绝缘杆穿过O固定在B板上，绝缘杆离地高度为h，电容器、底座和绝缘杆的总质量为m。给电容器充电后，一质量为m的带正电圆环P套在杆上以某一速度对准O向左运动，在电容器中P距B板最近的位置为S，。若A、B板外侧无电场，内部为匀强电场，P过孔O时与板无接触，不计P对A、B板间电场的影响。则（　　）
A．P从O至S的过程中，绝缘底座的位移大小为
B．P进入两板间所受的电场力为
C．P从O至S的过程中，整个系统电势能的增加量为
D．圆环P落地时，圆环P和水平光滑绝缘杆最右端的距离为
【答案】C
【详解】A．带电圆环P进入电场后，在电场力的作用下，做匀减速直线运动，而电容器则在电场力的作用下做匀加速直线运动，当它们速度相等时，带电圆环与电容器的左极板相距最近，取向左为正方向，由于系统动量守恒有解得该过程电容器（绝缘底座）向左做匀加速直线运动，有环向左做匀减速直线运动，有由题意可知解得故A错误；
B．P从O运动至S的过程中，绝缘底座的位移大小为对绝缘底座研究，由动能定理可知根据牛顿第三定律可知，P进入两板间所受的电场力和绝缘底座受到的力为相互作用力，则P进入两板间所受的电场力为故B错误；
C．P从O运动至S的过程中，带电圆环P减速，动能减小，电容器动能增加，系统动能减小，电势能增加，增加的电势能为故C正确；
D．圆环P离开杆时，由系统动量守恒以及能量守恒解得圆环速度为绝缘底座速度为根据可得则落地时，圆环P和水平光滑绝缘杆最右端的距离为故D错误。故选C。
【变式训练2-2·变情境】如图所示，水平地面上固定有一足够大的导体板，上表面绝缘，右端接地。板上放置着两滑块M、N，其中M带正电，N不带电且绝缘。滑块M、N的质量分别为m、2m。N的正上方P处固定一电荷量为Q的正点电荷。现给滑块M向右的初速度v0，经过一段时间与滑块N发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后滑块N向右运动距离l恰好静止。已知两滑块与导体板间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，两滑块均视为质点，整个过程滑块电荷量不变。则下列说法中正确的是（　　）
A．M在运动过程中的电势能增大
B．M在运动过程中的加速度不变
C．碰撞前M运动的时间为
D．碰撞前M克服摩擦力所做的功为
【答案】D
【详解】A．在正点电荷和导体板产生的电场中，导体板上表面处的电场均竖直向下，则在整个过程中静电力对M始终不做功，M在运动过程中的电势能不变，故A错误；
B．除碰撞外，滑块M在运动的整个过程中受重力mg、支持力N、摩擦力f和电场力F作用，其中重力、支持力和电场力在竖直方向上，三个力平衡，有mg＋F＝N
由于导体板表面电场强度从P点正下方到两侧越来越小，则M在运动过程中F变化，N变化，摩擦力f＝μN变化，根据牛顿第二定律可得f＝ma，可知M在运动过程中的加速度变化，故B错误；
C．设碰撞后瞬间绝缘滑块N的速度大小为v，之后做匀减速运动的加速度大小为a′，根据牛顿第二定律得2μmg＝2ma′由运动学公式得－2a′l＝0－v2联立解得
设碰撞前瞬间M的速度为v1，碰撞后瞬间M的速度为v2，取向右为正方向，
根据动量守恒定律得mv1＝mv2＋2mv
根据碰撞前后总动能不变，有
联立解得，
碰撞前M运动的整个过程中，滑块M所受摩擦力等于合力，根据动量定理可得
由B项分析可知，可得碰撞前M运动的时间，故C错误；
D．设碰撞前M克服摩擦力所做的功为W，根据动能定理，有
解得
故D正确。
故选D。
【变式训练2-3·变情境】是一种放射性同位素，生物学中常将标记到有机物中，追踪其在生物体内的代谢路径。已知静止在O点的原子核发生衰变的同时，空间中出现如图所示的匀强电场。之后衰变产物两粒子的运动轨迹如图中虚线所示，不考虑粒子所受重力、阻力和两粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　）
A．原子核发生的是衰变
B．衰变过程满足能量守恒，动量不守恒
C．两粒子始终处在同一等势面上
D．经过相等时间A、B粒子水平位移大小之比为2∶5
【答案】D
【详解】A．根据A、B两粒子的运动轨迹，可知其所受电场力均与电场方向相同，即两粒子均带正电，可知原子核发生的是α衰变，故A错误；
BC．根据上述，该衰变的核反应方程为，衰变过程能量守恒，动量守恒，两原子核动量大小相等，则有mAvA=mBvB
可知，质量越大，速度越小，即的初速度小于的初速度，粒子在电场中做类平抛运动，则有x=vt，
解得
根据图像可知，当竖直分位移大小相等时，的初速度小，电荷量多，则水平分位移小一些，可知A粒子为粒子，根据可知，由于的比荷小于的比荷，经历相等时间，的竖直分位移小于的竖直分位移，即两粒子飞出后不在同一等势面上，故BC错误；
D．根据x=vt，mAvA=mBvB解得经过相等时间A、B粒子水平分位移之比为可知经历相等时间A、B粒子水平分位移比为2：5，故D正确。故选D。
1．（多选）（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　）
A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
【答案】BD
【详解】A．全过程，根据动能定理解得故A错误；
B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有解得故B正确；
C．小球甲最后停留时，满足解得位置x的区间故C错误；
D．若在最低点能返回，即在最低点满足结合动能定理又联立可得故D正确。故选BD。
2．（2025·广东·高考真题）如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘平板与两块竖直的平行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平板左端A点处，由静止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在B点处碰撞，碰撞时电荷量改变，反弹后离开下方绝缘平板瞬间，颗粒的速度与所受合力垂直，其水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为碰前瞬间的k倍（）。已知颗粒质量为m，两绝缘平板间的距离为h，两金属平板间的距离为d，B点与左平板的距离为l，电源电压为U，重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求：
(1)颗粒碰撞前的电荷量q。
(2)颗粒在B点碰撞后的电荷量Q。
(3)颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功W。
【答案】(1)
(2)
(3)若时，，若时，
【详解】（1）根据题意可知，颗粒在竖直方向上做自由落体，则有
水平方向上做匀加速直线运动，则有，
解得
（2）根据题意可知，颗粒与绝缘板第一次碰撞时，竖直分速度为
水平分速度为
则第一次碰撞后竖直分速度为
设第一次碰撞后颗粒速度方向与水平方向夹角为，则有
由于第一次碰撞后瞬间颗粒所受合力与速度方向垂直，则有
联立解得
（3）根据题意可知，由于，则第一次碰撞后颗粒不能返回上绝缘板，若颗粒第二次碰撞是和下绝缘板碰撞，设从第一碰撞后到第二次碰撞前的运动时间为，则有
水平方向上做匀加速直线运动，加速度为
水平方向运动的距离为
则电场对颗粒做的功为
若，则颗粒第二次碰撞是和右侧金属板碰撞，则颗粒从第一次碰撞到第二次碰撞过程中水平方向位移为，颗粒从A点开始运动到第二次碰撞过程中，电场对颗粒做的功为
3．（2024·福建·高考真题）如图，木板A放置在光滑水平桌面上，通过两根相同的水平轻弹簧M、N与桌面上的两个固定挡板相连。小物块B放在A的最左端，通过一条跨过轻质定滑轮的轻绳与带正电的小球C相连，轻绳绝缘且不可伸长，B与滑轮间的绳子与桌面平行。桌面右侧存在一竖直向上的匀强电场，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，轻绳处于自然伸直状态。时撤去电场，C向下加速运动，下降后开始匀速运动，C开始做匀速运动瞬间弹簧N的弹性势能为。已知A、B、C的质量分别为、、，小球C的带电量为，重力加速度大小取，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终处在弹性限度内，轻绳与滑轮间的摩擦力不计。
(1)求匀强电场的场强大小；
(2)求A与B间的滑动摩擦因数及C做匀速运动时的速度大小；
(3)若时电场方向改为竖直向下，当B与A即将发生相对滑动瞬间撤去电场，A、B继续向右运动，一段时间后，A从右向左运动。求A第一次从右向左运动过程中最大速度的大小。（整个过程B未与A脱离，C未与地面相碰）
【答案】(1)(2)；(3)
【详解】（1）撤去电场前，A、B、C均静止，M、N处于原长状态，对A、B整体分析可知，此时绳中拉力为0，对C根据共点力平衡条件有解得
（2）C开始做匀速直线运动后，对C和B根据共点力平衡条件分别有，其中解得，C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，此时A、B、C三者速度大小相等，M、N两弹簧的弹性势能相同，C下降的过程中，对A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有解得
（3）没有电场时，C开始匀速运动瞬间，A、B刚好发生相对滑动，所以此时A的加速度为零，对A根据共点力平衡有当电场方向改为竖直向下，设B与A即将发生相对滑动时，C下降高度为，对A根据牛顿第二定律可得对B、C根据牛顿第二定律可得
撤去电场后，由第（2）问的分析可知A、B在C下降时开始相对滑动，在C下降的过程中，对A、B、C及弹簧M、N组成的系统，由能量守恒定律有
此时A的速度是其从左向右运动过程中的最大速度，此后A做简谐运动，所以A第一次从右向左运动过程中的最大速度为联立解得
4．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E的大小。
（2）小球在A、B两点的速度大小。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
A到B过程根据动能定理得
联立解得
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