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14.3 角的平分线(第1课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是角的平分线第一课时，主要内容是“用尺规作图：作一个角的平分线”和“探索并证明角平分线的性质定理”。通过情境引入，引导学生从度量法、折叠法的局限性过渡到探究尺规作角平分线的方法；通过画图、测量、猜想、验证及证明，探究并得出角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等），归纳证明几何命题的步骤，辅以例题、练习及中考真题巩固。
2. 内容分析
本节内容是全等三角形知识的运用和延续。用尺规作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等的 “边边边”判定方法和全等三角形的性质；角的平分线的性质证明，运用了三角形全等的“角角边”判定方法和全等三角形的性质。角的平分线的性质证明提供了使用角的平分线的一种重要模式——利用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明相关元素对应相等。对角平分线性质的探究，遵循“操作—猜想—验证—证明”的几何命题研究路径，既培养学生的直观感知，又提升逻辑推理能力，为后续学习几何定理的探究与证明奠定基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能用尺规作图：作一个角的平分线；掌握角平分线的性质定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）会用尺规作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题。
（2）经历“操作—猜想—验证—证明”的几何命题探究过程，感悟连续性的数学思维；在解决问题时，体会转化思想。
（3）在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）学生需明确尺规作角平分线的具体步骤，并能解释每一步的作图依据；对于性质定理，不仅要能表述“角平分线上的点到角两边的距离相等”，还要能结合图形写出已知、求证，并利用全等三角形的判定和性质进行证明，同时能运用该性质解决线段长度等问题。
（2）学生通过画图、测量、猜想等直观手段，初步感知“角平分线上的点到角两边的距离相等”；通过几何画板演示验证加强合情推理，体会理性直观；利用全等三角形的判定和性质证明该定理，则是对逻辑思维能力的培养，这种连续性的数学思维强化了知识的关联性与系统性，有助于培养学生解决问题的思维习惯，逐步形成“有理有据、步步推进”的数学素养，为后续更复杂的几何探究奠定思维基础。
（3）在探究角平分线尺规作图原理的推导和性质定理的证明过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提升逻辑推理能力。在解决实际问题时，学生能够将实际情境抽象为数学模型，运用性质定理解决问题，增强数学建模意识和应用意识。
三、教学问题诊断分析
1. 问题分析
（1）尺规作图环节，学生可能对作图原理缺乏清晰认知，仅停留在模仿步骤层面。
（2）探究角平分线的性质时，学生易混淆“点到边的距离”与“点到顶点的距离”，导致对性质的理解偏差。证明性质定理时，学生可能忽略“距离”需满足“垂直”条件，在写已知、求证时遗漏“PM⊥OA、PN⊥OB”等关键条件，影响证明的严谨性。
（3）应用性质解决问题时，难以快速识别图形中符合“角平分线+距离”的条件，无法灵活将性质与全等三角形等知识结合。
2. 解决策略
（1）在尺规作图的过程中，多设置问题与思考，让学生主动寻找解决办法，明晰每一步作图的目的和依据。
（2）对于“距离”概念的混淆，可设计画图对比，判断正误的练习，让学生直观感受两者的区别，强调“距离”的垂直特征。证明性质定理时，先让学生自主写出已知、求证，再小组讨论补充完善，教师针对性点评，突出“垂直”条件的必要性；最后让学生用几何语言规范证明，强化严谨性。
（3）应用环节，设计分层练习：基础题明确标注垂直条件，让学生直接应用性质；提高题隐藏垂直条件，引导学生通过作辅助线（垂线）构造性质适用的图形，逐步培养学生的条件识别和转化能力。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能熟练运用角平分线的性质定理解决问题。
四、教学过程设计
（一）情境引入
问题1 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
问题2 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
设计意图：先让学生回忆起角平分线的基本概念及简易获取方式，再将材质换成木板、钢板，制造认知冲突。因为木板、钢板难以像纸片一样对折，促使学生思考在无法折叠的情况下，如何精准作出角平分线，自然过渡到后续对角平分线的尺规作图等知识的探究，培养学生解决实际问题、灵活变通的思维。
（二）合作探究
探究1 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.
追问 在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN
解 当OM=ON时，PM=PN.理由如下：
∵OC是∠AOB的平分线，
∴ ∠POM=∠PON.
在△OPM和△OPN中，
∴ △OPM≌△OPN(SAS).
∴ PM=PN.
探究1 反过来，如图，若M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON，点P在∠AOB的内部，PM=PN，则点P的位置有什么特点？
解 点P在∠AOB的平分线上.理由如下：
连接OP.
在△OPM和△OPN中，
∴ △OPM≌△OPN(SAS).
∴ ∠POM=∠PON，即点P在∠AOB的平分线上.
思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
追问 如何作出OM=ON？如何作出PM=PN？
分析 根据上述结论：
①在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.
②在角的内部作出与这两点距离相等的点.
③以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
作法 如图，已知∠AOB.
(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)作射线OC.射线 OC 即为∠AOB 的平分线.
追问 在（2）中，为什么半径要大于MN的长？
答 为了保证两段弧有交点.
基本尺规作图 作一个角的平分线.
关联 “用角尺平分角”和“用角平分仪平分角”的原理与尺规作图“作一个角的平分线”一致.
探究2 如图，OC是∠AOB 的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3 …...分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什么发现？
发现 P1D1=P1E1，P2D2=P2E2，P3D3=P3E3，…
猜想 角的平分线有以下性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
信息技术验证
追问 如何证明猜想呢？
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
分析 如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.
证明 ∵ OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△OPD和△OPE中，
∴△OPD≌△OPE(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
归纳
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
设计意图：探究1中，引导学生主动思考条件与结论的关联，培养逻辑推理能力，让学生学会从几何图形的元素关系中，挖掘隐含条件和规律，提升分析问题、解决问题的能力。探究2中，从特殊实例的观察测量到归纳猜想，符合学生的认知规律；从猜想出发，进行严格几何证明，引导学生经历 “猜想 - 验证（信息技术辅助） - 逻辑证明” 的完整过程，强化演绎推理能力，总结几何命题证明的一般步骤，形成通用的几何证明方法体系。
（三）典例分析
例1 如图，在直线 MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等.
作法 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D.
(2)分别以点C，D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E.
(3)作射线OE，交MN于点P，点P即为所求.
例2 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.点F，G分别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG.求证PF=PG.
证明 ∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°.
在△PDF和△PEG中，
∴ △PDF≌△PEG(SAS).
∴ PF=PG.
设计意图：例1中，将作图与实际位置结合，培养学生把理论知识转化为实际操作，解决有条件限制的几何作图问题的能力，提升几何直观和实践应用意识。例2中，以角平分线的性质为基础，结合全等三角形的判定，构建综合证明题。通过完整的证明过程，训练学生的逻辑推理能力，规范证明步骤的书写，让学生熟练掌握几何证明的推理链条。
（四）巩固练习
1．如图，是的平分线，已知于点，且，则点到的距离是（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ C ）
A．三条高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则与的数量关系是 ．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
感受中考
1．（2025 内蒙古）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ D ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ B ）
A． B． C． D．
3．（2024 绵阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．5

第1题图 第2题图 第3题图
4．（2025 陕西）如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图，点即为所求；
5．（2023·河南）如图，中，点D在边上，且．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．

（1）解：如图所示.
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理角平分线的定义、画法和性质，并展望新知（角平分线的判定），将零散知识串联，构建清晰、完整的知识网络，强化对角平分线相关知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题14.3 第1，4，5题.
2.探究性作业：习题14.3 第6，7题.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共34张PPT)
14.3 角的平分线
(第1课时)
第十四章 全等三角形
人教版(新教材)数学八年级上册
会用尺规作一个角的平分线；探索并证明角的平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.
经历“操作—猜想—验证—证明”的几何命题探究过程，感悟连续性的数学思维；在解决问题时，体会转化思想.
在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
情境引入
问题1 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
度量法
情境引入
问题1 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
折叠法
情境引入
问题2 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗
解：当OM=ON时，PM=PN.理由如下：
∵OC是∠AOB的平分线，
∴ ∠POM=∠PON.
在△OPM和△OPN中，
∴ △OPM≌△OPN(SAS).
∴ PM=PN.
合作探究
探究1 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系.
在图中，当OM与ON满足什么关系时，PM=PN
解：点P在∠AOB的平分线上.理由如下：
连接OP.
在△OPM和△OPN中，
∴ △OPM≌△OPN(SAS).
∴ ∠POM=∠PON，即点P在∠AOB的平分线上.
合作探究
探究1 反过来，如图，若M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM=ON，点P在∠AOB的内部，PM=PN，则点P的位置有什么特点？
合作探究
思考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗
分析 根据上述结论：
①在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点.
②在角的内部作出与这两点距离相等的点.
③以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
OM=ON
PM=PN
作法 如图，已知∠AOB.
(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)作射线OC.射线 OC 即为∠AOB 的平分线.
合作探究
为什么
基本尺规作图
合作探究
作一个角的平分线
用角尺平分角
用角平分仪平分角
发现 P1D1=P1E1，
P2D2=P2E2，
P3D3=P3E3，…
猜想 角的平分线有以下性质:
合作探究
探究2 如图，OC是∠AOB 的平分线.点P1，P2，P3，…在OC上，过点P1，P2，P3，…分别画OA与OB的垂线，垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3 …...分别比较P1D1与P1E1、P2D2与P2E2、P3D3与P3E3……，你有什
么发现
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
合作探究
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
信息技术验证
已知
求证
合作探究
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
角的平分线上的点
到角两边的距离
相等
PD=PE.
已知
求证
合作探究
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
PD=PE.
分析 如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD和△OPE具备“角角边”的条件.
已知
求证
合作探究
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
PD=PE.
证明 ∵ OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△OPD和△OPE中，
∴△OPD≌△OPE(AAS).
∴PD=PE.
合作探究
角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
归纳
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
合作探究
角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD=PE.
典例分析
例1 如图，在直线 MN上求作一点P，使点P在∠AOB的内部，且点P到射线OA和OB的距离相等.
作法 (1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D.
(2)分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E.
(3)作射线OE，交MN于点P，点P即为所求.
典例分析
例2 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.点F，G分别在OA，OB上，DF=EG，连接PF，PG.求证PF=PG.
证明 ∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD=PE，∠PDF=∠PEG=90°.
在△PDF和△PEG中，
∴ △PDF≌△PEG(SAS).
∴ PF=PG.
巩固练习
1.如图，OP是∠MON的平分线，已知PC⊥OM于点C，且PC=2，则点P到ON的距离是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
B
巩固练习
2.三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
C
巩固练习
3.如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点P(m-1，2n)则m与n的数量关系是 .
m+2n=1
归纳总结
角的平分线 作一个角的平分线 角的平分线的性质 图示 的点到 的距离相等. 图示
依据 符号 语言
角的平分线上
角两边
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD=PE.
SSS
感受中考
1.(2025·内蒙古)如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧.交射线EA于点M，交EF于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧(两弧半径相等)，两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度数为（ ）
A.100° B.80° C.50° D.40°
D
感受中考
2.(2024·天津)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E，交AC于点F；再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P；画射线AP，与BC相交于点D，则∠ADC的大小为( )
A.60° B.65° C.70° D. 75°
B
感受中考
3.(2024 绵阳)如图，在△ABC中，AB＝5，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为5，则DE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
B
感受中考
4.(2025·陕西)如图，已知∠AOB=50°，点C在边OA上.请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得∠AOP =25°，且CP∥OB.(保留作图痕迹，不写作法)
点P即为所求.
感受中考
5.(2023 ·河南)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法).
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE=BE.
证明 ∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE,
∵AB=AD，AE=AE,
∴△BAE≌△DAE(SAS),
∴DE=BE.
感受中考
5.(2023 ·河南)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法).
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE=BE.
相等的距离
依据:SSS
相等的角
角的平分线
小结梳理
定义
画法
？
性质
布置作业
必做题：习题14.3 第1，4，5题.
1
探究性作业：习题14.3 第6，7题.
2
谢谢观看！
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