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2024-2025 学年江苏省常州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 2 = 1 2 ，其中 为虚数单位，则 对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 70° 40° 70° 40° =( )
A. 32 B.
1
2 C.
1 3
2 D. 2
3.某校义工社团共有 80 人，其中男生 50 人.若按男女比例采取分层抽样的方式，抽取 16 人参加周末的马
拉松比赛志愿者工作，则女生应抽取的人数是( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 10
4.已知 ， 表示两条不同的直线， ， 表示两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若 ， // ，则 // B.若 ， // ，则 //
C.若 // ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
5.若将一个表面积为 36 2的铁球熔铸成一个高为 9 的实心圆锥(熔铸过程中损耗忽略不计)，则该圆锥
的底面半径为( )
A. 2 B. 2 3 C. 3 D. 3 2
6.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为△ 的面积.若 2 = ( + )，则 =( )
A. B. 6 4 C.

3 D. 2
7.已知正四棱锥 的底面边长和侧棱长相等，记异面直线 与 所成角为 ，侧棱 与底面
所成角为 ，侧面 与底面 所成的二面角为 ，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
8.已知平面向量 ， ， 均为单位向量，若 与 的夹角为 60°，则( ) ( 2 )的最大值为( )
A. 2 + 3 B. 4 C. 2 + 7 D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则( )
A.事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件
B.事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件
C.事件“两次点数之和大于 6”与“两次点数之和小于 6”互为对立事件
D.事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立
10.在△ ，若 > ，则( )
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A. > B. < C. 2 > 2 D. 2 < 2
11.如图，圆台 1 2的上、下底面半径分别为 1 和 2，高为 2 2，点 为下底
面圆周上一点， 为上底面圆周上一点，则( )
A. 14 2 该圆台的体积为 3
B.该圆台的内切球的半径为 2
C. 直线 与直线 1 2所成角的最大值为3
D. 2直线 1与平面 1 2所成角的正切值最大为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若(1 + ) = 4 ，其中 为虚数单位，则复数 的模为______．
13 1 .若 cos( + 3 ) = 4，则 sin(2 + 6 )的值为______．
14.若正方体 1 1
10
1 1的棱长为 1，则以 1为球心， 3 为半径的球面与底面 的交线长为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知四边形 是平行四边形，且 (2,3)， ( 2, 1)， (4,2)．
(1)求点 的坐标；
(2)求平行四边形 的面积．
16.(本小题 15 分)
在地平面上有一竖直的旗杆 ( 在地平面上)，为了测得它的高度，在地平面上取一基线 ，测得其长为
20 .在 处测得 点的仰角为 30°，在 处测得 点的仰角为 45°，又测得∠ = 30°．
(1)求旗杆的高度 ；
(2)求点 到平面 的距离．
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17.(本小题 15 分)
某校为了了解高一新生的体质健康状况，在开学初进行了一次体质测试，共 800 人参加本次测试，得到如
图所示的频率分布直方图．
(1)求 的值；
(2)试估计本次测试的平均成绩(用各组区间中点的数值即“组中值”近似地表示每组的成绩)；
(3)立定跳远项目每人有 2 次测试机会，若第一跳满分，则不再进行第二跳.假设小明同学每一跳获得满分的
概率均为 0.8，求本次测试中，小明在立定跳远项目最终获得满分的概率．
18.(本小题 17 分)
在等腰直角三角形 中，斜边 = 4，点 ， 均在线段 上(不含端点)，且∠ = 45°．
(1)若 = 5，求 的长；
(2)求△ 的面积的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图 1，在直角梯形 中， // ， ⊥ ， = = 2 ， 是 的中点.现沿 把△ 折起，
使得 ⊥ (如图 2 所示)， ， 分别为 ， 的中点， 是线段 上一点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 是线段 的中点，求 与平面 所成的角；
(3)若 // 平面 ，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 2
13.78
14. 6
15.(1)由题意， = ( 4, 4)，
设 的坐标为( , )， = (4 , 2 )，
因为 = ，
所以 4 = 4，且 2 = 4，
解得 = 8， = 6，即 (8,6)；
(2)由 = ( 4, 4)， = (6,3)，
则 = 24 12 = 36，| | = 16 + 16 = 4 2，| | = 36 + 9 = 3 5，

则 cos , = 36 3 10
|
=
| | | 4 2×3 5
= 10 ，
所以 sin , = 1 cos2 , = 1010 ，
则平行四边形 的面积为
1 1 10
2 × | | × | | × sin , × 2 = 2 × 4 2 × 3 5 × 10 × 2 = 12．
16.解：(1)由题意 = 3 ， = ， = 20 ，∠ = 30°，
由余弦定理，400 = 3 2 + 2 2 3 × 3，解得 = 20 ；2
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(2)过点 作 ⊥ 于点 ，
由题意 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
故所求为线段 的长度，
由(1)可知 = 3 = 20 3 ，
1
所以 = 30° = 2 = 10 3 .
17.(1)根据频率分布直方图，则 0.008 × 10 + × 10 + 0.032 × 10 + 0.024 × 10 + 0.016 × 10 = 1，
解得 = 0.020；

(2)设本次测试的平均成绩为 ，
则 0.008 × 10 × 95 + 0.020 × 10 × 85 + 0.032 × 10 × 75 + 0.024 × 10 × 65 + 0.016 × 10 × 55 = 73，
故本次测试的平均成绩为 73；
(3)设小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为 ，则 = 0.8 + 0.2 × 0.8 = 0.96，
即小明在立定跳远项目最终获得满分的概率为 0.96．
18.解：(1)在等腰直角三角形 中，斜边 = 4，点 ， 均在线段 上(不含端点)，
所以∠ = 45°，在△ 中， 2 = 2 + 2 2 × × 45°，
所以 5 = 8 + 2 4 ，
所以 = 3 或 = 1；
(2)过 作 ⊥ 交 于 ，则 = 2，
设∠ = ，∠ = ，则 + = 45°，
1 1
所以2 = ，2 = ，
△ 1的面积为 = 2 ( + ) × 2 = 2( + )，
1 = tan( + ) = + 因为 1 tan tan ，
所以 × = 1 ( + ) ≤ ( + )
2
，所以( + )2 + 4( + ) 4 ≥ 0，
4
所以 + ≥ 2 2 2，当且仅当 = = 2 1 时取等号，
所以面积的最小值为 4 2 4．
19.(1)证明：直角梯形 中， // ， ⊥ ， = 2 ， 是 的中点，
所以 = ，四边形 为矩形，所以 ⊥ ，
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因为 ⊥ ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
又 为 边的中点，所以 = = = ，
所以△ ，△ 为等腰直角三角形，∠ = ∠ = 90°，
所以∠ = 90°， ⊥ ，
又由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
而 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ；
(2)解：因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 // ，
所以 与平面 所成的角与 与平面 所成的角相等，
连接 ，点 为线段 的中点，交 与点 ，
因为四边形 为矩形， = 2 ，点 ， 分别为线段 ， 的中点，
所以四边形 为正方形，所以 ⊥ ，即 ⊥ ，
由(1) ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，因为 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
所以 与平面 所成的角为∠ ，
设 = ，则 = 2 = 2， 2 ， = ，
△ ∠ = 在 中， 2， = =
2
2 ，
= 2 + 2 = 1 2 2 62 + = 2 ，
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2

所以 tan∠ = =
2 3
6 = 3
，
2
又∠ ∈ (0, 2 )，
∠ = 所以 6，

所以 与平面 所成的角为6；
(3)解：延长 ，交 的延长线于点 ，
因为 //平面 ，又 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，

所以 =

，
因为 // ，所以 // ，
又 为线段 的中点，
所以 = ，
又 = ， 为线段 的中点，
所以 = 4 ，
1
所以 = 4．
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