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2024-2025 学年广东省茂名市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 与复数 (2 )互为共轭复数(其中 为虚数单位)，则 =( )
A. 1 2 B. 1 + 2 C. 1 + 2 D. 1 2
2.下列函数中，最小正周期为 的奇函数是( )
A. = 2 B. = 2 C. = sin 2 D. = | |
3.已知 1， 2是同一平面内两个不共线的向量，则 // 的是( )
A. = 2 1
1
2， = 1 + 2 2 B. = 1 + 2 2，
= 2 1+ 2
C. = 1 2 2， = 1 + 2 2 D. = 1 2， = 2 1 4 2
4.已知复数 = 2 2 3 + ( 3) ( ∈ )是纯虚数，则|1 + |为( )
A. 15 B. 4 C. 17 D. 19
5 1.将函数 = sin( 3 )的图象向左平移4个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的2，纵
坐标不变，得到 = ( )的图象，则( )
A. ( ) = sin( 12

12 ) B. ( ) = sin(2

12 )
C. ( ) = sin( 1 2 24 ) D. ( ) = sin(2

6 )
6.已知圆锥的底面半径为 3，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为( )
A. 9 3 B. 10 3 C. 15 D. 18
7 1 2 + 2 .已知1+ 2 + 2 = 3，则 2 =( )
A. 34 B.
3
4 C.
4
3 D.
4
3
8.任意复数 = + ( , ∈ )可以写成 = ( + )，其中 是复数 的模， 是复数 的辐角(以 轴
的非负半轴为始边，向量 所在射线为终边的角)，我们称 ( + )为复数 = + ( , ∈ )的三
角形式.利用复数的三角形式可进行复数的乘方等运算，即 = ( + )，( ∈ ).已知复数 =
3 1 ，则 ， 2， 3，… 20252 2 中不同的数的个数为( )
A. 6 B. 12 C. 24 D. 36
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.若 = (2, 1)， = (3,1)，则( )
A. = 5 B. ( + ) ⊥ ( )
C. 与 的夹角为 D. 4 在 方向上的投影向量为 2
10 .已知函数 ( ) = 2 ( + 4 )( > 0)的部分图象如图所示，则( )
A. = 2
B.若函数 = ( )( > 0)在[0,1] 1上单调递增，则 0 < ≤ 2
C. ( )的图象关于点( 1,0)中心对称
D.若 ( 1) = (
2 1
2) = 3，则 cos[ 4 ( 2 1)] = 3
11.正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 为底面 内一动点，则下列说法正确的是( )
A.当 为正方形 的中心时，三棱锥 1 1外接球的表面积为 11
B.当 在线段 上时，| | + | 1|的最小值为 4
C. 3满足直线 1与上底面 1 1 1 1所成角为 60°的点 的轨迹长度为 3
D.当 为 中点时，过 ， ， 1三点作正方体的截面 ， 为截面 上一点，则线段 长度的取值范围为
[ 2 63 , 2 2]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.复数范围内方程 4 2 + 9 = 0 的根为______．
13.已知三棱柱 1 1 1中， ， 分别为棱 1， 1 1的中点，过 ， ， 作三棱柱的截面交 1 1
于 点，且 1 = 2，则 1 1 = ______．
14.如图， 为△ 的内心，cos∠ = 15，△ 、△ 、△
的面积分别为 、 、 ，且 + + = 0，若 =
+ ，则 + 的最大值为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 2， = 2 3， 1 = = 4， 是 的中点．
(1)证明： 1//平面 1 ；
(2)求直线 1与直线 所成角的余弦值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 ．
(1)当 ∈ [0, ]时，求函数 ( )的取值范围；
(2)在△ 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ( ) = 2， = 4，且△ 的面积为 3，求△
的周长．
17.(本小题 15 分)
已知△ 是边长为 6 的等边三角形， 是 上靠近 的三等分点，点 在边 上．
(1)用 、 表示 ；
(2)若 = 4，求 的值；
(3)设 与 交于点 ，且 = + 29
，求| |．
18.(本小题 17 分)
如图，在梯形 中， // ， = = 1， = = 2，把△ 沿 翻折，使得二面角
的大小为 ， ， 分别是 和 中点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = 60°，求点 到平面 的距离；
(3)若二面角 的余弦值为 19，求 ．
19
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19.(本小题 17 分)
在△ 中， 、 、 分别为角 、 、 的对边， 2 + 2 2 = 1 ．
(1)求 ；
(2)记△ 的面积为 ，△ 内一点 满足∠ = ∠ = ∠ = ；
( )若 = 45°，求证： 2 + 2 + 2 = 4 ；
( )若 = ， = 6，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.± 32
13.6
14.5 103
15.(1)证明：连接 1，设 1与 1 的交点为 ，连接 ，
在直三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1为矩形，
故 是 1的中点，
又 是 的中点，可得 // 1，
因为 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ；
(2)解：由(1)知 // 1，故直线 1与 所成的角等于 与 所成的角(或其补角)，
只需在平面图形中求∠ 的余弦值，
直三棱柱底面△ 中，∠ = 90°， 为 中点，
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所以 = 12 = 2，
是△ 1的中位线， = 2 + 21 1 = 22 + 42 = 2 5，
故 = 12 1 = 5，
侧面 1 1为矩形， 是 1中点，
在△ 1中， = 2 3, 1 = 4，
故 2 21 = (2 3) + 4 = 12 + 16 = 2 7，
则 = 12 1 = 7，
2 2 2
在△ 中，由余弦定理：cos∠ = + 5+4 7 5，2 = 2× 5×2 = 10
故直线 1与直线 所成角的余弦值为
5．
10
16.(1) ( ) = 3 = 2 ( 6 )，
当 ∈ [0, ] ∈ [ , 5 时， 6 6 6 ]，
1
所以 sin( 6 ) ∈ [ 2 , 1]，则 ( ) = 2 ( 6 ) ∈ [ 1,2]．
(2) ( ) = 2，则 sin( 6 ) = 1，
又 ∈ (0, ) = ，所以 6 2，即 =
2
3，
1
因为 = 2 3 =
3
4 ，所以 = 4，
由余弦定理得 16 = 2 + 2 + 4， 2 + 2 = 12，
因为( + )2 = 2 + 2 + 2 = 12 + 2 × 4 = 20，所以 + = 2 5，
所以周长为 + + = 4 + 2 5．
17.解：(1)由 是 上靠近 的三等分点，可得 = 1 3 ，
则 = = 1 3 =
1 ( 3
) + = 2 3 +
1 3 ；
(2)因为 = 4，
故 = + = + 1 = + 1 ( 3 3
) = 1 2 3 + 3 ，
所以 = ( 1 + 2 ) = 1
2
+ 2 3 3 3 3
= 1 × 62 + 23 3 × 6 × 6 60° = 24；
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(3)由 ， ， 三点共线，可设 = + (1 ) ，
由 是 上靠近 的三等分点，
可得 = + (1 ) = ( + ) + (1 ) = (1 2 ) + 3 3 3 3 ，
2 2 5
所以 = 1 3 , 3 = 9，解得 = 9，
5 2
所以 = 9
+ 9
，
又| | = | | = 6, , = 120°，
所以|
2 2
| = 25 81
+ 20 81
+ 4 81
= 2581 × 6
2 + 2081 × 6
2 120° + 481 × 6
2 = 2 19．3
18.(1)证明：如图：
图 1 中，因为 // ， = = 1， = 2．
四边形 为正方形，所以 ⊥ ．
把△ 沿 翻折，如图 2：则 ⊥ ， ⊥ ，
又 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)因为 ⊥ ， ⊥ ，
所以∠ 即为二面角 的平面角．
所以∠ = = 60°．
过点 作 ⊥ 于 ．
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
又 = 2，所以 2 3 6．2 = 60° = 2 × 2 = 4
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所以 1 1 = 3 △ = 3 ×
1 × 6 6．4 4 = 48
在△ 中， = = 2，∠ = 60°，2
所以 = 2．2
又 = = 1，
所以 1 2△ = 2 × 2 × 1
1 = 7．8 8
设 到平面 的距离为 ，
则 = ，
所以 6
48 =
1
3 ×
7
8 ，
解得 = 42．14
即 到平面 的距离为 42．
14
(3) 2 = 2 + 2 2 = 1+ 1因为 2 2 2 ×
1
2 = 1 ，
所以 1△ = 2 × 1 × 1 (
1
2 )
2
= 14 × 1 × 3 + ．
又因为 19△ × ，19 + △ = △
所以1
4 × 1 × 3 + ×
19 + 119 4 =
1，
4
即 19
19 × 3 + = 1 ，
3+
所以 19 = 1 ，
解得 = 45．
19.(1)根据题意可知， 2 + 2 2 = 1 ，
∴ 1 2 2 + 1 2 2 1 + 2 2 = 1 ，
即sin2 + sin2 sin2 = 12 ，
1
根据正弦定理得 2 + 2 2 = 2 ，
2+ 2 2∴ = = 12 4；
(2)( )证明：∵ = △ + △ + △ ，
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1 1 1
∴ = 2 45° + 2 45° + 2 45°
= 24 ( + + )，
∴ + + = 2 2 ，
根据余弦定理得 2 = 2 + 2 2 45°，
2 = 2 + 2 2 45°，
2 = 2 + 2 2 45°，
三式相加得： 2 + 2 + 2 = 2( + + )，
∴ 2 + 2 + 2 = 4 ；
2 2 2
( ) = + = 12 4，又 = ， = 6，
∴ 2
2 6 1
2 2 = 4，解得 = = 2，∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ = ∠ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，∴ = =
6
= 2 ，
设 = 6 ( > 0)，∴ = 2 ， = 3 ，
= 4+
2 2 = 4+
2 2
根据余弦定理得 4 4 ，
4+4 2 6 2 4+9 2 2
即 8 =
4 1
12 ，解得 = 2，
∴ = 1．
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