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2024-2025 学年甘肃省武威八中高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = {1,2,3,4}， = {2,3,4,5}，则 ∩ =( )
A. {1,2,3,4} B. {2,3,4} C. {2,4} D. {1}
2 4.不等式 1 ≥ 2 解集是( )
A. { | 2 ≤ ≤ 1} B. { | ≤ 2}
C. { | 2 ≤ < 1} D. { | > 1}
3.函数 ( ) = 2 1的定义域是( )
A. ( 12 , + ∞) B. [
1
2 , + ∞) C. [1, + ∞) D. (1, + ∞)
ln( 1) + 1, > 1
4.已知函数 ( ) = ( + 1), ≤ 1 ，则 (1)的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
5.下列函数中，既是奇函数又在(0, + ∞)单调递增的是( )
A. = 3 B. = | | + 1 C. = 2 + 1 D. = 2 | |
6.若 = 2 是函数 ( ) = 3 2的极小值点，则实数 =( )
A. 6 B. 3 C. 2 D. 4
7.在△ 中， = 2， = 45°， ⊥平面 ，且 = 2，则三棱锥 外接球的表面积为( )
A. 2 B. 4 3 C. 12 D. 36
8.现有 8 把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻
坐的条件下，则三人均相邻(甲、乙、丙之间无空座)的概率为( )
A. 16 B.
1 C. 13 2 D.
2
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 2.已知二项式( 7 ) ，则其展开式中( )
A. 5 2的系数为 84 B.各项系数之和为 1
C.二项式系数之和为 1 D.二项式系数最大项是第 4 或 5 项
10.已知函数 = 2 2 + 2 的值域是[1,2]，则其定义域可能是( )
A. [0,1] B. [1,2] C. [ 14 , 2] D. [ 1,1]
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11.定义在[ 1,3]上的函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.函数 ( )在(1,3)上单调递减
B.函数 ( )在[ 1,1]上单调递减
C.函数 ( )在 = 1 处取得极小值
D.函数 ( )在 = 0 处取得极大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 ( + 1) = 6，则 ( ) = ______．
13.样本数据 20，19，17，16，22，24，26 的第一四分位数是______．
14 1.已知不等式 22 > 0( > 0)恒成立，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
函数 ( ) = 2 ．
(1)求 = ( )在点(1, (1))处的切线方程．
(2)求 ( )的单调区间．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中， ⊥平面 ，∠ = 90°， 、 、 分别是棱 、 、 的中点， = = 1，
= 2．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求点 到平面 的距离．
17.(本小题 15 分)
一批笔记本电脑共有 10 台，其中 品牌 3 台， 品牌 7 台，如果从中随机挑选 2 台，设挑选的 2 台电脑中
品牌的台数为 ．
(Ⅰ)求 的分布列；
(Ⅱ)求 的均值和方差．
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18.(本小题 17 分)
某科技公司研发了一项新产品 ，经过市场调研，对公司 1 月份至 6 月份销售量及销售单价进行统计，销售
单价 (千元)和销售量 (千件)之间的一组数据如表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
销售单价 9 9.5 10 10.5 11 8
销售量 11 10 8 6 5 15
(1)试根据 1 至 5 月份的数据，建立 关于 的回归直线方程；
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过 0.65 千元，则认为所得到的回归直线
方程是理想的，试问(1)中所得到的回归直线方程是否理想？






参考公式：回归直线方程 = + ，其中 = =1 ．
2 2 =1
参考数据：5 5 2 =1 = 392， =1 = 502.5．
19.(本小题 17 分)
已知 ( )满足 ( ) + ( ) = ( + )( , ∈ )，且 > 0 时， ( ) < 0．
(1)判断 ( )的单调性并证明；
(2)证明 ( ) = ( )；
(3)若 (1) = 2，解不等式 (2 2) + 6 > 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 2 5， ≥ 1
13.17
14.(0, )
15. 1 1 2 解：(1) ′( ) = 2 =
= ′(1) = 1， (1) = 2，切点(1, 2)，
所以 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 + 2 = ( 1)，即 + + 1 = 0；
(2) ( )的定义域为(0, + ∞)，
令 ′( ) > 0，得 0 < < 12，令 ′( ) < 0，得 >
1
2
1 1
所以 ( )的单调递增区间是(0, 2 )，单调递减区间是( 2 , + ∞)．
16.解：(1)以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐
标系，
由 = = 1， = 2，得 (0,0,0)， (1,0,0)， (0,1,0)， (0,0,2)， ( 12 , 0,0)， (
1
2 ,
1
2 , 0)，
(0 12 , 1)，∴
= (0,0,2)， = (0, 12 , 0)，
= ( 1 12 , 2 , 1)，
设面 的法向量为 = ( , , )．
= 0
则 = 2 取 = 1，则 = (2,0,1)，
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2 5设 与平面 所成角为 ，则 = | 2 5 | = 5 ．
(2) ∵ = (0, 12 , 1)， = (2,0,1)，

∴ = |
|
点 到平面 的距离 | | =
5
5 ．
17.解：(Ⅰ)设挑选的 2 台电脑中， 品牌的台数为 ，
则 的可能取值为 0，1，2，
2 1 1 2 ( = 0) = 7 = 7， ( = 1) = 3 7 = 7 ( = 2) = ， 3 = 1，
2 2 210 15 10 15 10 15
故 的分布列为：
0 1 2
7 7
1
15 15 15
(Ⅱ) ( ) = 0 × 7 7 1 315 + 1 × 15 + 2 × 15 = 5，
所以 ( ) = 7 3 2 715 × (0 5 ) + 15 × (1
3 )2 + 1 35 15 × (2 5 )
2 = 2875．
18. 1解：(1)由表可知， = 5 × (9 + 9.5 + 10 + 10.5 + 11) = 10，

= 15 × (11 + 10 + 8 + 6 + 5) = 8，

= =1 392 5×10×8所以
2
= = 3.2，
=1 2 502.5 5×10
2

= 8 ( 3.2) × 10 = 40，

故 关于 的回归直线方程为 = 3.2 + 40．

(2)当 = 8 时， = 3.2 × 8 + 40 = 14.4，

因为| | = |14.4 15| = 0.6 < 0.65，
所以可认为所得到的回归直线方程是理想的．
19.解：(1)设 1 < 2则 2 1 > 0，
∴ ( 2 1) < 0，
又 ( 1) + ( 2 1) = ( 2)，
即 ( 2) ( 1) = ( 2 1) < 0，
∴ ( 2) < ( 1)，
∴ ( )为减函数．
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(2)由 ( ) + ( ) = ( + )得： ( ) + ( ) = (0)．
又 (0) + (0) = (0) (0) = 0，
∴ ( ) + ( ) = 0，
即 ( ) = ( )．
(3) (1) = 2 (2) = (1) + (1) = 4， (3) = (2) + (1) = 6，
∴ (2 2) + 6 > 0．
即 (2 2) > (3) = ( 3)，
又 ( )为减函数，
∴ 2 2 < 3，
∴不等式的解集为{ | < 1 或 > 3}．
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