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巩固复习.培优卷 二次根式的加减
一．选择题（共5小题）
1．下列计算中，结果错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．6
3．下列计算正确的是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．22
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C．2 D．
5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．4 D．6
二．填空题（共5小题）
6．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　 　．
7．化简：　 　．
8．若与最简二次根式可以合并，则m＝　 　．
9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为 　 　．
10．已知，，则　 　．
三．解答题（共5小题）
11．已知，，求下列各式的值．
（1）a+b和ab；
（2）a2+ab+b2．
12．计算：
（1）；
（2）．
13．计算：
（1）；
（2）．
14．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：
因为，所以
再例如：求y的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y
当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较34和2的大小；
（2）求y的最大值和最小值．
15．新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）．
（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，
∴　 　．
根据海伦公式可得：　 　．
（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
巩固复习.培优卷 二次根式的加减
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．下列计算中，结果错误的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题；二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法和乘方法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、523，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、（）2＝2，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2 B． C．4 D．6
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
大正方形的边长为2，小正方形的边长为，
∴图中阴影部分的面积为：（2）＝2，
故选：A．
【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
3．下列计算正确的是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．22
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的加减法对A、D进行判断；利用二次根式的性质对B、C进行判断．
【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误；
B、原式＝2，所以B选项正确；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、2与不能合并，所以D选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C．2 D．
【考点】同类二次根式．
【专题】二次根式；数感．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．
【解答】解：A、与是同类二次根式，故符合题意；
B、与不是同类二次根式，故不符合题意；
C、2与不是同类二次根式，故不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是根据把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式进行解答．
5．如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．4 D．6
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积＝大矩形面积﹣正方形面积，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，大正方形的边长为3，小正方形的边长为，
∴题图中阴影部分的面积为（3）＝4．
故选：C．
【点评】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共5小题）
6．最简二次根式与是同类二次根式，则m＝　7　．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m﹣1＝34﹣3m，
解得：m＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
7．化简：　2　．
【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：∵4＜5，
∴2，
∴原式2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的性质，熟知二次根式具有非负性是解题的关键．
8．若与最简二次根式可以合并，则m＝　2　．
【考点】同类二次根式；最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式的性质得出2，根据同类二次根式的定义得出m+1＝3，再求出m即可．
【解答】解：2，
∵与最简二次根式可以合并，
∴m+1＝3，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程m+1＝3是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则的值为 　﹣a﹣b　．
【考点】二次根式的加减法；实数与数轴；二次根式的性质与化简．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】﹣a﹣b．
【分析】根据绝对值、二次根式的性质即可得答案．
【解答】解：由题意得：，，
∴，
∴
＝﹣a﹣b．
故答案为：﹣a﹣b．
【点评】本题考查了数轴、绝对值、二次根式的性质，能正确根据数轴得出和和化简绝对值是解此题的关键．
10．已知，，则　10　．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x1、x2的值代入，再根据完全平方公式计算可得．
【解答】解：当，时，
原式＝（）2+（）2
＝5﹣25+2
＝10，
故答案为：10．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
三．解答题（共5小题）
11．已知，，求下列各式的值．
（1）a+b和ab；
（2）a2+ab+b2．
【考点】二次根式的化简求值．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）；2；（2）18．
【分析】（1）直接进行二次根式的加法和乘法运算即可；
（2）先利用完全平方公式将a2+ab+b2进行变形，再代入数值计算即可．
【解答】解：（1）a+b2；
ab＝（）（）
＝（）2﹣（）2
＝5﹣3
＝2；
（2）a2+ab+b2
＝（a+b）2﹣ab
＝（2）2﹣2
＝20﹣2
＝18．
【点评】本题考查了二次根式的加法和乘法运算，完全平方公式的变形，掌握二次根式的加法和乘法运算法则，完全平方公式的变形是解题的关键．
12．计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）12；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据平方差公式，完全平方公式以及二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）
＝12；
（2）
．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
13．计算：
（1）；
（2）．
【考点】二次根式的混合运算．
【答案】（1）；
（2）1．
【分析】（1）先根据实数的乘除法则进行计算，再进行实数的加减即可；
（2）先利用完全平方公式计算，然利用平方差计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
＝25﹣24
＝1．
【点评】本题考查的是实数的运算，各种运算律的灵活应用是解决此题的关键；
14．阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：
因为，所以
再例如：求y的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y
当x＝2时，分母有最小值2，所以y的最大值是2
解决下述两题：
（1）比较34和2的大小；
（2）求y的最大值和最小值．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式；二次根式的定义；分母有理化．
【专题】二次根式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用分子有理化得到34，2，然后比较34和2的大小即可得到34与2的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到0≤x≤1，而y，利用当x＝0时，有最大值1，有最大值1得到所以y的最大值；利用当x＝1时，有最小值1，有最下值0得到y的最小值．
【解答】解：（1）34，
2，
而32，4，
∴34＞2，
∴34＜2；
（2）由1﹣x≥0，1+x≥0，x≥0得0≤x≤1，
y，
当x＝0时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以y的最大值为2；
当x＝1时，有最大值，则有最小值1，此时有最下值0，所以y的最小值为1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15．新版北师八年级（上）数学教材P51页第22题指出：设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式；（海伦公式）．（秦九韶公式）．
（1）若一个三角形边长依次为5、6、7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整．
解：∵一个三角形边长依次为5、6、7，即a＝5，b＝6，c＝7，
∴　9　．
根据海伦公式可得：　　．
（2）请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积．
【考点】二次根式的应用．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）9，；
（2）．
【分析】（1）根据实数的运算法则即可求解；
（2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解．
【解答】解：（1），
，
故答案为：9，．
（2）∵，，，
∴a2＝5，b2＝6，c2＝7，
∴
．
【点评】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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