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2024-2025学年山东省临沂市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.直线，平行的一个充分条件是( )
A. ，都垂直于同一个平面 B. ，与同一个平面所成的角相等
C. ，都平行于同一个平面 D. ，都垂直于同一条直线
5.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于”，“至少有一颗骰子的点数为”，则( )
A. B. C. D.
6.如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的底面半径为，圆锥的高为，若该几何模型的体积为，则其表面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列判断错误的是( )
A. 函数是奇函数 B. 在上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为
8.已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，外接球的球心为，若点是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据：，，，，，，，，，，则该组数据( )
A. 极差是 B. 众数不等于平均数 C. 分位数是 D. 方差是
10.已知，为锐角，，则( )
A. B.
C. D.
11.在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，是线段上的动点，则( )
A. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 异面直线和所成的角可以为
C. 当为中点时，二面角的正切值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是关于的方程的一个根，则______．
13.已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即若，，则的最小值为______．
14.在中，，记，，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
猜灯谜是元宵节特色活动之一甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为，活动中，甲和乙猜对与否互不影响．
求；
求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率．
16.本小题分
已知是锐角三角形，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，求面积的取值范围．
17.本小题分
某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有人．
求，的值；
学校准备按成绩从高到低抽取前的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少？
若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取人查看他们的答题情况，再从这人中选取人进行个案分析，求这人中恰有人成绩在内的概率．
18.本小题分
如图，四棱锥中，平面，，，为的中点，点在棱上，直线和直线相交．
求证：；
若．
证明：平面；
求直线与平面所成的角．
19.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
若为偶函数，且，对于任意的，至少存在个整数，使恒成立，求的取值范围；
若的最大值为，对于任意的，存在，使等式成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.设事件为“甲能猜对灯谜”，事件为“乙能猜对灯谜”，
由题意得，与相互独立，且，，
故甲、乙都猜不对的概率：，
故；
甲、乙恰有一人猜对灯谜的事件为，
且，
故甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率．
16.根据题意可知，，
故，即，
故，
且，故；
由正弦定理得，
，
因为是锐角三角形，
故，即，
所以，故，
且，
故面积的取值范围为．
17.由题意得，
由图可得：，解得；
设受表彰的学生的最低分是，
频率为，
频率为，
故，且，
解得，故受表彰的学生的最低分是；
由分数在和内的频率之比为：，
故从成绩在和内的学生中共抽取人，
则在内抽取人，记为，在内抽取人，记为，，，，
再从这人中选取人进行个案分析，
抽取的样本空间为：，共个样本点，
这人中恰有人成绩在内的有：，共个样本点，
故这人中恰有人成绩在内的概率为．
18.证明：因为直线和直线相交，且，
平面，平面，平面平面，
所以，
所以；
证明：由题意可得，，
可得，
可得，则，
又因为平面，平面，
所以，
又因为，
可得平面；
解：由可得为与平面所成的角，
且，而，
可得．
19.
，
故的最小正周期：；
为偶函数，且，
故，，
当时，，
所以，
所以，
若恒成立，即恒成立，
所以，
故，
又因为至少存在个整数，
故，即，解得，
当时，，，
此时至少有，，，这个解，
故的取值范围为；
的最大值为，
故，解得，
所以，
令，
因为
，
故，
又，
故，
所以，
即．
又任意的，存在，使等式成立，
所以，
故，
即，
当时，，
故，
解得，
故的取值范围为．
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