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14.3 角的平分线(第2课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
在学生学习了角平分线性质的基础上，本节课进一步研究角平分线性质定理的逆定理——角的内部到 角的两边距离相等的点在角的平分线上。这是全等三角形知识的运用和延续，是今后学习三角形的内心的基础。
2. 内容分析
本节课建立在学生已学分线性质的基础上，体现了数学知识 “性质与判定” 的逻辑对应关系，是对相关知识体系的完善。引导学生在已有知识框架中自然过渡到新内容的学习，符合学生的认知规律。在教学过程中，需要引导学生运用全等三角形的判定和性质来推导逆定理，从而加深对全等三角形知识的理解和灵活运用能力的培养。该逆定理是 “今后学习三角形的内心的基础”，让学生认识到当前知识的重要性，激发其学习动力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明角平分线性质定理的逆定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题。
（2）经历角平分线性质定理的逆定理的探究过程，培养逻辑推理能力，体会逆向思维；在应用逆定理解决问题的过程中，体会转化思想。
（3）在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）学生既要理解逆定理的具体内容，还要掌握其探索和证明过程。探索是对知识形成路径的感知，证明则是对逻辑严谨性的把握。学生还须具备将逆定理与具体情境结合的能力，包括识别问题中 “到角两边距离相等” 的条件，或将定理作为推理依据解决几何证明、计算等问题，体现知识的应用价值。
（2）本节课通过引导学生探索和证明角平分线性质定理的逆定理，渗透逻辑推理思想；借助性质与逆定理的对比，让学生体验逆向思维；同时，将新问题转化为全等三角形知识来解决，强化转化思想，提升知识迁移能力。
（3）在探究和证明角平分线性质定理的逆定理过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提升逻辑推理能力。在解决实际问题时，学生能够将实际情境抽象为数学模型，运用逆定理解决问题，增强数学建模意识和应用意识。
三、教学问题诊断分析
1. 问题分析
（1）对逆定理的条件与结论理解混淆
学生可能误将逆定理与原定理的条件、结论颠倒，或忽略“角的内部”这一关键前提，导致对定理的适用范围判断错误。
（2）应用逆定理解决问题时难以识别适用场景
面对实际问题，学生可能找不到“到角两边距离相等”的隐含条件，或不知道用逆定理判断点与角平分线的位置关系。
2. 解决策略
（1）利用表格梳理原定理与逆定理的条件和结论，用不同颜色标注“角的内部”这一限制条件，结合反例加深理解，强化对定理的精准认知。
（2）设计分层例题，从直接给出距离相等条件的基础题，到需要作辅助线（垂线）的综合题，逐步引导学生提炼“距离相等→点在角的平分线上”的解题思路，同时通过错题辨析强化应用细节。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能熟练运用角平分线性质定理的逆定理解决问题。
四、教学过程设计
（一）复习引入
1.上节课我们学习了基本尺规作图：作一个角的平分线.你能说说作图的步骤吗？
2.角的平分线具有什么性质呢？
3.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗 也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗
4.如何证明一个几何命题呢？
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
设计意图：呈现 “角的平分线” 包含定义、画法、性质、判定的知识框架，且体现 “性质与判定互逆”，帮助学生梳理知识脉络，清晰认识角的平分线相关知识的整体结构，理解判定（逆定理）在结构中的位置，完善认知体系。
（二）合作探究
已知：点P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.PD=PE.
求证：点P在∠AOB的平分线上.
解 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
∴ Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).
∴ ∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB，
∴点P在∠AOB的平分线上.
角的平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
符号语言：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴ OP平分∠AOB .
在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
设计意图：在证明过程中，引导学生从垂直条件得到直角，依据全等三角形的判定（HL）证明三角形全等，再由全等推出角相等，最终得出点在角平分线上，一步步严谨推导，强化学生的逻辑推理能力。给出判定定理的符号语言，规范学生的几何表达，帮助学生学会用简洁、准确的符号语言描述定理。
（三）典例分析
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证:
(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.
分析 (1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等. (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上.
证明 (1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
(2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上，
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
设计意图：本例题聚焦角平分线的性质定理与逆定理的综合运用，构建知识关联网络。通过“性质证距离相等→逆定理证点在角平分线上”的逻辑，让学生深度体会二者“互逆且互补”的关系，强化知识的综合运用能力。提前让学生感知“角平分线交点”具备的特殊性质（到三边等距、三线共点 ），为“三角形内心”的学习筑牢基础。
（四）巩固练习
1．如图，点在内部，，，垂足分别为，．若，，则的度数为（ D ）
A． B． C． D．
2．如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线，且与射线交于点，另一把直尺压住射线，且与第一把直尺交于点，作射线，已知，则的度数是（ C ）
A． B． C． D．
第1题图 第2题图 第3题图
3．如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为．
4．如图，M，N分别是边，上的点，点P在射线上，下列条件不能说明平分的是（ C ）
A．，， B．，
C．， D．，，
第4题图 第5题图
5．如图，，于，于，则①；②；③点在的角平分线上，其中正确的结论是（ A ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证:FD平分∠BFE.
证明 ∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠ABD=∠CED=90°.
在△ABD和△CED中，
∴ △ABD≌△CED(AAS).
∴ DB=DE，
又∵DB⊥FB，DE⊥FE，
∴FD平分∠BFE.
7.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点 P，求证:
(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
(2)点P在∠A的平分线上.
证明 (1)过点P作PD⊥AD，PE⊥BC，PF⊥AE，垂足分别为D，E，F.
∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
(2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
感受中考
1．（黑龙江）如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ B ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
第1题图 第2题图
2．（2020·湖北）如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ C ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理角平分线的定义、画法、性质和判定，将零散知识串联，构建清晰、完整的知识网络，强化对角平分线相关知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题14.3 第2，3题.
2.探究性作业：复习题14 第14题.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共25张PPT)
14.3 角的平分线
(第2课时)
第十四章 全等三角形
人教版(新教材)数学八年级上册
探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题.
经历角平分线性质定理的逆定理的探究过程，培养逻辑推理能力，体会逆向思维；在应用逆定理解决问题的过程中，体会转化思想.
在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
依据:SSS
相等的角
角的平分线
复习引入
定义
画法
依据:SSS
相等的角
角的平分线
复习引入
定义
画法
？
性质
判定
互
逆
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
复习引入
归纳
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
证明 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
∴ Rt△OPD≌Rt△OPE(HL).
∴ ∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB，
∴点P在∠AOB的平分线上.
合作探究
已知：
求证：
点P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.PD=PE.
点P在∠AOB的平分线上.
合作探究
角的平分线的判定:
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
在角的内部，角的平分线(顶点除外)可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴ OP平分∠AOB .
典例分析
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证:
(1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
证明 (1)过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
分析 (1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等.
典例分析
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证:
(2)△ABC的三条角平分线交于一点.
证明 (2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上，
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
分析 (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上.
巩固练习
1.如图，点P在∠MAN内部，PC⊥AM，PB⊥AN，垂足分别为B，C.若PB=PC，∠MAN=46°，则∠APC的度数为( )
A.23° B.44° C.46° D.67°
D
巩固练习
2.如图是两把完全相同的长方形直尺，一把直尺压住射线OB，且与射线OA交于点C，另一把直尺压住射线OA，且与第一把直尺交于点P，作射线OP，已知∠POB=40°，则∠ACP的度数是( )
A.40°
B.60°
C.80°
D.100°
C
巩固练习
3.如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上一点，过点D作DE⊥AB于点E，若DE=DC，则∠ADE的度数为 .
75°
巩固练习
4.如图，M，N分别是边OA，OB上的点，点P在射线OC上，下列条件不能说明OC平分∠AOB的是( )
A.PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN B.PM=PN，OM=ON
C.OM=ON，∠OPM=∠OPN D.PM⊥OA，PN⊥OB，OM=ON
C
巩固练习
5.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，则①△ABE≌△ACF；②△BOF≌△COE；③点O在∠BAC的角平分线上，其中正确的结论是( )
A.3 个 B.2个 C.1个 D.0个
A
巩固练习
6.如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证:FD平分∠BFE.
证明 ∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠ABD=∠CED=90°.
在△ABD和△CED中，
∴ △ABD≌△CED(AAS).
∴ DB=DE，
又∵DB⊥FB，DE⊥FE，
∴FD平分∠BFE.
巩固练习
7.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点 P，求证:
(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
(2)点P在∠A的平分线上.
证明 (1)过点P作PD⊥AD，PE⊥BC，PF⊥AE，垂足分别为D，E，F.
∵BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
巩固练习
7.如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点 P，求证:
(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
(2)点P在∠A的平分线上.
证明 (2)由(1)得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上.
归纳总结
角的平分线 角的平分线的判定 角的内部 的点在 上.
图示
符号语言
到角两边距离相等
角的平分线
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴ OP平分∠AOB .
感受中考
1.(黑龙江)如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=( )
A．30° B．35° C．45° D．60°
B
感受中考
2.(2020·湖北)如图，已知△ ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90°，BD，CE交于点F，连接AF，下列结论：①BD=CE；②BF⊥CF；
③AF平分∠CAD；④∠AFE=45°.其中正确结论的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
相等的角
相等的距离
依据:SSS
相等的角
角的平分线
小结梳理
定义
画法
判定
性质
布置作业
必做题：习题14.3 第2，3题.
1
探究性作业：复习题14 第14题.
2
谢谢观看！
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