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2024-2025学年上海市杨浦区控江中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为( )
A. 直线
B. 直线
C. 直线
D. 直线
2.把函数的图像向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是( )
A. B. C. D.
3.已知常数，有穷数列共有项，其通项公式为，对于任意满足的正整数，记为，，，中正数的个数，则下列情形不可能成立的是( )
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
4.已知为原点，坐标平面上两两不同的个点，，，满足，，，中的任意点不共线，，，对于命题：存在，，，，使得个向量中的任意个都不平行；在这个数中，一定存在相等的个数，下列判断正确的是( )
A. 和均为真命题 B. 和均为假命题
C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若，则______．
6.函数的最小正周期是______．
7.在等比数列中，，，则______．
8.若复数为虚数单位，则______．
9.已知等差数列的公差为，前项和为，则 ______．
10.已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______．
11.我国古代数学名著算法统宗中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，”，意思是：有一个人要走里路，第天健步行走，从第天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地由此可得，该人第天走了______里路．
12.设复数满足，则为虚数单位的最大值为______．
13.函数的严格减区间为______．
14.已知常数，函数为偶函数，则______．
15.已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为______．
16.在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为，，常数若在圆上存在定点以及在圆上存在定点，使得对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知常数，，关于的方程在复数集中有两个虚根．
若，求的取值范围；
若其中一个虚根为为虚数单位，求，的值．
18.本小题分
在中，，．
若，求的长；
若，求的面积．
19.本小题分
某果园有两种水果种植方案方案一：第年种植苹果，预计收获量为吨，以后每年的收获量比上一年增加吨；方案二：第年种植梨，预计收获量为吨，以后每年的收获量在上一年的基础上增加果农小张在第年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第为正整数年苹果的收获量为，梨的收获量为单位：吨，可知，．
求数列，的通项公式；
求数列最大项的值精确到以及相应项的序数，并说明其实际意义．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，，，，以为直径在轴上方作半圆，为的上的动点，为轴上的动点．
求的单位向量的坐标；
若的坐标为设与的夹角为，，用表示，并求的最大值；
若四边形为平行四边形，为线段上靠近的三等分点，求的最大值．
21.本小题分
对于函数，若数列使得数列是公比为的等比数列，则称数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为．
设无穷数列的通项公式为，判断数列是否为函数的“关联数列”，并说明理由；
已知，有穷数列共有项，满足，，，若数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为，求，的值；
设定义域为的函数同时满足：函数是以为周期的周期函数；对任意，恒有问：是否存在公差大于的无穷等差数列，使得数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为？若存在，求的公差；若不存在，说明理由．
参考答案
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16.
17.若，则方程化为，
因为方程在复数集中有两个虚根，
则，
解得，
所以的取值范围为；
若其中一个虚根为为虚数单位，则另一个虚根为，
由韦达定理可得，，
解得．
18.由余弦定理，
故；
，
由，则，
若钝角，则：，
但是三角形内角，必为正数，此结果矛盾，故不成立，
则，故，
根据正弦定理，则，即，
．．
19.因为为以为首项，以为公差的等差数列，
所以，
因为为以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
，
，
，即时，；
当，即，即时，；
所以当时，取得最大值，所以数列最大项的值为，
相应项的序数是，实际意义是第年苹果的收获量比梨的收获量多的最大．
20.因为，，所以，
所以的单位向量的坐标或者；
设与的夹角为，设，
又因为，所以，
所以，，所以，
所以，
所以当时，的最大值为；
设，因为，，则
中点为，为线段上靠近的三等分点，则，
，，
，，
，
当且仅当，时，取得最大值．
21.不是，理由如下：由，函数，令，
则，，，
故，所以不是函数的“关联数列”．
根据题意，，
即，
整理得，
整理得，
所以，解得或或，
，，，，所以．
函数是以为周期的周期函数，，
，
即，又数列是公差大于的无穷等差数列，
且数列是函数的“关联数列”，“关联常数”为，
所以可设数列首项为，公差为，
则，，，，且是关于的一次函数，单调递增，
又，
即是线性增长，而是指数增长，矛盾，所以不存在．
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