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巩固复习.培优卷 勾股定理
一．选择题（共5小题）
1．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
3．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（　　）
A．15 B．25 C．50 D．无法计算
4．如图．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（　　）
A．166 B．186 C．196 D．256
二．填空题（共5小题）
6．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 　 　．
7．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长　 　．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 　 　．
9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则MN的长是 　 　．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝　 　秒．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形；
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
12．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC分别与AD，AC交于点E，F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若EF＝2，求CF的长．
13．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
14．如图，已知∠AOB＝90°，线段OA＝18m，OB＝6m，C为线段OA上一点，且BC＝AC，求：线段BC的长．
15． 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）．
巩固复习.培优卷 勾股定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）
A．16 B．25 C．144 D．169
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】B
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：
根据勾股定理得出：AB，
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（　　）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
【考点】勾股定理；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】由勾股定理求出AB长，由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长，由线段中点定义求出BE长，即可得到DE＝BE﹣BD＝0.7．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB5，
∵CD⊥AB于点D，
∴△ABC的面积BC CAAB CD，
∴3×4＝5CD，
∴CD＝2.4，
∴BD1.8，
∵E是AB的中点，
∴BEAB＝2.5，
∴DE＝BE﹣BD＝0.7．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由三角形面积公式求出CD长，由勾股定理求出BD长．
3．在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2+AC2+BC2的值为（　　）
A．15 B．25 C．50 D．无法计算
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由直角三角形的性质可得AB2+AC2＝BC2＝25，即可求解．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，斜边BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2＝25，
∴AB2+AC2+BC2＝25+25＝50，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是本题的关键．
4．如图．在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，则DE等于（　　）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【答案】D
【分析】首先连接AD，由△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，然后利用面积法来求DE的长．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BDBC＝5，
∴AD12，
又∵DE⊥AB，
∴BD ADAB ED，
∴ED，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．
5．如图所示，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC，交AC于点M，若CM＝7，则CE2+CF2等于（　　）
A．166 B．186 C．196 D．256
【考点】勾股定理；平行线的性质；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义、平角的定义得到∠ECF＝90°，根据平行线的性质、等腰三角形的判定分别求出EM、FM，再根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCE∠ACB，∠ACF＝∠DCF∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF（∠ACB+∠ACD）＝90°，即∠ECF＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠MEC＝∠BCE，
∴∠ACE＝∠MEC，
∴EM＝CM＝7，
同理可得：FM＝CM＝7，
∴EF＝14，
∴CE2+CF2＝EF2＝142＝196，
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
二．填空题（共5小题）
6．已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是 　13　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】13．
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：根据勾股定理得，斜边长13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
7．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长　14或4　．
【考点】勾股定理．
【专题】分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC＝BD+CD，在钝角三角形中，BC＝BD﹣CD．
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
∴BC的长为DB﹣BC＝9﹣5＝4．
故答案为14或4．
【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC，BC为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值为 　2π　．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】2π．
【分析】根据图形得到，，根据勾股定理可以得出结论．
【解答】解：由题意，得，，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴，
故答案为：2π．
【点评】此题考查勾股定理的应用，观察图形理解各部分图形的面积的关系，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
9．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点N，则MN的长是 　　．
【考点】勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】连接AN，则AN＝AB＝4，在Rt△ACN中，利用勾股定理求出CN即可得出答案．
【解答】解：如图，连接AN，
由题意知：AN＝AB＝4，
在Rt△ACN中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，求出CN的长是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝　5或或4　秒．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】5或或4．
【分析】先根据勾股定理求出BC，再分FA＝FB、AF＝AB、BF＝AB三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，
由勾股定理得：，
当FA＝FB时，DF⊥AB，
∴，
∴t＝10÷2＝5；
当AF＝AB＝20时，∠ACB＝90°，
则BF＝2BC＝24，
∴，即，
解得：，
由勾股定理得：，
∴；
当BF＝AB＝20时，
∵BF＝20，BC＝12，
∴CF＝BF﹣BC＝8，
由勾股定理得：，
∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，
∴DF＝AC＝16，
∴，
∴t＝8÷2＝4；
综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为5或或4，
故答案为：5或或4．
【点评】本题考查的是勾股定理、三角形的面积计算、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点M．
（1）求证：△CDM是等腰三角形；
（2）若AB＝10，AC＝8，求CM的长度．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）3．
【分析】（1）根据题意和图形，可以求得∠CDM＝∠CMD，然后即可证明结论成立；
（2）根据勾股定理可以求得BC的长，再根据等面积法和等腰三角形的性质，即可求得CM的长．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，∠ABD+∠BME＝90°，
∵∠BME＝∠CMD，
∴∠ABD+∠CMD＝90°，
∴∠CDB＝∠CMD，
∴CM＝CD，
∴△CDM是等腰三角形；
（2）解：作DF⊥AB于点F，如图所示，
∵∠DCB＝90°，BD平分∠ABC，
∴DC＝DF，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC6，
∵S△ABC＝S△BCD+S△ADB，
∴，
即，
解得CD＝DF＝3，
由（1）知：CM＝CD，
∴CM＝3，
即CM的长度为3．
【点评】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
12．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC分别与AD，AC交于点E，F．
（1）求证：△AEF是等边三角形；
（2）若EF＝2，求CF的长．
【考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）见解析；（2）4．
【分析】（1）由∠BAC＝90°，∠C＝30°可得∠ABC＝60°，根据BF平分∠ABC得∠CBF＝∠ABF＝30°，根据∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°，得∠AFE＝∠AEF＝60°，即可得△AEF是等边三角形；
（2）可得∠BAE＝∠ABF＝30°，则AE＝BE，由（1）知△AEF是等边三角形，得AE＝EF，由此可得CF的长．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF＝30°，
∴BF＝CF，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEF＝∠BED＝90°﹣∠CBF＝60°，
∵∠AFB＝90°﹣∠ABF＝60°，
∴∠AFE＝∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
（2）解：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAE＝∠ABF＝30°，
∴AE＝BE，
由（1）知△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝2，
∴BE＝EF＝2，
∴BF＝2EF＝4，
由（1）知，CF＝BF＝4．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
13．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
【考点】勾股定理的应用；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】E站应建在离A站10km处．
【分析】根据土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．
【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等，
∴DE＝CE．
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）．
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km．
答：E站应建在离A站10km处．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，利用AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2得出是解决问题的关键．
14．如图，已知∠AOB＝90°，线段OA＝18m，OB＝6m，C为线段OA上一点，且BC＝AC，求：线段BC的长．
【考点】勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】BC＝10m．
【分析】设BC＝x m，可得OC＝（18﹣x）m，在Rt△OBC中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：设BC＝x m，
∵BC＝AC，
∴OC＝OA﹣CA＝OA﹣BC＝（18﹣x）m，
在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，即62+（18﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BC＝10m．
【点评】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．
15． 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题：
（1）如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理c2＝a2+b2．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度；
（3）如图1，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求（a+b）2的值（a＜b）．
【考点】勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）25．
【分析】（1）根据大正方形的面积的两种表示方法求解即可；
（2）根据直角三角形的面积公式求解即可；
（3）根据小正方形的为1得出2ab＝12，再结合c2＝13即可求解．
【解答】解：（1）如图1，大正方形的面积＝c2＝4，
整理得，c2＝a2+b2；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB5，
∵，
∴CD；
（3）∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，
∴c2＝13，（b﹣a）2＝1，
∴a2+b2﹣2ab＝1，
∴2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，
即（a+b）2的值为25．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出大正方形的面积的两种表示方法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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