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4.2.1指数函数的概念
一、选择题
1．下列是指数函数的是(　　)
A．y＝－3x 　 B．y＝2x2－1
C．y＝ax+1 　 D．y＝πx
2．已知函数f (x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f (1)＝(　　)
A．8 　 B．
C．4 　 D．2
3．如果函数f (x)＝2a·3x和g(x)＝2x－(b+3)都是指数函数，则ab＝(　　)
A． 　 B．1
C．9 　 D．8
4．某产品计划每年成本降低p%，若三年后成本为a元，则现在成本为(　　)
A．a(1＋p%) 元 　 B．a(1－p%) 元
C． 元 　 D． 元
5．若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)
A．y＝ 　 B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝ 　 D．y＝
6．函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)，对于任意实数x，y都有(　　)
A．f (xy)＝f (x)f (y)
B．f (xy)＝f (x)＋f (y)
C．f (x＋y)＝f (x)f (y)
D．f (x＋y)＝f (x)＋f (y)
7．某地区重视环境保护，绿色植被种植面积呈上升趋势，经调查，从2015年到2024年这10年间每两年上升2%，2023年和2024年种植绿色植被815万平方米．当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2025年到2028年种植绿色植被面积为(四舍五入)(　　)
A．848万平方米 　 B．1 679万平方米
C．1 173万平方米 　 D．12 494万平方米
二、填空题
8．函数y＝2(a－1)x是刻画指数衰减变化规律的模型，则a的取值范围是________．
9．若指数型函数f (x)＝b·ax满足f (1)＝6，f (3)＝24，则f (x)＝________．
10．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”由此可以得出截取x次后，单位长度的木棰的剩余量y关于x的函数关系式是________．
11．某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
12．已知定义域为R的函数f (x)满足：①f (x＋y)＝f (x)f (y)；②f ＝4．则满足条件的f (x)的一个解析式为f (x)＝________．
三、解答题
13．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子．写出第n代得到的种子数与n的函数关系式，并求第5代得到的种子数．(结果写成a×10n(014．已知函数f (x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数．
(1)求f (x)的解析式；
(2)判断F(x)＝f (x)－f (－x)的奇偶性，并加以证明．
15．已知函数y＝f (x)，x∈R，且f (0)＝3，，n∈N*，求函数y＝f (x)的一个解析式．
答案解析
1．D　[根据指数函数的特征：系数为1，底数满足a>0且a≠1，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足，D满足．故选D．]
2．D　[∵函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，
∴2a－3＝1，解得a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(1)＝2．故选D．]
3．D　[根据题意可得2a＝1 a＝，－(b＋3)＝0 b＝－3，则ab＝(-3＝8．故选D．]
4．C　[设现在成本为x元，则x(1－p%)3＝a，∴x＝．故选C．]
5．A　[由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.957 6．故选A．]
6．C　[f(x＋y)＝ax+y＝axay＝f(x)f(y)．]
7．B　[2025年和2026年种植绿色植被面积为815×(1＋2%)，
2027年和2028年种植绿色植被面积为815×(1＋2%)×(1＋2%)．
2025年到2028年共种植绿色植被面积为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)×(1＋2%)≈1 679(万平方米)．故选B．]
8．(1，2)　[由题意得0解得19．3×2x　[由指数型函数f(x)＝b·ax，得a>0且a≠1，由所以f(x)＝3×2x．]
10．y＝，x∈N，且x≥1　[由题意可得第二天截取的长度是前一天的一半，所以符合指数函数模型，底数为，
剩余量y关于x的函数关系式是y＝，x∈N，且x≥1．]
11．19　[设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*)．根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19．]
12．8x　[由f(x＋y)＝f(x)f(y)，可知符合该性质的函数可以为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)，又因为f(＝4，解得a＝8，所以满足条件的f(x)的一个解析式为f(x)＝8x．]
13．解：根据题意，假设第n代得到的种子数为y，
由于第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则y＝120n-1(n∈N*)，
当n＝5时，y＝1204≈2.07×108粒．
14．解：(1)由题意知a2＋a－5＝1(a>0，且a≠1)，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x．
(2)由(1)知F(x)＝2x－2-x，
∴F(－x)＝2-x－2x＝－(2x－2-x)＝－F(x)，且定义域为R，
∴F(x)是奇函数．
15．解：当x增加1时函数值都以的衰减率衰减，
∴函数f(x)为指数衰减型函数模型，
令f(x)＝k(x(k≠0)，又f(0)＝3，
∴k＝3，∴f(x)＝3×(x．
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