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巩固复习.培优卷 解直角三角形及其应用
一．选择题（共5小题）
1．小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（　　）
A．m B．150m C．m D．100m
2．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为（　　）m．
A．3 B．5 C．2 D．4
3．如图，在△ABC中，AC＝2，∠B＝45°，∠C＝30°，则BC的长度为（　　）
A． B．2 C．1 D．3
4．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　）
A．千米 B．千米
C．千米 D．5千米
5．电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（　　）
A． B． C．5 cos52° D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，某河堤迎水坡AB的坡比，河堤高BC＝3m，则河堤的坡面AB的长为 　 　m．
7．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝　 　海里．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosA，AC＝2，那么AB的长为 　 　．
9．如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，则木箱升高了 　 　米．
10．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AC＝AD＝3BD，∠DCB＝∠A，那么cos∠ACD的值是 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，某兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上，求A，B两点间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
12．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝72°．
（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，tan72°≈3.078，1.732）
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinB．求AC的长及∠A的正切值．
14．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
15．我省某通信公司准备逐步在浮山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米．
（1）求点D到水平地面CQ的距离．
（2）求通讯塔AB的高度．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
巩固复习.培优卷 解直角三角形及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．小明沿着坡比为的山坡向上走了300m，则他升高了（　　）
A．m B．150m C．m D．100m
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】B
【分析】首先根据题意画出图形，由坡度为1：，可求得坡角∠A＝30°，又由小明沿着坡度为1：的山坡向上走了300m，根据直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，即可求得答案．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，
∵坡度：i＝1：，
∴tan∠A＝1：，
∴∠A＝30°，
∵AB＝300m，
∴BEAB＝150（m）．
∴他升高了150m．
故选：B．
【点评】此题考查了坡度坡角问题，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
2．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m，则高BC为（　　）m．
A．3 B．5 C．2 D．4
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意可得：在Rt△ABC中，，从而可得BCAC，进行计算即可解答．
【解答】解：∵滑坡AB的坡度是1：3，
∴在Rt△ABC中，，AC＝6m，
∴BCAC＝2（m），
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，AC＝2，∠B＝45°，∠C＝30°，则BC的长度为（　　）
A． B．2 C．1 D．3
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】过A作AD⊥BC于D，在Rt△ADC与Rt△ADB中结合30°角所对的直角边等于斜边的一半及等腰直角三角形的性质求出CD、BD即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°
在Rt△ADC中，∠C＝30°，AC＝2，
∴ADAC＝1，
∴CD，
在Rt△ADB中，∠B＝45°，AD＝1，
∴BD＝AD＝1，
∴BC＝BD+CD＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形、30°角所对的直角边等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握“30°角所对的直角边等于斜边的一半”．
4．现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　　）
A．千米 B．千米
C．千米 D．5千米
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】图所示，过点B作BD⊥AC于D，由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，利用三角形内角和定理求出∠C＝45°，再求出∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，得到千米，CD＝BD，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出BC的长．
【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC于D，
由题意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，
∴（千米），CD＝BD，
∴（千米），
∴（千米），
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的计算，方位角的表示，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
5．电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（　　）
A． B． C．5 cos52° D．
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cos52°，进而得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝52°，BC＝5，
∴cos52°，
∴AC
故选：B．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．如图，某河堤迎水坡AB的坡比，河堤高BC＝3m，则河堤的坡面AB的长为 　　m．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵BC＝3m，坡AB的坡比，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，
7．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝　7　海里．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PBD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解．
【解答】解：过P作PD⊥AB于点D．
∵∠PBD＝90°﹣60°＝30°
且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15°
∴∠PAB＝∠APB
∴BP＝AB＝7（海里）
故答案为：7．
【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果cosA，AC＝2，那么AB的长为 　6　．
【考点】解直角三角形．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】6．
【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴cosA，
∵AC＝2，
∴AB＝3AC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握余弦函数的定义cosA＝∠A的邻边与斜边的比是解题的关键．
9．如图，在一坡度的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了10米，则木箱升高了 　5　米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】5．
【分析】根据坡度的概念、特殊角的三角函数值求出∠B，根据含30°角的直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：∵斜坡AB的坡度为1：，
∴tanB，
∴∠B＝30°，
∴ACAB10＝5（米），
∴木箱升高了5米，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
10．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AC＝AD＝3BD，∠DCB＝∠A，那么cos∠ACD的值是 　　．
【考点】解直角三角形；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观．
【答案】．
【分析】过A作AH⊥CD于H，设BD＝m，可得AC＝AD＝3m，AB＝4m，由△DCB∽△CAB，得，故BC＝2m，CDm，从而CHCDm，可得cos∠ACH，即cos∠ACD．
【解答】解：过A作AH⊥CD于H，如图：
设BD＝m，
∵AC＝AD＝3BD，
∴AC＝AD＝3m，AB＝4m，
∵∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴△DCB∽△CAB，
∴，
即，
解得BC＝2m，CDm，
∵AC＝AD，AH⊥CD，
∴CHCDm，
在Rt△ACH中，cos∠ACH，
∴cos∠ACD；
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形和相似三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和掌握三角函数的定义，相似三角形的判定代入．
三．解答题（共5小题）
11．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，某兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上，求A，B两点间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】A，B两点间的距离约为96米．
【分析】根据题意可得：∠ECD＝∠ADC＝90°，∠ECA＝37°，∠ADB＝53°，从而可得∠ACD＝53°，∠BDC＝37°，再利用三角形内角和定理可得∠DBC＝90°，从而可得∠ABD＝90°，进而可得∠A＝37°，然后在Rt△CBD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：∠ECD＝∠ADC＝90°，∠ECA＝37°，∠ADB＝53°，
∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ECA＝53°，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝37°，
∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠ACD＝90°，
∴∠ABD＝180°﹣∠CBD＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ADB＝37°，
在Rt△CBD中，CD＝90米，
∴BD＝CD cos37°≈90×0.8＝72（米），
在Rt△ABD中，∠A＝37°，
∴AB96（米），
∴A，B两点间的距离约为96米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度AB＝200cm，遮阳棚前端自然下垂边的长度BC＝25cm，遮阳棚固定点A距离地面高度AD＝296.8cm，遮阳棚与墙面的夹角∠BAD＝72°．
（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角∠CFG＝60°，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长（结果精确到1cm）．（参考数据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309，tan72°≈3.078，1.732）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm
（2）遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm
【分析】（1）作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，根据列式计算即可；
（2）作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，可得四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，解直角三角形Rt△ABE求出AE，可得CK＝DH＝210cm，然后在Rt△CFK中，解直角三角形求出FK，进而可得DF的长．
【解答】解：（1）如图，作BE⊥AD于E，
∵AB＝200cm，∠BAD＝72°．
∴在Rt△ABE中，，即，
∴BE＝sin72°×200≈0.951×200＝190.2（cm），
答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm；
（2）解：如图3，作BE⊥AD于E，CH⊥AD于H，延长BC交DG于K，则BK⊥DG，
∴四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，
由（1）得BE＝190.2cm，
∴DK＝HC＝BE＝190.2（cm），
在Rt△ABE中，，即，
∴AE＝cos72°×200≈0.309×200＝61.89（cm），
由题意得：EH＝BC＝25cm，
∴DH＝AD﹣AE﹣EH＝296.8﹣61.8﹣25＝210（cm），
∴CK＝DH＝210cm，
在Rt△CFK中，，即，
∴，
∴DF＝DK﹣FK＝190.2﹣121.25≈69（cm），
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，sinB．求AC的长及∠A的正切值．
【考点】解直角三角形．
【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】AC＝5，tanA．
【分析】先利用直角三角形的边角间关系求出AC，再利用勾股定理求出BC，最后利用直角三角形的边角间关系求出∠A的正切值．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵sinB，AB＝13，
∴AC＝5．
∴BC
＝12．
∴tanA．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及勾股定理是解决本题的关键．
14．如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面30m的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为30°，无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°，又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离AB为60m，点A，B，C，D都在同一平面上．
（1）求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度（结果保留根号）；
（2）求教学楼BC的高度（结果取整数）（参考数据：1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m；
（2）教学楼BC的高度约为24m．
【分析】（1）在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AE的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，根据题意可得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，从而可得∠DCF＝∠CDG＝37°，然后在Rt△DCF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ADE中，∠A＝30°，DE＝30m，
∴AEDE＝30（m），
∵AB＝60m，
∴BE＝AB﹣AE＝（60﹣30）m，
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE的长度为（60﹣30）m；
（2）过点C作CF⊥DE，垂足为F，
由题意得：CF＝BE＝（60﹣30）m，BC＝EF，CF∥DG，
∴∠DCF＝∠CDG＝37°，
在Rt△DCF中，DF＝CF tan37°≈（60﹣30）×0.75＝（45﹣22.5）m，
∴EF＝DE﹣DF＝30﹣（45﹣22.5）＝22.515≈24（m），
∴BC＝EF＝24m，
∴教学楼BC的高度约为24m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．我省某通信公司准备逐步在浮山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米．
（1）求点D到水平地面CQ的距离．
（2）求通讯塔AB的高度．（参考数据：sin53°，cos53°，tan53°）
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】（1）点D到水平地面CQ的距离为10米；
（2）通讯塔AB的高度约为38.5米．
【分析】（1）过点D作DF⊥CQ，垂足为F，根据已知可得，从而设DF＝5x米，则CF＝12x米，然后在Rt△CDF中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）延长AB交CQ于点E，过点D作DH⊥AE，垂足为H，根据题意得：DF＝HE＝10米，设DH＝FE＝y米，则CE＝（24+y）米，然后在Rt△ADH中，利用锐角三角函数的定义可得AH的长，从而可求出AE＝（y+10）米，再在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义可得AE＝CE，从而列出关于x的方程，进行计算可求出DH，AH的长，最后再根据斜坡CB的坡度求出BH的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DF⊥CQ，垂足为F，
∵斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴，
∴设DF＝5x米，则CF＝12x米，
在Rt△CDF中，CD＝26米，
∴CD2＝CF2+DF2，
∴262＝（5x）2+（12x）2，
解得：x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴CF＝12x＝24（米），DF＝5x＝10（米），
∴点D到水平地面CQ的距离为10米；
（2）延长AB交CQ于点E，过点D作DH⊥AE，垂足为H，
由题意得：DF＝HE＝10米，DH＝FE，
设DH＝FE＝y米，
∵CF＝24米，
∴CE＝CF+EF＝（24+y）米，
在Rt△ADH中，∠ADH＝53°，
∴AH＝DH tan53°y（米），
∴AE＝AH+HE＝（y+10）米，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴tan45°1，
∴AE＝CE，
∴y+10＝24+y，
解得：y＝42，
∴DH＝FE＝42米，AHy＝56（米），
∵斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴，
∴BH＝17.5米，
∴AB＝AH﹣BH＝56﹣17.5＝38.5（米），
∴通讯塔AB的高度约为38.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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