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巩固复习.培优卷 平行线的性质
一．选择题（共5小题）
1．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．若a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等
D．若a＝b，那么|a|＝|b|
2．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（　　）
A．15° B．85° C．95° D．115°
3．如图，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，若∠D＝30°，∠DCB＝80°，则∠B等于（　　）
A．60° B．80° C．100° D．130°
4．如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　）
A．∠1＝180°﹣∠3 B．∠1＝∠3﹣∠2
C．∠2+∠3＝180°﹣∠1 D．∠2+∠3＝180°+∠1
5．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二．填空题（共5小题）
6．如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　 　°．
7．如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为 　 　°．
8．把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”改写成“如果…那么…”的形式：　 　．
9．如图，直线l1∥l2，将三角板按如图方式放置，直角顶点在l2上，若∠1＝36°，则∠2＝　 　．
10．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．已知：直线AB∥CD，点P在AB的上方，且∠AEP＝50°，∠PFC＝120°．
（1）如图1，求∠EPF的度数；
（2）如图2，若∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
12．如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度数．
13．完成下面推理过程：
如图，已知DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，可推得∠FDE＝∠DEB的理由：
∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE＝　 　（ 　 　）
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，
∴∠ADF 　 　（ 　 　）
∠ABE 　 　（ 　 　）
∴∠ADF＝∠ABE
∴　 　∥　 　（ 　 　）
∴∠FDE＝∠DEB．（ 　 　）
14．如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠AEG＝∠AGE，∠DCG＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，且∠BFC﹣30°＝2∠C，求∠B的度数．
15．如图，直线 AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点C、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD＝　 　；
（2）若∠MNG 的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF 时，求α的度数；
②小安将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，点N、M分别在直线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）．
巩固复习.培优卷 平行线的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等
B．若a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等
D．若a＝b，那么|a|＝|b|
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，判断即可．
【解答】解：A、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，是真命题，符合题意；
B、若a＝b，那么a2＝b2的逆命题是若a2＝b2，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是两个相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意；
D、若a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是若|a|＝|b|，那么a＝b，是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（　　）
A．15° B．85° C．95° D．115°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等，和邻补角关系计算即可．
【解答】解：如图，根据生活意义，得到a，
∴∠3＝∠1＝85°；
∵∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝95°．
故选：C．
【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等，和邻补角关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．如图，把一根铁丝折成图示形状后，AB∥DE，若∠D＝30°，∠DCB＝80°，则∠B等于（　　）
A．60° B．80° C．100° D．130°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三角形外角的性质求出∠E，再由平行线的性质表示出即可得出答案．
【解答】解：∵∠D＝30°，∠DCB＝80°，
∴∠E＝80°﹣30°＝50°．
∵AB∥DE，
∴∠B＝180°﹣∠E＝130°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质．熟练掌握各知识点是解题的关键．
4．如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　）
A．∠1＝180°﹣∠3 B．∠1＝∠3﹣∠2
C．∠2+∠3＝180°﹣∠1 D．∠2+∠3＝180°+∠1
【考点】平行线的性质．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质可得到∠2+∠BDC＝180°，∠BDC+∠1＝∠3，从而可找到∠1、∠2、∠3之间的关系．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠BDC＝180°，即∠BDC＝180°﹣∠2，
∵EF∥CD，
∴∠BDC+∠1＝∠3，即∠BDC＝∠3﹣∠1，
∴180°﹣∠2＝∠3﹣∠1，即∠2+∠3＝180°+∠1，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行 同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补．
5．将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】先根据∠1＝60°，∠FEG＝90°，求得∠3＝30°，再根据平行线的性质，即可得到∠2的度数．
【解答】解：如图，∵∠1＝50°，∠FEG＝90°，
∴∠3＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝40°．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
二．填空题（共5小题）
6．如图，△ABC中，∠B＝40°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 　110　°．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】110．
【分析】根据平行线的性质得到∠BDE＝∠B＝40°，根据折叠的性质得到∠ADE＝∠ADC，根据平角的定义可得∠ADB+∠ADC＝180°，由此可以求出∠ADC的度数即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥AB，∠B＝40°，
∴∠BDE＝40°，
由折叠的性质得∠ADE＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，∠ADB＝∠ADE﹣∠BDE＝∠ADC﹣40°，
∴∠ADC﹣40°+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝110°，
∴∠ADE＝∠ADC＝110°．
故答案为：110．
【点评】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．
7．如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为 　100　°．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】100°．
【分析】过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，根据平行线的性质求解即可；
【解答】解：∵EF⊥MN，
∴∠MFE＝90°，
如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB，
∵AB∥MN，
∴AB∥DG∥EH∥MN，
∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEF，∠HEF＝∠MFE＝90°，∠DEH＝GDE，
∵∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，
∴∠GDE＝∠DEH＝30°，∠CDG＝180°﹣110°＝70°，
∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝100°，
故答案为：100°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
8．把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行”改写成“如果…那么…”的形式：　同一平面内，如果的两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　．
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【分析】首先分清原命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论．
【解答】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式，
是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，
故答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【点评】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
9．如图，直线l1∥l2，将三角板按如图方式放置，直角顶点在l2上，若∠1＝36°，则∠2＝　54°　．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】54°．
【分析】由题意可得∠BAC＝90°，从而可求得∠BAD的度数，再由平行线的性质即可求∠2的度数．
【解答】解：如图，
由题意得：∠BAC＝90°，
∵∠1＝36°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝54°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠BAD＝54°．
故答案为：54°．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
10．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 　同位角相等，两直线平行　．
【考点】命题与定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，即可得出答案．
【解答】解：“两直线平行，同位角相等”的逆定理是；“同位角相等，两直线平行”；
故答案为：“同位角相等，两直线平行”．
【点评】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
三．解答题（共5小题）
11．已知：直线AB∥CD，点P在AB的上方，且∠AEP＝50°，∠PFC＝120°．
（1）如图1，求∠EPF的度数；
（2）如图2，若∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）70°；
（2）35°．
【分析】（1）过点P作PM∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可；
（2）过点G作GM∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE＝∠AEP＝50°，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠PFC＝∠MPF＝120°，
∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°；
（2）如图2所示，
∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，
∴，，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE＝∠AEG＝25°，
∵AB∥CD，
∴GM∥CD，
∴∠GFC＝∠MGF＝60°，
∴∠EGF＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
12．如图，已知F，E分别是射线AB，CD上的点．连接AC，AE平分∠BAC，EF平分∠AED，∠2＝∠3．
（1）试说明AB∥CD；
（2）若∠AFE﹣∠2＝30°，求∠AFE的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）说明过程见解答；
（2）∠AFE的度数为70°．
【分析】（1）利用角平分线的定义可得∠1＝∠2，从而利用等量代换可得∠1＝∠3，然后利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，即可解答；
（2）根据已知可得∠AFE＝∠2+30°，然后利用平行线的性质可得∠AFE＝∠FED＝∠2+30°，从而利用角平分线的定义可得∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°，再利用平角定义可得∠3+∠AED＝180°，最后进行计算可求出∠2＝40°，从而求出∠AFE的度数，即可解答．
【解答】解：（1）∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD；
（2）∵∠AFE﹣∠2＝30°，
∴∠AFE＝∠2+30°，
∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠FED＝∠2+30°，
∵EF平分∠AED，
∴∠AED＝2∠FED＝2∠2+60°，
∵∠3+∠AED＝180°，
∴∠3+2∠2+60°＝180°，
∵∠3＝∠2，
∴∠2＝40°，
∴∠AFE＝∠2+30°＝70°，
∴∠AFE的度数为70°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
13．完成下面推理过程：
如图，已知DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，可推得∠FDE＝∠DEB的理由：
∵DE∥BC（已知）
∴∠ADE＝　∠ABC　（ 　两直线平行，同位角相等　）
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，
∴∠ADF 　∠ADE　（ 　角平分线定义　）
∠ABE 　∠ABC　（ 　角平分线定义　）
∴∠ADF＝∠ABE
∴　DF　∥　BE　（ 　同位角相等，两直线平行　）
∴∠FDE＝∠DEB．（ 　两直线平行，内错角相等　）
【考点】平行线的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据平行线的性质得出∠ADE＝∠ABC，根据角平分线定义得出∠ADF∠ADE，∠ABE∠ABC，推出∠ADF＝∠ABE，根据平行线的判定得出DF∥BE即可．
【解答】解：理由是：∵DE∥BC（已知），
∴∠ADE＝∠ABC（两直线平行，同位角相等），
∵DF、BE分别平分ADE、∠ABC，
∴∠ADF∠ADE（角平分线定义），
∠ABE∠ABC（角平分线定义），
∴∠ADF＝∠ABE，
∴DF∥BE（同位角相等，两直线平行），
∴∠FDE＝∠DEB（两直线平行，内错角相等），
故答案为：∠ABC，两直线平行，同位角相等；∠ADE，角平分线定义；∠ABC，角平分线定义；DF，BE，同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能熟记平行线的性质和判定定理是解此题的关键．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
14．如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠AEG＝∠AGE，∠DCG＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，且∠BFC﹣30°＝2∠C，求∠B的度数．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠DCG，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；
（2）根据对顶角相等结合已知得出∠DGC+∠AHF＝180°，证得BF∥EC，根据平行线的性质和已知得出∠BFC＝130°，最后根据平行线的性质即可求得∠B＝50°．
【解答】（1）证明：∵∠AGE＝∠DGC，
而∠AEG＝∠AGE，∠DCG＝∠DGC，
∴∠AEG＝∠DCG，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠AGE＝∠DGC，
而∠AGE+∠AHF＝180°，
∴∠DGC+∠AHF＝180°，
∴BF∥EC，
∴∠BFC+∠C＝180°，
而∠BFC﹣30°＝2∠C，
∴∠BFC＝2∠C+30°，
∴2∠C+30°+∠C＝180°，
∠C＝50°，
∴∠BFC＝130°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BFC＝180°，
∴∠B＝50°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
15．如图，直线 AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点G，H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点C、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD＝　∠P（或90°）　；
（2）若∠MNG 的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF 时，求α的度数；
②小安将三角板PMN沿直线AB左右移动，保持PM∥EF，点N、M分别在直线AB和直线CD上移动，请直接写出∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【考点】平行线的性质；平行公理及推论．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】（1）∠P（或90°）；（2）①α＝60°；②，∠MON的度数为30°α或60°α．
【分析】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点N在G的右侧时，点N在G的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
【解答】解：（1）过P点作PQ∥AB，
∴∠PNB＝∠NPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD＝∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，
故答案为：∠P（或90°）；
（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，
∴PO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴α＝∠NOM＝60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO∠ANM＝30°α，
∵AB∥CD，
∴∠MON＝∠ANO＝30°α；
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO[180°﹣（60°+α）]＝60°α，
∴∠MON＝60°α，
综上所述，∠MON的度数为30°α或60°α．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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