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2024-2025学年云南师大附属镇雄中学教研联盟高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，则( )
A. B. C. D.
3.函数在区间上的图象大致是( )
A. B.
C. D.
4.已知，，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.抗生素主要有抑菌与杀菌的作用，但抗生素的大量使用容易导致其通过直接或间接的途径进入环境，进而造成环境污染、危害生物体健康已知水中某生物体内抗生素的残留量单位：与时间单位：年近似满足关系式，，其中为抗生素的残留系数，当时，，则的值约为参考值：( )
A. B. C. D.
6.已知一个正方体和一个圆台，其中圆台下底面圆是正方体下底面正方形的外接圆，圆台的上底面圆是正方体上底面正方形的内切圆，则圆台与正方体的体积之比等于( )
A. B. C. D.
7.要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，若，则( )
A. B. C. 为增函数 D. 为奇函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，在复平面内对应的点分别为和，则下列结论正确的是( )
A. 点的坐标为 B.
C. 若，则 D.
10.在正方体中，下列结论正确的是( )
A. 与所成的角为
B. 与所成的角为
C. 与平面所成的角为
D. 与平面所成的角为
11.已知，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的最大值为 B.
C. 的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数为奇函数，则 ______．
13.在中，为的中点，设，，且，则______．
14.已知，，且，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，函数．
求函数的最小正周期；
若，求的取值集合；
当，求的取值范围．
16.本小题分
图是由正方形和等边组成的平面图形，将沿折起．
折起时点与点重合，且平面平面，如图，、分别是、的中点．
证明：，，，四点共面；
证明：平面平面；
折起时点与点重合，且，如图，求点到平面的距离．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，的平分线交于点．
若，求；
若的面积是面积的倍，求的面积．
18.本小题分
用不共线的两个向量，，求解三角形面积问题．
若，，求的面积；
用，，，表示的面积；
若，，且，求面积的最大值．
19.本小题分
已知函数的定义域为，满足的函数称为“勾函数”．
证明：为“勾函数”；
设为“勾函数”，若，，证明：在区间上为增函数；
已知在区间上为增函数，当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，，
，
所以．
由已知得，所以或，
所以或，
即或；
因为，所以，
则，故，
所以的取值范围是．
16.证明：、分别是、的中点，
则，又，所以，所以，，，四点共面．
因为平面平面，而，
所以平面．
又因为平面，
所以．
为等边三角形，是的中点，所以，因为，且两直线在平面内，
所以平面，而平面，
所以平面平面．
连接，交于点，连接，
因为，，为的中点，
所以，故
所以，所以且，，平面，
所以平面，
设点到平面的距离为，
而，
即，
所以，
解得．
所以点到平面的距离为．
17.解：因为，
可得为锐角，
又，
可得，
在中，可得，解得，
由正弦定理得，
又因为，可得，
又是的平分线，
可得；
由于，可得，
解得，
因为，可得，
整理可得，
解得或舍去，
可得．
18.由已知得，，，
则，
可知为锐角，，
所以．
由题意得，
结合，可得
，
所以
由的结论得，
令，，可得．
将，代入，可得，
结合，可得，
当且仅当，即时取得等号，
所以面积的最大值为．
19.证明：因为的定义域为，
所以，
而，
所以为“勾函数”．
为“勾函数”，
则，，
故，
所以，
即，
令，，，
故，
而，
所以在区间上为增函数；
在区间上为增函数，
则；
当时，恒成立；
当时，，
在区间上为增函数，
所以，故恒成立，
而，
所以，
所以的取值范围为．
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