资源简介

微专题 动态平衡 平衡中的临界与极值问题
目录
01考情解码 命题预警 2
02体系构建 思维可视 3
03核心突破 靶向攻坚 5
考点一 动态平衡 5
知识点1 动态平衡问题综述 5
知识点2 动态平衡问题的解题方法 5
考向1 图解法解决动态平衡问题 7
考向2 解析法解决动态平衡问题 9
考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 11
考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 13
【思维建模】 动态平衡模型分析方法 15
考点二 平衡中的临界与极值问题 16
知识点1 临界问题与极值问题综述 16
知识点2 临界问题与极值问题的解题方法 17
考向1 物理分析法求极值问题 17
考向2 数学分析法求极值问题 19
考向3 极限法求极值问题 20
04真题溯源 考向感知 21
考点 要求 考频 2025年 2024年 2023年
动态平衡 综合应用 中频 2025 广东 \ 2023 海南
平衡中的临界与极值问题 综合应用 低频 2025 河北 \ \
1.命题形式：选择题实验题计算题 2.命题分析：本讲内容是高考综合应用问题，考查方式以选择题为主，作为共点力平衡的提升，是共点力平衡问题中的重点考查内容，以轻绳、杆、弹簧为模型,以连接体、叠加体为载体,结合实际生活进行受力分析,试题中常有“缓慢”、“轻轻地”、“刚好”、“刚能”、“恰好”等关键词。命题趋势呈以下变化：①生活化情境占比提升；②多力平衡与电磁学交叉考查成为新热点；③临界条件分析难度加大，常作为选择题压轴题出现。 3.备考建议：解答本讲内容的关键首先在进行正确的受力分析，在连接体问题和动态平衡问题中体会优选研究对象(整体和隔离)的便捷，体会临界极值法、函数法、图像法、整体法、隔离法等解题方法,多联系生活中的平衡现象,提高应用物理知识解决实际问题的能力。 4.命题情境： ①生活实践类： 可调节晾衣架、折叠梯/人字梯、窗帘/遮阳棚、秋千/吊床、 蹦极/高空索降、 车辆拖挂、 斜坡运输、人体骨骼/肌肉受力； ②学习探究类：观察秋千绳长与摆角的关系、分析绳拉力与摆角的关系（动态平衡）、塔吊配重平衡、绳长调节导致晾衣杆倾斜、梯子张开角度变化（人踩梯子时）、绳索调节导致遮阳棚倾斜。 5.常用方法：整体隔离法、正交分解法、、矢量三角形法、相似三角形法、矢量圆法、临界极值法、函数法、图像法、
复习目标： 1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。
考点一 动态平衡
知识点1 动态平衡问题综述
动态平衡是指研究对象的某些参量在变化，如速度、受力状态等，但是非常缓慢，可以看成平衡状态，因此题目中有关键词“缓慢”、“轻轻地”等
知识点2 动态平衡问题的解题方法
1.图解法的适用情况：适用于“一力恒定，另一力方向不变”
用图解法分析物体动态平衡问题时,一般物体只受三个力作用,且有两个不变量,即其中一个力大小、方向均不变,另一个力的方向不变或另两个力的夹角不变. 由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。
2.解析法：如果物体受到多个力的作用，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，可进行正交分解，利用解析法，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化，还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
3. 相似三角形法: 适用于“一力恒定，另两力方向均变化”
物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“结构三角形”总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
6. 矢量圆法(正弦定理法):适用于“一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变”
①矢量圆:如图所示，物体受三个共点力作用而平衡，其中一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。
②正弦定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。
考向1 图解法解决动态平衡问题
例1（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，一个质量为m的均匀光滑球放在倾角为的固定斜面上，并被斜面上一竖直方向的挡板挡住，处于静止状态。已知重力加速度为g，设球对挡板的压力大小为F1，球对斜面的压力大小F2，则（ ）
A．
B．F2=mgcosθ
C．当挡板顺时针缓慢转动到水平位置的过程中，F2一直减小
D．当挡板顺时针缓慢转动到水平位置的过程中，F1一直减小
【答案】C
【详解】AB．以球为研究对象，球受重力、斜面对球体的支持力和挡板对球体的支持力，如图所示。
根据平衡条件可得，
解得，
根据牛顿第三定律可知，球对竖直挡板压力的大小
球对斜面的压力大小为
故AB错误；
CD．当挡板顺时针缓慢转动到水平位置的过程中，由平衡条件得知，和的合力与mg大小相等、方向相反，力的合成图如图所示。
由图看出，逐渐减小，先减小后增大，则根据牛顿第三定律可知，一直减小，先减小后增大，故C正确；D错误。
故选C。
【变式训练1·变情境】（2025·黑龙江·二模）如图所示，一辆静止在水平地面的卡车利用缆绳，沿固定斜面向上缓慢拉动轿车，忽略轿车与斜面的摩擦，不计缆绳质量，则在轿车向上运动的过程中（　　）
A．轿车所受合外力变大
B．缆绳的拉力变大
C．斜面对轿车的支持力变大
D．地面所受的摩擦力变大
【答案】B
【知识点】动态平衡问题
【详解】A．由受力分析可知，轿车向上移动过程中受力平衡，合外力为0不变，A错误；
BC．缆绳与竖直方向的夹角越来越小，如图所示：
缆绳拉力越来越大，斜面对轿车的支持力变小，B正确、C错误；
D．对整个系统受力分析可知，地面所受摩擦力为0，D错误。
故选B。
考向2 解析法解决动态平衡问题
例2（2025·河南·三模）蜘蛛通过两根蛛丝（OA和OB）悬挂在树枝上保持平衡。初始时，蛛丝OA与竖直方向的夹角为θ，蛛丝OB水平，如图所示。若猎物在A点被蛛丝缠住并向右侧移动，蛛丝OB仍保持水平。蜘蛛始终静止，蛛丝形变量可忽略不计且蛛丝未断裂。下列说法正确的是（　　）
A．蛛丝OA的拉力逐渐减小，蛛丝OB的拉力逐渐增大
B．蛛丝OA的拉力逐渐增大，蛛丝OB的拉力逐渐减小
C．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐增大
D．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐减小
【答案】D
【知识点】动态平衡问题
【详解】设蜘蛛的重力为G，蛛丝OA的拉力为F1，蛛丝OB的拉力为F2，由平衡条件有，，解得，，当θ减小时，cosθ增大，tanθ减小，故F1减小，F2也减小。
故选D。
【变式训练2·变情境】（2025·江西九江·三模）（多选）图为高层安装空调时吊运外机的场景简化图。一名工人在高处控制绳子P，另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳，空调外机M缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角β保持不变，绳子质量忽略不计，则（　　）
A．绳子P上的拉力不断变大 B．绳子Q上的拉力先变小后变大
C．地面工人所受的支持力不断变小 D．地面工人所受的摩擦力先变大后变小
【答案】AC
【知识点】动态平衡问题
【详解】A B．对空调外机进行受力分析可知，空调外机分别受到绳P、Q的拉力、和自身的重力的作用而平衡，受力分析如图所示
将这三个力构成矢量三角形，如图所示
由图可知，地面上的工人在缓慢后退并缓慢放绳的过程中，不变，逐渐增大，、均增大，故A正确，B错误；
CD．对地面上工人进行受力分析可知，该工人受到重力、地面的支持力、绳Q的拉力以及地面的摩擦力四个力的作用处于平衡状态，受力分析如图所示
竖直方向平衡方程为，水平方向平衡方程为，其中不变，绳子Q的拉力增大，所以该工人受到的支持力减小，摩擦力增大，故C正确，D错误。
故选AC。
考向3 相似三角形法解决动态平衡问题
例3（2025·山东聊城·二模）警用钢叉是一种常用的防暴器械，其前端为半圆形的叉头，后端为握柄。现将钢叉竖直放置，半圆环的圆心为O，小球a套在半圆环上，小球b套在竖直杆上，两者之间用一轻弹簧连接。初始时小球b在外力作用下静止在竖直杆上，此时小球a静止在离半圆环最低点较近处，如图所示。现使小球b缓慢上移少许，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中弹簧始终在弹性限度内，则半圆环对小球a的弹力（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】A
【知识点】用相似三角形解决平衡问题
【详解】对a球受力分析，如图所示
由几何关系可知，力的矢量三角形与相似，则有
在小球b缓慢上移过程中，逐渐减小，保持不变，则半圆环对小球a的弹力一直增大。
【变式训练3·变情境】（2025·辽宁·模拟预测）如图甲所示，一攀岩爱好者正在进行攀岩运动，由于前期攀爬体力消耗过大，所以借助攀岩绳停在图示位置做短暂休息调整。攀岩绳可视为轻绳，一端固定在竖直崖壁上的B点，另一端拴在人的腰间O点（重心处），人的两脚并拢，踩在崖壁上的A点，该过程可以简化为如图乙所示的模型，轻绳为拉直状态，OA也视为直线。已知图乙中三角形三条边的长度比OA：OB：AB=4：5：6，则攀岩爱好者对岩壁的作用力和对轻绳的拉力大小之比为（　　）
A．4:5 B．5:4 C．5:6 D．6:5
【答案】A
【知识点】用相似三角形解决平衡问题
【详解】如图
由力的平衡和三角形相似有，根据牛顿第三定律可得攀岩爱好者对岩壁的作用力和对轻绳的拉力大小之比为。
故选A。
【变式训练4·变考法】（2025·四川达州·二模）如图所示，水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，一轻质弹簧一端固定在定滑轮的正下方N处，另一端与小球P连接，同时一轻绳跨过定滑轮与小球P相连。开始时在外力F作用下系统在图示位置静止。改变F大小使小球P缓慢移动，在小球P到达N点正上方前，下列说法正确的是（　　）
A．外力F大小不变
B．外力F逐渐变大
C．弹簧弹力逐渐变小
D．小球运动轨迹是圆弧
【答案】D
【知识点】用相似三角形解决平衡问题
【详解】AB．对小球P进行受力分析，三力构成矢量三角形，如图所示
根据几何关系可知两三角形相似，因此，缓慢运动过程OP越来越小，则F逐渐减小，故AB错误；
BD．由可知如果PN增大，则x会先减小，如果PN减小，则x会增大，该等式不可能成立，所以弹簧的形变量保持不变，弹簧弹力大小始终不变，小球运动轨迹是圆弧，故D正确，C错误。
故选D。
考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题
例4（2025·湖南怀化·三模）（多选）如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的模型，，叉车臂AC与水平方向夹角为。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若从缓慢增加为，叉车臂对石墩的作用力和车把对石墩的作用力的大小变化为（　　）
A．一直增加 B．先增加后减小
C．先减小后增加 D．一直在减小
【答案】AD
【知识点】动态平衡问题
【详解】在叉车匀速运动的过程中，对石墩进行受力分析，并将石墩所受的三个力进行平移构成一个首尾相接的矢量三角形，在从增加为过程中，该矢量三角形的三个顶点应落在一个圆上，如图所示
重力为圆的直径，由图可知，一直增加，一直在减小。
故选AD。
【变式训练5·变情境】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，半径为R的半圆形容器固定在水平面上，容器内壁光滑，一个质量为m、可视为质点的小球静止在容器的底部，现用一个大小等于的外力F作用在小球上，使小球向右沿容器内壁缓慢上移。已知重力加速度大小为g，则在小球运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．容器内壁对小球的作用力一定越来越小
B．通过改变F的方向，可以使小球运动到B点
C．外力的方向一定沿顺时针方向转动
D．小球能上升的最大高度为
【答案】D
【知识点】动态平衡问题
【详解】对小球受力分析如图，竖直向下的重力mg，容器壁对小球的作用力N沿半径指向圆心，以重力的末端为圆心，以外力F的大小为半径做半圆，小球向右沿容器内壁缓慢上移，三力平衡组成首尾相接的封闭三角形，容器壁对小球的作用力N一定与半圆相交，可知容器内壁对小球的作用力可能越来越大，也可能越来越小，外力的方向可能沿顺时针方向转动，也可能逆时针方向转动，当N与F垂直时小球上升到最高点，此时N与竖直方向夹角为，有，可知小球上升的最大高度，不可能运动到B点。
故选D。
【思维建模】 动态平衡模型分析方法
1. 矢量三角形法:其中一个力大小方向固定，另一个力方向固定，第三个力大小方向均不固定
水平拉力F逐渐增大，绳的拉力也逐渐增大
挡板对球的作用力F1先减小后增大，斜面对球的支持力F2逐渐减小
2. 相似三角形法:矢量三角形与几何三角形相似
==
3. 辅助圆法:
1)一个力大小、方向固定，另两个力间的夹角固定。
2)一个力大小、方向固定，另一个力大小固定，第三个力大小、方向均不固定
正弦定理==
考点二 平衡中的临界与极值问题
知识点1 临界问题与极值问题综述
1.临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述.
临界问题常见的种类：
①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．
②绳子恰好绷紧，拉力F＝0.
③刚好离开接触面，支持力FN＝0.
2.极值问题
平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
知识点2 临界问题与极值问题的解题方法
1.物理分析法:根据物体的平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值.
2.数学分析法:通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值).
3.极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量推向极端,即极大和极小.
4.利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值:
如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。
考向1 物理分析法求极值问题
例1（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，四分之一光滑圆弧轨道ABC固定在水平面上，一质量为m的小球（视为质点）处于圆弧AB之间的中点，在推力F的作用下处于静止，则推力F的大小不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直接合成法解决三力平衡问题
【详解】对小球受力分析，如图所示
当推力F与弹力FN垂直时，推力F最小，由三角函数关系可知，F最小为，可知推力F的大小不可能小于。
故选A。
【变式训练1·变情境】（2025·河北邯郸·模拟预测）我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对矿石受力分析如图
将与合成，设其合力方向与成夹角，易知，得
分别作出与合力的反向延长线，可知重力与的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即，由几何关系得，过重力的下端点作与合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，，得。
故选A。
考向2 数学分析法求极值问题
例2（2025·江西赣州·二模）如图为某科普博主带领同学们做实验的情景，有顶角不同的圆锥放在桌面上，现让同学们挑战按图示那样用手压紧圆锥表面将其拿起。若手与圆锥体间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。则以下不同顶角圆锥，有可能被拿起的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】斜面上物体受力平衡的问题
【详解】设左右手对接触面弹力均为F，则对于圆锥整体，若拿的起来时，有，整理得，故，计算发现只有满足条件，故D选项符合题意。
故选D。
【变式训练2·变情境】（2024 宁海市模拟）如图所示，战士在水平地面上进行拉轮胎的负荷训练。设战士拉着轮胎匀速向前，运动过程中双肩与绳的接触点A、B等高，两绳间的夹角为θ，所构成的平面与水平面间的夹角为α，如图所示。下列说法正确的是（　　）
A.若α保持不变，θ越小两绳上的拉力越大
B.若θ保持不变，α变化时两绳上的拉力存在最小值
C.无论α、θ取何值，地面对轮胎的支持力始终不变
D.无论α、θ取何值，轮胎对地面的压力不可能为0
【答案】D
【解析】设绳子拉力为F，轮胎与地面的动摩擦因数为μ，两绳上的拉力的合力为F合＝2Fcos，以轮胎对研究对象，根据受力平衡可得F合cos α＝f，mg＝N＋F合sin α，又f＝μN，联立可得F＝，若α保持不变，θ越小，cos越大，则绳子拉力越小，若θ保持不变，由于（cos α＋μsin α）存在最大值，即绳子拉力存在最小值，所以α变化时两绳上的拉力存在最小值，故A错误，B正确；地面对轮胎的支持力为N＝mg－F合sin α＝mg－sin α＝，可知地面对轮胎的支持力与α角有关，且地面对轮胎的支持力不可能为零，即轮胎对地面的压力不可能为零，故C错误，D正确。
【变式训练3】如图所示，质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
【答案】　2 N
【解析】
方法一　三角函数法
设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有
Fcos θ=μ(mg-Fsin θ)，整理得F=(其中sin β=)，当θ=-β时F最小，故所需拉力F的最小值Fmin==2 N。
方法二　利用“摩擦角”法
设FN与Ff的合力与FN方向的夹角为α，则tan α==μ ①
再设FN与Ff的合力为F'。
如图所示，当拉力F与F'垂直时有最小值
即Fmin=mgsin α ②
联立①②得Fmin=2 N。
考向3 极限法求极值问题
例3小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（　　）
A. B.R
C.R D.R
【答案】C
【解析】以整体为研究对象进行分析，设一个方形积木的质量为m，地面对其的支持力为N，根据平衡条件可得2N＝4mg，则N＝2mg，当两方形积木的距离最远时，设OA和OB之间的夹角为2θ，此时方形积木与地面间的摩擦力达到最大，对球形积木受力分析，根据平衡条件可得2Fcos θ＝2mg，对其中一个方形积木受力分析，根据平衡条件可得Fsin θ＝μN，联立解得tan θ＝1，则θ＝45°，根据几何关系可得AB之间的距离为x＝R，故C正确，A、B、D错误。
1．（2025·广东·高考真题）（多选）如图所示，无人机在空中作业时，受到一个方向不变、大小随时间变化的拉力。无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动。已知拉力与水平面成30°角，其大小F随时间t的变化关系为F = F0－kt（F ≠ 0，F0、k均为大于0的常量），无人机的质量为m，重力加速度为g。关于该无人机在0到T时间段内（T是满足F > 0的任一时刻），下列说法正确的有（ ）
A．受到空气作用力的方向会变化
B．受到拉力的冲量大小为
C．受到重力和拉力的合力的冲量大小为
D．T时刻受到空气作用力的大小为
【答案】AB
【知识点】动态平衡问题、利用F-t图像求冲量、利用平衡推论求力
【详解】AD．无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动，则无人机受到空气作用力与重力和拉力的合力等大反向，随着F的减小重力和拉力的合力如图
可知无人机受到空气作用力的大小和方向均会改变，在T时刻有，F = F0－kT，解得，故A正确、D错误；
B．由于拉力F随时间t均匀变化，则无人机在0到T时间段内受到拉力的冲量大小为F—t图像与坐标轴围成的面积为，故B正确；
C．将拉力分解为水平和竖直方向，则无人机受重力和拉力的合力在水平方向有，无人机受重力和拉力的合力在竖直方向有，0到T时间段内无人机受重力和拉力的合力在水平方向的冲量为，0到T时间段内无人机受重力和拉力的合力在竖直方向的冲量为，则0到T时间段内无人机受到重力和拉力的合力的冲量大小为，故C错误。
故选AB。
2．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　）
A． B． C．G D．
【答案】B
【知识点】动态平衡问题、计算绳子承受最大拉力的问题
【详解】分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时，此时拉力F最大，根据平衡条件有
解得
故选B。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)微专题 动态平衡 平衡中的临界与极值问题
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01考情解码 命题预警 2
02体系构建 思维可视 3
03核心突破 靶向攻坚 5
考点一 动态平衡 5
知识点1 动态平衡问题综述 5
知识点2 动态平衡问题的解题方法 5
考向1 图解法解决动态平衡问题 7
考向2 解析法解决动态平衡问题 8
考向3 相似三角形法解决动态平衡问题 8
考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题 9
【思维建模】 动态平衡模型分析方法 10
考点二 平衡中的临界与极值问题 11
知识点1 临界问题与极值问题综述 11
知识点2 临界问题与极值问题的解题方法 12
考向1 物理分析法求极值问题 12
考向2 数学分析法求极值问题 13
考向3 极限法求极值问题 15
04真题溯源 考向感知 15
考点 要求 考频 2025年 2024年 2023年
动态平衡 综合应用 中频 2025 广东 \ 2023 海南
平衡中的临界与极值问题 综合应用 低频 2025 河北 \ \
1.命题形式：选择题实验题计算题 2.命题分析：本讲内容是高考综合应用问题，考查方式以选择题为主，作为共点力平衡的提升，是共点力平衡问题中的重点考查内容，以轻绳、杆、弹簧为模型,以连接体、叠加体为载体,结合实际生活进行受力分析,试题中常有“缓慢”、“轻轻地”、“刚好”、“刚能”、“恰好”等关键词。命题趋势呈以下变化：①生活化情境占比提升；②多力平衡与电磁学交叉考查成为新热点；③临界条件分析难度加大，常作为选择题压轴题出现。 3.备考建议：解答本讲内容的关键首先在进行正确的受力分析，在连接体问题和动态平衡问题中体会优选研究对象(整体和隔离)的便捷，体会临界极值法、函数法、图像法、整体法、隔离法等解题方法,多联系生活中的平衡现象,提高应用物理知识解决实际问题的能力。 4.命题情境： ①生活实践类： 可调节晾衣架、折叠梯/人字梯、窗帘/遮阳棚、秋千/吊床、 蹦极/高空索降、 车辆拖挂、 斜坡运输、人体骨骼/肌肉受力； ②学习探究类：观察秋千绳长与摆角的关系、分析绳拉力与摆角的关系（动态平衡）、塔吊配重平衡、绳长调节导致晾衣杆倾斜、梯子张开角度变化（人踩梯子时）、绳索调节导致遮阳棚倾斜。 5.常用方法：整体隔离法、正交分解法、、矢量三角形法、相似三角形法、矢量圆法、临界极值法、函数法、图像法、
复习目标： 1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值问题，并会相关计算。
考点一 动态平衡
知识点1 动态平衡问题综述
动态平衡是指研究对象的某些参量在变化，如速度、受力状态等，但是非常缓慢，_______________，因此题目中有关键词“缓慢”、“轻轻地”等
知识点2 动态平衡问题的解题方法
1.图解法的适用情况：适用于“一力恒定，另一力方向不变”
用图解法分析物体动态平衡问题时,一般物体______________,且______________,即__________________________________________,__________________________________________. 由三角形中边长的变化知力的大小的变化，还可判断出极值。
2.解析法：如果物体受到______________，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，可进行正交分解，利用解析法，根据____________________________，得到_________________________________________，最后根据自变量的变化确定因变量的变化，还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
3. 相似三角形法: 适用于“一力恒定，另两力方向均变化”
物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作____________________________与空间的某个____________________________总相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
6. 矢量圆法(正弦定理法):适用于“一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变”
①矢量圆:如图所示，物体受三____________________________，其中____________________________，另外____________________________，但____________________________，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，可以作出动态圆(也可以由正弦定理列式求解)，恒力为圆的一条弦，根据不同位置判断各力的大小变化。
②正弦定理:如图所示，物体受三个共点力作用而处于平衡状态，则三个力中任意一个力的大小与另外两个力的夹角的正弦成正比，即。
考向1 图解法解决动态平衡问题
例1（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图所示，一个质量为m的均匀光滑球放在倾角为的固定斜面上，并被斜面上一竖直方向的挡板挡住，处于静止状态。已知重力加速度为g，设球对挡板的压力大小为F1，球对斜面的压力大小F2，则（ ）
A．
B．F2=mgcosθ
C．当挡板顺时针缓慢转动到水平位置的过程中，F2一直减小
D．当挡板顺时针缓慢转动到水平位置的过程中，F1一直减小
【变式训练1·变情境】（2025·黑龙江·二模）如图所示，一辆静止在水平地面的卡车利用缆绳，沿固定斜面向上缓慢拉动轿车，忽略轿车与斜面的摩擦，不计缆绳质量，则在轿车向上运动的过程中（　　）
A．轿车所受合外力变大 B．缆绳的拉力变大
C．斜面对轿车的支持力变大 D．地面所受的摩擦力变大
考向2 解析法解决动态平衡问题
例2（2025·河南·三模）蜘蛛通过两根蛛丝（OA和OB）悬挂在树枝上保持平衡。初始时，蛛丝OA与竖直方向的夹角为θ，蛛丝OB水平，如图所示。若猎物在A点被蛛丝缠住并向右侧移动，蛛丝OB仍保持水平。蜘蛛始终静止，蛛丝形变量可忽略不计且蛛丝未断裂。下列说法正确的是（　　）
A．蛛丝OA的拉力逐渐减小，蛛丝OB的拉力逐渐增大
B．蛛丝OA的拉力逐渐增大，蛛丝OB的拉力逐渐减小
C．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐增大
D．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐减小
【变式训练2·变情境】（2025·江西九江·三模）（多选）图为高层安装空调时吊运外机的场景简化图。一名工人在高处控制绳子P，另一名工人站在水平地面上拉住另一根绳子Q。在吊运的过程中，地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳，空调外机M缓慢竖直上升，绳子Q与竖直方向的夹角β保持不变，绳子质量忽略不计，则（　　）
A．绳子P上的拉力不断变大 B．绳子Q上的拉力先变小后变大
C．地面工人所受的支持力不断变小 D．地面工人所受的摩擦力先变大后变小
考向3 相似三角形法解决动态平衡问题
例3（2025·山东聊城·二模）警用钢叉是一种常用的防暴器械，其前端为半圆形的叉头，后端为握柄。现将钢叉竖直放置，半圆环的圆心为O，小球a套在半圆环上，小球b套在竖直杆上，两者之间用一轻弹簧连接。初始时小球b在外力作用下静止在竖直杆上，此时小球a静止在离半圆环最低点较近处，如图所示。现使小球b缓慢上移少许，两小球均可视为质点，不计一切摩擦，在移动过程中弹簧始终在弹性限度内，则半圆环对小球a的弹力（ ）
A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【变式训练3·变情境】（2025·辽宁·模拟预测）如图甲所示，一攀岩爱好者正在进行攀岩运动，由于前期攀爬体力消耗过大，所以借助攀岩绳停在图示位置做短暂休息调整。攀岩绳可视为轻绳，一端固定在竖直崖壁上的B点，另一端拴在人的腰间O点（重心处），人的两脚并拢，踩在崖壁上的A点，该过程可以简化为如图乙所示的模型，轻绳为拉直状态，OA也视为直线。已知图乙中三角形三条边的长度比OA：OB：AB=4：5：6，则攀岩爱好者对岩壁的作用力和对轻绳的拉力大小之比为（　　）
A．4:5 B．5:4 C．5:6 D．6:5
【变式训练4·变考法】（2025·四川达州·二模）如图所示，水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，一轻质弹簧一端固定在定滑轮的正下方N处，另一端与小球P连接，同时一轻绳跨过定滑轮与小球P相连。开始时在外力F作用下系统在图示位置静止。改变F大小使小球P缓慢移动，在小球P到达N点正上方前，下列说法正确的是（　　）
A．外力F大小不变
B．外力F逐渐变大
C．弹簧弹力逐渐变小
D．小球运动轨迹是圆弧
考向4 矢量圆法(正弦定理法)解决动态平衡问题
例4（2025·湖南怀化·三模）（多选）如图甲所示，工人用叉车拉石墩时，可简化为如图乙所示的模型，，叉车臂AC与水平方向夹角为。不计球形石墩表面摩擦，叉车和石墩始终保持相对静止，在叉车匀速运动的过程中，若从缓慢增加为，叉车臂对石墩的作用力和车把对石墩的作用力的大小变化为（　　）
A．一直增加 B．先增加后减小
C．先减小后增加 D．一直在减小
【变式训练5·变情境】（2025·安徽·模拟预测）如图所示，半径为R的半圆形容器固定在水平面上，容器内壁光滑，一个质量为m、可视为质点的小球静止在容器的底部，现用一个大小等于的外力F作用在小球上，使小球向右沿容器内壁缓慢上移。已知重力加速度大小为g，则在小球运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．容器内壁对小球的作用力一定越来越小
B．通过改变F的方向，可以使小球运动到B点
C．外力的方向一定沿顺时针方向转动
D．小球能上升的最大高度为
【思维建模】 动态平衡模型分析方法
1. 矢量三角形法:其中一个力大小方向固定，另一个力方向固定，第三个力大小方向均不固定
水平拉力F逐渐增大，绳的拉力也逐渐增大
挡板对球的作用力F1先减小后增大，斜面对球的支持力F2逐渐减小
2. 相似三角形法:矢量三角形与几何三角形相似
==
3. 辅助圆法:
1)一个力大小、方向固定，另两个力间的夹角固定。
2)一个力大小、方向固定，另一个力大小固定，第三个力大小、方向均不固定
正弦定理==
考点二 平衡中的临界与极值问题
知识点1 临界问题与极值问题综述
1.临界问题
当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态_______________________________________,在问题的描述中常用____________________________等语言叙述.
临界问题常见的种类：
①由静止到运动，摩擦力达到______________．
②绳子恰好绷紧，______________.
③刚好离开接触面，支持力______________.
2.极值问题
平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
知识点2 临界问题与极值问题的解题方法
1.物理分析法:根据物体的平衡条件, ____________________________,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行______________,确定最大值与最小值.
2.数学分析法:通过对问题的分析,依据物体的平衡条件写出物理量之间的______________ (画出函数图像),用数学方法______________ (如求二次函数极值、三角函数极值).
3.极限法:首先要正确地进行受力分析和变化过程分析, ____________________________;临界条件必须在变化中去寻找,不能停留在一个状态来研究临界问题,而要把某个物理量____________________________.
4.利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值:
如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用______________代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α==μ，则Fmin=mgsin α，此时θ=α。
考向1 物理分析法求极值问题
例1（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，四分之一光滑圆弧轨道ABC固定在水平面上，一质量为m的小球（视为质点）处于圆弧AB之间的中点，在推力F的作用下处于静止，则推力F的大小不可能是（　　）
A． B． C． D．
【变式训练1·变情境】（2025·河北邯郸·模拟预测）我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（　　）
A． B． C． D．
考向2 数学分析法求极值问题
例2（2025·江西赣州·二模）如图为某科普博主带领同学们做实验的情景，有顶角不同的圆锥放在桌面上，现让同学们挑战按图示那样用手压紧圆锥表面将其拿起。若手与圆锥体间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。则以下不同顶角圆锥，有可能被拿起的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2·变情境】（2024 宁海市模拟）如图所示，战士在水平地面上进行拉轮胎的负荷训练。设战士拉着轮胎匀速向前，运动过程中双肩与绳的接触点A、B等高，两绳间的夹角为θ，所构成的平面与水平面间的夹角为α，如图所示。下列说法正确的是（　　）
A.若α保持不变，θ越小两绳上的拉力越大
B.若θ保持不变，α变化时两绳上的拉力存在最小值
C.无论α、θ取何值，地面对轮胎的支持力始终不变
D.无论α、θ取何值，轮胎对地面的压力不可能为0
【变式训练3】如图所示，质量m=5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ=0.2，g取10 m/s2。求所需拉力F的最小值。
考向3 极限法求极值问题
例3小朋友在玩积木时，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（　　）
A. B.R
C.R D.R
1．（2025·广东·高考真题）（多选）如图所示，无人机在空中作业时，受到一个方向不变、大小随时间变化的拉力。无人机经飞控系统实时调控，在拉力、空气作用力和重力作用下沿水平方向做匀速直线运动。已知拉力与水平面成30°角，其大小F随时间t的变化关系为F = F0－kt（F ≠ 0，F0、k均为大于0的常量），无人机的质量为m，重力加速度为g。关于该无人机在0到T时间段内（T是满足F > 0的任一时刻），下列说法正确的有（ ）
A．受到空气作用力的方向会变化
B．受到拉力的冲量大小为
C．受到重力和拉力的合力的冲量大小为
D．T时刻受到空气作用力的大小为
2．（2025·河北·高考真题）如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点，则F的最大值为（　　）
A． B． C．G D．
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