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2024-2025学年广东省茂名市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数与复数互为共轭复数其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，最小正周期为的奇函数是( )
A. B. C. D.
3.已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.已知复数是纯虚数，则为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则( )
A. B.
C. D.
6.已知圆锥的底面半径为，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.任意复数可以写成，其中是复数的模，是复数的辐角以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，我们称为复数的三角形式利用复数的三角形式可进行复数的乘方等运算，即，已知复数，则，，，中不同的数的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为
10.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B. 若函数在上单调递增，则
C. 的图象关于点中心对称
D. 若，则
11.正方体的棱长为，为底面内一动点，则下列说法正确的是( )
A. 当为正方形的中心时，三棱锥外接球的表面积为
B. 当在线段上时，的最小值为
C. 满足直线与上底面所成角为的点的轨迹长度为
D. 当为中点时，过，，三点作正方体的截面，为截面上一点，则线段长度的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数范围内方程的根为______．
13.已知三棱柱中，，分别为棱，的中点，过，，作三棱柱的截面交于点，且，则 ______．
14.如图，为的内心，，、、的面积分别为、、，且，若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，是的中点．
证明：平面；
求直线与直线所成角的余弦值．
16.本小题分
已知函数．
当时，求函数的取值范围；
在中，角、、的对边分别是、、，若，，且的面积为，求的周长．
17.本小题分
已知是边长为的等边三角形，是上靠近的三等分点，点在边上．
用、表示；
若，求的值；
设与交于点，且，求．
18.本小题分
如图，在梯形中，，，，把沿翻折，使得二面角的大小为，，分别是和中点．
求证：平面平面；
若，求点到平面的距离；
若二面角的余弦值为，求．
19.本小题分
在中，、、分别为角、、的对边，．
求；
记的面积为，内一点满足；
若，求证：；
若，，求的值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.证明：连接，设与的交点为，连接，
在直三棱柱中，侧面为矩形，
故是的中点，
又是的中点，可得，
因为平面，平面，
所以平面；
解：由知，故直线与所成的角等于与所成的角或其补角，
只需在平面图形中求的余弦值，
直三棱柱底面中，，为中点，
所以，
是的中位线，，
故，
侧面为矩形，是中点，
在中，，
故，
则，
在中，由余弦定理：，
故直线与直线所成角的余弦值为．
16.，
当时，，
所以，则．
，则，
又，所以，即，
因为，所以，
由余弦定理得，，
因为，所以，
所以周长为．
17.解：由是上靠近的三等分点，可得，
则；
因为，
故，
所以
；
由，，三点共线，可设，
由是上靠近的三等分点，
可得，
所以，解得，
所以，
又，
所以
．
18.证明：如图：
图中，因为，，．
四边形为正方形，所以．
把沿翻折，如图：则，，
又，平面，，
所以平面．
又平面，
所以平面平面．
因为，，
所以即为二面角的平面角．
所以．
过点作于．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又，所以．
所以．
在中，，，
所以．
又，
所以．
设到平面的距离为，
则，
所以，
解得．
即到平面的距离为．
因为，
所以
．
又因为，
所以，
即，
所以，
解得．
19.根据题意可知，，
，
即，
根据正弦定理得，
；
证明：，
，
，
根据余弦定理得，
，
，
三式相加得：，
；
，又，，
，解得，，
，
，
∽，，
设，，，
根据余弦定理得，
即，解得，
．
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