资源简介

1　对数的概念　(教学方式:基本概念课逐点理清式教学)
[课时目标]
要准确把握对数的定义，以及ab＝N(a>0，且a≠1) logaN＝b的等价关系，
学会将对数与幂进行相互转化．会进行对数式与指数式的互化，会求简单的对数值．
逐点清(一)　对数的概念
[多维理解]
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即________，那么数b称为以a为底N的对数，记作__________．其中a叫作对数的________，N叫作________．
2．常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 当对数的底数________时，通常称之为常用对数 lg N
自然对数 以无理数e＝2.718 281…为底数的对数，称之为自然对数 ____
|微|点|助|解|　
(1)定义中为什么规定a＞0，且a≠1
理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.
②当a＝0，且N≠0时，logaN不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0.
③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1.
(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫做对数运算，不过对数运算的符号要写在数的前面．
[微点练明]
1．lg 7与ln 8的底数分别是(　 )
A．10,10 B．e，e
C．10，e D．e,10
2．已知loga2b＝c，则有(　 )
A．a2b＝c B．a2c＝b
C．bc＝2a D．c2a＝b
3．在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为(　 )
A．(－∞，3] B．(3,4)∪(4，＋∞)
C．(4，＋∞) D．(3,4)
4．若logx＋1(x＋1)＝1，则x的取值范围是(　 )
A．(－1，＋∞)
B．(－1,0)∪(0，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
逐点清(二)　对数与指数的关系
[多维理解]
1．对数与指数的关系
当a>0，a≠1时，ab＝N b＝________.
2．对数与指数的关系示意图
|微|点|助|解|　
指数式ab＝N，根式＝a和对数式logaN＝b(N＞0，a＞0，且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式．具体对应如下：
表达形式 a b N 对应的运算
ab＝N 底数 指数 幂 乘方，由a，b求N
＝a 方根 根指数 被开方数 开方，由N，b求a
logaN＝b 底数 对数 真数 对数，由N，a求b
由此可知：
①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算；
②弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键．
[微点练明]
1．已知loga9＝－2，则a的值为(　 )
A．－3 B．－
C．3 D.
2．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是(　 )
A．100＝1与lg 1＝0
B．27－＝与log27＝－3
C．log39＝2与32＝9
D．log55＝1与51＝5
3．求下列各式的值．
(1)log981＝________；(2)log0.41＝________；(3)ln e2＝______.
逐点清(三)　对数的性质及对数恒等式的应用
[多维理解]
对数的性质 (1)loga1=__ (a>0,且a≠1);(2)logaa=__ (a>0,且a≠1);(3)零和负数___________
对数恒等式 =________________________
|微|点|助|解|　
1．利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．
(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．
2．对数恒等式的作用
(1)化简求值，如aloga(x＋2)＝x＋2(a＞0，且a≠1，x＞－2)．
(2)将有关数值转化成幂的形式，如3＝2log23.
[微点练明]
1．已知log3(log2x)＝0，那么x＝(　 )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(　 )
A．10 B．13
C．100 D．±1 001
3．若log2(log0.5(log2x))＝0，则x的值是(　 )
A. B．2
C. D．1
4．计算：3log22＋2log31－3log77＋3ln 1＝________.
对数的概念
[逐点清(一)]
[多维理解]　1.ab＝N　logaN＝b　底数　真数　2.a＝10　ln N
[微点练明]　1.C　2.B　3.B　4.B
[逐点清(二)]
[多维理解]　1.logaN
[微点练明]　1.D　2.ACD
3．(1)2　(2)0　(3)2
[逐点清(三)]
[多维理解]　0　1　没有对数
N(a＞0，且a≠1，N＞0)
[微点练明]　1.B　2.B　3.A　4.0
1 / 4(共49张PPT)
1
对数的概念　
(教学方式:基本概念课 —逐点理清式教学)
课时目标
要准确把握对数的定义,以及ab=N(a>0,且a≠1) logaN=b的等价关系,
学会将对数与幂进行相互转化.会进行对数式与指数式的互化,会求简单的对数值.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　对数的概念
逐点清(二)　对数与指数的关系
逐点清(三)　对数的性质及对数恒等式的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　对数的概念
01
多维理解
1.对数的概念
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即______,那么数b称为以a为底N的对数,记作________.其中a叫作对数的_____,N叫作______.
ab=N
logaN=b
底数
真数
2.常用对数与自然对数
名称 定义 记法
常用对数 当对数的底数______时,通常称之为常用对数 lg N
自然对数 以无理数e=2.718 281…为底数的对数,称之为自然对数 _________
a=10
ln N
|微|点|助|解| 　
(1)定义中为什么规定a>0,且a≠1
理由:①当a<0且N为某些数值时,x不存在,如式子(-2)x=3没有实数解,所以 不存在,因此,规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.
②当a=0,且N≠0时,logaN不存在;当a=0,且N=0时,x可取无数个值,因此规定a≠0.
③当a=1,且N不为1时,x不存在;而a=1且N=1时,x可以为任何实数,因此规定a≠1.
(2)“log”同“+”“×”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫做对数运算,不过对数运算的符号要写在数的前面.
1.lg 7与ln 8的底数分别是 (　 )
A.10,10 B.e,e
C.10,e D.e,10
微点练明
√
2.已知b=c,则有(　 )
A.a2b=c B.=b
C.bc=2a D.=b
解析:由题意得(a2)c=b,即=b.
√
3.在M=lo(x+1)中,要使式子有意义,x的取值范围为(　 )
A.(-∞,3] B.(3,4)∪(4,+∞)
C.(4,+∞) D.(3,4)
解析:由对数的概念可得解得34.
√
4.若logx+1(x+1)=1,则x的取值范围是 (　 )
A.(-1,+∞)
B.(-1,0)∪(0,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,+∞)
D.(-∞,0)∪(0,+∞)
√
解析:　∵logx+1(x+1)=1,
∴∴x>-1且x≠0.
逐点清(二)　对数与指数的关系
02
多维理解
1.对数与指数的关系
当a>0,a≠1时,ab=N b=_______.
2.对数与指数的关系示意图
logaN
|微|点|助|解| 　
指数式ab=N,根式=a和对数式logaN=b(N>0,a>0,且a≠1)是同一种数量关系的三种不同表达形式.具体对应如下:
表达形式 a b N 对应的运算
ab=N 底数 指数 幂 乘方,由a,b求N
方根 根指数 被开方数 开方,由N,b求a
logaN=b 底数 对数 真数 对数,由N,a求b
由此可知:
①开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算;
②弄清对数式与指数式的互换规则是掌握对数意义及其运算的关键.
微点练明
1.已知loga9=-2,则a的值为 (　 )
A.-3 B.-
C.3 D.
解析:∵loga9=-2,a>0,且a≠1,∴a-2=9.解得a=.故选D.
√
2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 (　 )
A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=-3
C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5
解析:选项A中,指数式100=1化为对数式为lg 1=0,A正确;选项B中,指数式2=化为对数式为log27=-,B不正确;选项C中,对数式log39=2化为指数式为32=9,C正确;选项D中,对数式log55=1化为指数式为51=5,D正确.
√
√
√
3.求下列各式的值.
(1)log981=　　　;
解析:设log981=x,所以9x=81=92.故x=2,即log981=2.
(2)log0.41=　　　;
解析:设log0.41=x,所以0.4x=1=0.40.故x=0,即log0.41=0.
(3)ln e2=　　　.
解析:设ln e2=x,所以ex=e2.故x=2,即ln e2=2.
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逐点清(三)　
对数的性质及对数恒等式的应用
03
多维理解
对数的性质 (1)loga1=____ (a>0,且a≠1);
(2)logaa=___ (a>0,且a≠1);
(3)零和负数_________
对数恒等式
0
1
没有对数
N(a>0,且a≠1,N>0)
|微|点|助|解| 　
1.利用对数性质求解的两类问题的解法
(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.
(2)已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.
2.对数恒等式的作用
(1)化简求值,如=x+2(a>0,且a≠1,x>-2).
(2)将有关数值转化成幂的形式,如3=.
微点练明
1.已知log3(log2x)=0,那么x= (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:因为log3(log2x)=0,所以log2x=1.则x=2.
√
2.设=25,则x的值等于(　 )
A.10 B.13
C.100 D.±1 001
解析:由对数的性质,得=2x-1=25.所以x=13.
√
3.若log2(log0.5(log2x))=0,则x的值是 (　 )
A. B.2
C. D.1
解析:因为log2(log0.5(log2x))=0,
所以log0.5(log2x)=1.所以log2x=0.5.所以x=.
√
4.计算:3log22+2log31-3log77+3ln 1=　　　.
解析:原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0.
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课时跟踪检测
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1.下列选项中,可以求对数的是 (　 )
A.0 B.-5
C.π D.-x2
解析:根据对数的定义,得0和负数没有对数,∴选项A、B不可以求对数.又-x2≤0,∴选项D没有对数.∵π>0,∴选项C可以求对数.
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2.已知81=x,则x等于(　 )
A.-8 B.8
C.4 D.-4
解析:由题意得()x=81,即=34,则x=8.
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3.方程=的解是(　 )
A. B.
C. D.9
解析:∵==2-2,∴log3x=-2.∴x=3-2=.
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4.(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是 (　 )
A.e0=1与ln 1=0
B.=与log8=-
C.log39=2与=3
D.log77=1与71=7
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解析:e0=1 ln 1=0,故A正确;= log8=-,故B正确;
log39=2 32=9,=3 log93=,故C不正确;log77=1 71=7,故D正确.
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5.对于a>0且a≠1,下列说法正确的是 (　 )
A.若M=N,则logaM=logaN
B.若logaM=logaN,则M=N
C.若logaM2=logaN2,则M=N
D.若M=N,则logaM2=logaN2
解析:A中,若M,N小于或等于0时,logaM=logaN不成立;B正确;C中,M与N也可能互为相反数;D中,当M=N=0时不正确.
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6.(多选)下列等式正确的有 (　 )
A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0
C.若lg x=10,则x=10 D.若ln x=e,则x=e2
解析:lg(lg 10)=lg 1=0,故A正确;lg(ln e)=lg 1=0,故B正确;若lg x=10,则x=1010,故C错误;若ln x=e,则x=ee,故D错误.
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7.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值是 (　 )
A.1 B.0
C.x D.y
解析:由x2+y2-4x-2y+5=0,则(x-2)2+(y-1)2=0,∴x=2,y=1.
∴logx(yx)=log2(12)=0.
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8.若logx=z,则x,y,z之间满足(　 )
A.y7=xz B.y=x7z
C.y=7xz D.y=z7x
解析:由题意得=xz,所以y=(xz)7=x7z.
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9.使式子log(2x-1)有意义的x的取值范围是(　 )
A.(2,+∞) B.
C.(-∞,2) D.∪(1,2)
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解析:要使式子log(2x-1)有意义,则即解得1
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10.声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度,用I表示.由于声强I的变化范围非常大,为方便起见,引入声强级的概念,规定声强级L=lg,其中I0=10-12 W/m2,称为基准声强,声强级的单位是Bel, Bel又称为1 dB,生活在30 dB左右的安静环境有利于人的睡眠,而长期生活在90 dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康,根据所给信息,可得90 dB声强级的声强是30 dB声强级的声强的(　 )
A.3倍 B.103倍 C.106倍 D.10500倍
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解析:设90 dB和30 dB声强级的声强分别是I1,I2,由题意,得90=10lg,30=10lg.则I1=I0·109,I2=I0·103,所以==106.
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11.已知2log2x=log7y,且x=14,则xy的值是(　 )
A.98 B.49
C.28 D.14
解析:由对数性质,得log2x2=log7y,令z=log2x2=log7y,则x2=2z,y=7z;因为x=14,所以x2y=196.即2z·7z=(2×7)z=14z=196,解得z=2.所以x=2,y=49.故xy=98.
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12.若 (2x2+1)=2,则x=　　　.
解析:依题意得解得x=2.
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13.若a=log23,则2a+2-a=　　.
解析:∵a=log23,∴2a==3.
∴2a+2-a=2a+=3+=.
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14.已知log3(log5a)=log4(log5b)=0,则的值为　　　　.
解析:由log3(log5a)=0得log5a=1,即a=5.同理b=5,故=1.
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15.(10分)若x>0,y>0,且log7x=log14y=log28(x+y),求的值.
解:令log7x=log14y=log28(x+y)=t,则x=7t,y=14t,x+y=28t,∴7t·28t=(14t)2.即x(x+y)=y2,则1+=.∵>0,∴=或=(舍去).
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16.(10分)若log2[lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0,试确定x,y,z的大小关系.
解:由log3[lo(log3y)]=0,
得lo(log3y)=1,log3y=,y==(310.
由log2[lo(log2x)]=0,
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得lo(log2x)=1,log2x=,x==(215.
由log5[lo(log5z)]=0,
得lo(log5z)=1,log5z=,z==(56,
∵310>215>56,
∴y>x>z.
16课时跟踪检测(三十)　对数的概念
(满分90分，选填小题每题5分)
1．下列选项中，可以求对数的是(　　)
A．0 B．－5
C．π D．－x2
2．已知log81＝x，则x等于(　　)
A．－8 B．8
C．4 D．－4
3．方程2log3x＝的解是(　　)
A. B.
C. D．9
4．(多选)下列指数式与对数式互化正确的一组是(　　)
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．log39＝2与9＝3
D．log77＝1与71＝7
5．对于a>0且a≠1，下列说法正确的是(　　)
A．若M＝N，则logaM＝logaN
B．若logaM＝logaN，则M＝N
C．若logaM2＝logaN2，则M＝N
D．若M＝N，则logaM2＝logaN2
6．(多选)下列等式正确的有(　　)
A．lg(lg 10)＝0
B．lg(ln e)＝0
C．若lg x＝10，则x＝10
D．若ln x＝e，则x＝e2
7．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是(　　)
A．1 B．0
C．x D．y
8．若logx＝z，则x，y，z之间满足(　　)
A．y7＝xz B．y＝x7z
C．y＝7xz D．y＝z7x
9．使式子log(2x－1)有意义的x的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B.
C．(－∞，2) D.∪(1,2)
10．声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度，用I表示．由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级L＝lg，其中I0＝10－12 W/m2，称为基准声强，声强级的单位是Bel， Bel又称为1 dB，生活在30 dB左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90 dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康，根据所给信息，可得90 dB声强级的声强是30 dB声强级的声强的(　　)
A．3倍 B．103倍
C．106倍 D．10500倍
11．已知2log2x＝log7y，且x＝14，则xy的值是(　　)
A．98 B．49
C．28 D．14
12．若log(x＋1)(2x2＋1)＝2，则x＝______.
13．若a＝log23，则2a＋2－a＝________.
14．已知log3(log5a)＝log4(log5b)＝0，则的值为________．
15．(10分)若x>0，y>0，且log7x＝log14y＝log28(x＋y)，求的值．
16．(10分)若log2[log(log2x)]＝log3[log(log3y)]＝log5[log(log5z)]＝0，试确定x，y，z的大小关系．
课时跟踪检测(三十)
1．选C　根据对数的定义，得0和负数没有对数，∴选项A、B不可以求对数．又－x2≤0，∴选项D没有对数．∵π>0，∴选项C可以求对数．
2．选B　由题意得()x＝81，即3＝34，则x＝8.
3．选A　∵2log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2.∴x＝3－2＝.
4．选ABD　e0＝1 ln 1＝0，故A正确；8－＝ log8＝－，故B正确；log39＝2 32＝9,9＝3 log93＝，故C不正确；log77＝1 71＝7，故D正确．
5．选B　A中，若M，N小于或等于0时，logaM＝logaN不成立；B正确；C中，M与N也可能互为相反数；D中，当M＝N＝0时不正确．
6．选AB　lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；若lg x＝10，则x＝1010，故C错误；若ln x＝e，则x＝ee，故D错误．
7．选B　由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1.∴logx(yx)＝log2(12)＝0.
8．选B　由题意得＝xz，所以y＝(xz)7＝x7z.
9．选D　要使式子log(2x－1)有意义，则即解得10．选C　设90 dB和30 dB声强级的声强分别是I1，I2，由题意，得90＝10lg，30＝10lg.则I1＝I0·109，I2＝I0·103，所以＝＝106.
11．选A　由对数性质，得log2x2＝log7y，令z＝log2x2＝log7y，则x2＝2z，y＝7z；因为x＝14，所以x2y＝196.即2z·7z＝(2×7)z＝14z＝196，解得z＝2.所以x＝2，y＝49.故xy＝98.
12．解析：依题意得解得x＝2.
答案：2
13．解析：∵a＝log23，∴2a＝2log23＝3.
∴2a＋2－a＝2a＋＝3＋＝.
答案：
14．解析：由log3(log5a)＝0得log5a＝1，即a＝5.同理b＝5，故＝1.
答案：1
15．解：令log7x＝log14y＝log28(x＋y)＝t，则x＝7t，y＝14t，x＋y＝28t，∴7t·28t＝(14t)2.即x(x＋y)＝y2，则1＋＝2.∵>0，∴＝或＝(舍去)．
16．解：由log3[log(log3y)]＝0，
得log(log3y)＝1，log3y＝，y＝3＝(310).
由log2[log(log2x)]＝0，得log(log2x)＝1，log2x＝，x＝2＝(215).
由log5[log(log5z)]＝0，得log(log5z)＝1，log5z＝，z＝5＝(56)，
∵310>215>56，∴y>x>z.
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