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2024-2025学年吉林省长春市东北师大附中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则实数( )
A. B. C. D.
2.下列叙述正确的是( )
A. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
B. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
C. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台
D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球
3.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，是不同的直线，，是不同的平面，则下面命题正确的是( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，， D. ，，
5.从装有个红球和个黄球的口袋内任取个球，那么“至少有个红球”的对立事件是( )
A. 至少有个红球 B. 至少有个黄球 C. 都是黄球 D. 至多个红球
6.在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知一组数据：，，，，，，，则下列叙述正确的是( )
A. 极差是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 下四分位数为
8.如图，在正方形中，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合成点，则下列叙述错误的为( )
A.
B. 二面角的正切值为
C. 点在平面上的射影是的垂心
D. 三棱锥的外接球与内切球的半径之比为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B. 在复平面内对应的点在第四象限
C. 的虚部为 D. 和都是方程的解
10.在空间中，下面叙述正确的是( )
A. 若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补
B. 若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补
C. 若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补
D. 若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补
11.如图，已知正三棱台是由一个平面截棱长为的正四面体所得，其中，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则下列结论中正确的是( )
A. 点到平面的距离为 B. 曲线的长度为
C. 的最小值为 D. 所有线段所形成的曲面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.某市有大型超市家、中型超市家、小型超市家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为的样本，应抽取中型超市______家．
13.从，，，四个数中任取两个数，则两个数相差为的概率是 ．
14.一个棱长为的正方体容器容器壁厚度忽略不计内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，，，，．
求的大小；
求三棱锥的体积．
16.本小题分
某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了名学生的成绩，满分分，将所有数据整理后绘制成如图频率分布直方图：
求的值；
求这名学生的数学成绩的第百分位数；
根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分．
17.本小题分
特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分
如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上．
求证：平面；
求直线与平面所成的角．
18.本小题分
如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，点是侧棱上一动点，且．
若平面，求值；
若平面与平面的夹角锐二面角的正切值为，求值．
19.本小题分
如图所示，在中，角，，所对的边分别是，，，，，设的面积为，为的角平分线，且．
求；
求值；
点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为的一半，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.在中，已知，，，
根据余弦定理，
因为，所以．
由知，
所以，
因为底面，且，所以，
所以三棱锥的体积为．
16.由图可得，解得．
因为，
，
所以第百分位数位于区间上，设为，
所以，解得．
估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分为：
．
17.证明：因为在平面上的射影恰好落在，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为折叠后，且，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
因为在矩形中，，
所以折叠后，而，，平面，
所以平面；
因为平面，
所以直线与平面所成的角为，
由知平面，平面，
所以，
在直角三角形中，，，
所以，
所以，
即直线与平面所成的角为．
18.如图，取中点，连结，交于点，连结，显然为的中点，
因为，分别是的中点，且，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，，
又因为，，所以，，
因为平面，平面平面，所以，
所以四边形为平行四边形，又因为为的中点，所以为的中点，故．
如图：延长，与的延长线交于点，连结，过点作垂直于，垂足为，连结，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，，
所以平面，
又因为平面，所以，
故为二面角的平面角，
由题意可知：，，
所以，，因为，
，
所以，
，
在三角形中运用正弦定理得：
，
因为，所以∽，所以，
又因为，所以，故．
19.根据题意可知，，根据余弦定理，
代入左边得，
因此原等式变为：，化简得，，得，解得；
是的角平分线，长度公式为，则，
由半角公式，得，
则，
三角形面积公式；
设，，
由的面积为，结合面积公式：，
建立坐标系：设，，，
为角平分线，由角平分线定理，分比为：：，得，
参数化，：设，因，得，，
求交点：的参数方程为，的直线方程与联立，
解得，
计算向量点积：，，
点积为：，令，
化简得：，当时，，故取值范围为．
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