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2024-2025学年辽宁省锦州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列四个命题正确的是( )
A. ，， B. ，，
C. ， D. ，，
3.下列函数为奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知，，则向量在上的投影的数量为( )
A. B. C. D.
5.如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥高为且侧棱长为，则棱锥侧面积为( )
A.
B.
C.
D.
6.中，，是边上一点，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有( )
A.
B. 函数在上为减函数
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 点是函数图象的一个对称中心
8.在正三棱柱中，，外接球表面积为，为的中点，为侧面内含边界一点，若平面，则点运动轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是虚数单位，若复数满足，则( )
A. 的共轭复数为
B.
C.
D. 若复数满足，则的最大值为
10.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则( )
A. 的最小正周期为
B. 时，的最大值是
C. 的图象向右平移个单位后为奇函数
D. 与有相同的零点
11.如图，线段为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在平面和圆所在平面垂直，且，，则下述正确的是( )
A. 平面
B. 平面
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥外接球的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简： ．
13.函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于______．
14.如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的坐标；
若，求与的夹角．
16.本小题分
如图，直三棱柱中，，若，分别是，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面；
设是中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，，．
求；
若，求的面积．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
证明：；
若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
19.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，其中．
若，求的值；
当取最大值时，记，求；
在的条件下设，若时，对于任意的均有恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意，设，
因为，所以，所以，
所以或．
因为，
所以，所以，
即，
设与的夹角为，则，
又，所以，所以与的夹角．
16.证明：法一：取中点，连接，，
因为，，分别为，和中点，
所以，，
因为，从而，
平面，平面，
所以平面，
同理可证得平面，
而平面，平面，
且，
所以平面平面，
而平面，
所以平；
法二：连接，
因为为中点，可得为中点，
又因为为中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
证明：在直棱柱中，平面，
因为平面，所以，
设，因为，
可得，，
因为，所以，
又因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
解：连接，，
因为平面，所以直线为直线在平面内的射影，
可得是与平面所成的角，
在中，，
，
故．
17.解：根据，，可得，
结合题意，化简得，
根据正弦定理得，
因为中，，
所以，整理得．
结合中，，化简得，即，
在中，，所以，；
由，可得，化简得，
所以，
因为，
所以，整理得，解得舍负．
所以．
18.解：证明：因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
方法一：
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
设，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故．
方法二：
过作，交于点，过作于点，连结，
由题意可知，，又平面
所以平面，又平面，
所以，又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以．
19.因为，
所以，即，
在中，由正弦定理得，，
则，
所以，即，
由正弦定理得
又，由余弦定理得，；
由得为锐角，则当最大时最小，
所以，
当且仅当时，即时取最小值，此时，
所以；
，则，恒成立，
因为，所以，恒成立，
设，当时，是增函数，
则，
又，设，则，解得，
所以，因为，所以，即的取值范围是．
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