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2024-2025 学年福建省部分学校教学联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3}， = { | + 1 ∈ }，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. {0,3} D. {3}
2.已知函数 (2 1)的定义域为(1,2)，则函数 (1 )的定义域为( )
A. ( 12 , 1) B. ( 1,
1
2 ) C. ( 2,4) D. ( 2,0)
3.若 ， ， ∈ ，则下列命题正确的是( )
A.若 > ，则 2 > 2 B.若 2 > 2，则 <
C.若 < < < 0 < + ，则 2 2 + D.若 > ，则 >
4.已知离散型随机变量 的分布列如右表，若 (12 + 2) = 9，则 ( ) =( )
1 0 2
1 1 1
6 4 4
A. 11 B. 13 C. 49 D. 15512 12 144 144
5.设 ( )是定义在 上的奇函数， ( ) = (2 )， (3) = 2，则2025 =1 ( ) =( )
A. 0 B. 1012 C. 2 D. 1010
6.2025 年高考结束后，某校高三年级一宿舍的 6 位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设 6 位同学站成一
排，舍长与副舍长必须站中间，其他两位 1 班同学彼此不相邻，两位 2 班同学彼此不相邻，则不同的站法
共有( )
A. 16 种 B. 32 种 C. 48 种 D. 64 种
7 1.已知函数 ( ) = 33 + 1，则( )
A. ( )有三个极值点 B.点(0,1)是曲线 = ( )的对称中心
C. ( )有三个零点 D.直线 = 2 是曲线 = ( )的切线
8.已知 2 + 9 2 = 12 +2， ， > 0，则 +1 3 的最小值为( )
A. 6 B. 2 C. 1 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.若( + 2)(2 1)5 = 0 + 1 + 22 + 3 4 53 + 4 + 5 + 6 6，则( )
A. 0 = 2
B. 1 + 3 + 5 = 123
C. 0 + 2 + 4 + 6 = 120
D. 1 + 2 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 = 31

10 1 3.若 ， 是一次随机试验中的两个事件， ( ) = 3， ( ) = 4，2 ( + ) = 5 ( )，则下列结论正确的
有( )

A. 1与 相互独立 B. ( ) = 12
C. ( | ) = 12 D. ( |( + )) =
3
5
11.设有限集合 = { 1, 2, 3, …, }，其中 ≥ 4， ∈ ，若存在非空集合 ，使得 中所有元素之
和与 中所有元素之和相等，则称集合 是“可拆等和集”，则( )
A.若集合 = { 1,2,5, }是“可拆等和集”，则 的取值共有 6 个
B.若集合 中元素满足 1 = 1， = 2， ∈ 2 ， +2 = +1 + ，则存在 使得 是“可拆等和集”
C.存在公比为正整数，且公比不为 1 的等比数列{ }，使得集合 是“可拆等和集”
D.若 = 4 + 3， ∈ ，数列{ }是等差数列且公差 = 1，则集合 是“可拆等和集”
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若不等式 2 + 1 > 0 对 ∈ 恒成立，则实数 的取值范围是______．
13.为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精含量大于或等于 20 /100 ，小于 80 /
100 的驾驶行为为酒后驾车，80 /100 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其
血液中的酒精含量上升到了 100 /100 .如果停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减
少，那么他至少经过______个小时才能驾驶汽车. (参考数据： 5 ≈ 0.7， 7 ≈ 0.85)
14.若对任意 > 0，恒有 ( + 1) ≥ 2( + 1 ) ，则实数 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，且满足 = 2 2( ∈ )．
(1)求{ }的通项公式；
(2)在等差数列{ }中， 1 = 1 1， 4 = 2，求数列{ }的前 项和 ．
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16.(本小题 15 分)
已知奇函数 ( )的定义域为 ，当 ≤ 0 时， ( ) = 3 1．
(1)求 ( )的解析式；
(2)证明： ( )在[0, + ∞)上单调递减；
(3)若对任意的 ∈ ，不等式 ( 3 2) + (2 2 4 3) ≥ 0 恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取 80 名学生.通过测试得到了如下表数
据：
数学成绩
学校 合计
不优秀 优秀
甲校 30 10 40
乙校 20 20 40
合计 50 30 80
(1)依据小概率值 = 0.01 的 2独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中
所有数据都扩大为原来的 10 倍.在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，
结论还一样吗？请试用计算说明；
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(2)据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为 30%，将频率视为概率，现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例
分别抽取了 24 人，30 人，30 人进行调查访谈.从这 84 人中任意抽取一名学生，求抽到数学成绩优秀学生
的概率．
18.(本小题 17 分)
蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数 (单位：个)和平均温度 (单位：℃)有关，根据以往
在某地收集到的 7 组数据作出散点图，发现两个变量并不呈现线性相关关系，现分别用模型① = 21 + 2
与模型② = 3 + 4作为平均产卵数 和平均温度 的回归方程来建立两个变量之间的关系．
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平均温度 /℃ 21 23 25 27 29 32 35
平均产卵数 /个 5 9 22 25 65 118 324
= 2 441 529 625 729 841 1024 1225
= 1.61 2.20 3.09 3.22 4.17 4.77 5.78


27.43 773.43 81.14 3.55
7 =1 ( )( )
7
=1 ( )(
7
) =1 ( )( )
7
=1 ( )( )

7 =1 ( )2 7 =1 ( )2
7 2 7
=1 ( ) =1 ( )2
20.03 0.37 0.29 0.0052
1
其中 = 2 , = 7
7
=1 , = , =
177 =1 ．

(1)根据表中数据，经计算得出模型① = 0.37 2 205.03，请建立模型②下 关于 的回归方程；并在两个
模型下分别估计温度为 30℃时的产卵数. ( 3, 4与估计值均精确到小数点后两位)(参考数据： 4.25 ≈ 70.11，
4.30 ≈ 73.70， 4.35 ≈ 77.48)
(2)模型①，②的决定系数分别为 21 = 0.8124, 22 = 0.988，请根据决定系数判断哪个模型的拟合效果更好．
(3)根据以往统计，该地每年平均温度达到 30℃以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他
情况均不需要人工防治.设该地每年平均温度达到 30℃以上的概率为 (0 < < 1)，该地今后 ( ≥ 3, ∈
)年恰好需要 2 次人工防治的概率为 ( )．
①求 ( )取得最大值时对应的概率 0；
②当 ( )取最大值时，设该地今后 5 年需要人工防治的次数为 ，求 的均值和方差．

附：对于一组数据( 1, 1)，( 2, 2)，…，( , )，其回归直线 = + 的斜率和截距的最小二乘估计分

=1 ( )(= )

别为： , = ． =1 ( )2
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( 1 ) ，其中 > 0．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 ( )在定义域内有三个零点 ， ， ( < < )．
( )求实数 的取值范围；
( ) 求证： + > 3 ．
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参考参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{ |0 ≤ < 45 }
13.4.7
14.2
15.解：(1)当 = 1 时， 1 = 2 1 2，解得 1 = 2，
当 ≥ 2 时， 1 = 2 1 2( ∈ )，
两式相减得 = 2 2 1，即 = 2 1，
所以 1 = 2 2 = 2 ；
(2)由(1)知， 1 = 1 1 = 1， 4 = 2 = 4，则 3 = 4 1 = 4 1 = 3，解得 = 1，
所以 = 1 + 1 = ， = 2 ，
故 = 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + + 2 ，
所以 2 2 3 4 +1 = 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + + 2 ，
2 2 +1
两式相减得 = 2 + 22 + 23 + + 2 2 +1 = +1 +11 2 2 = (1 )2 2，
所以 = ( 1)2 +1 + 2．
16. 3 解：(1)奇函数 ( )的定义域为 ，当 ≤ 0 时， ( ) = 1，
当 > 0 时， < 0，
( ) = 3 3 则 1 = +1 = ( )，
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( ) = 3 所以 +1，
3 , ≤ 0
则 ( ) = 1
3
；
+1 , > 0
(2)证明：任取 1 > 2 ≥ 0，
3 3
因为 > 0 时， ( ) = +1 = 3+ +1，
则 ( 3 3 3( 2 1)1) ( 2) = 1+ 1 1+
=
2 (1+ 2)(1+ )
< 0，
1
所以 ( 1) < ( 2)，
所以 ( )在[0, + ∞)上单调递减；
(3)因为 ( )是定义域为 的奇函数，以及在[0, + ∞)上单调递减，
所以 ( )在 上单调递减，
若对任意的 ∈ ，不等式 ( 3 2) + (2 2 4 3) ≥ 0 恒成立，
则 (2 2 4 3) ≥ ( 3 2) = (3 2 )恒成立，
所以 2 2 4 3 ≤ 3 2 恒成立，
所以 ≤ 2 + 4 + 3 恒成立，
根据二次函数的性质可知，当 = 2 时， 2 + 4 + 3 取得最小值 1，
所以 ≤ 1，
故实数 的取值范围为{ | ≤ 1}．
17.(1)零假设 0：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，
2
由列联表中数据得 2 = 80(30×20 10×20)40×40×30×50 ≈ 5.33 < 6.635 = 0.01，
依据小概率值 = 0.01 的独立性检验，没有充分的理由推断 0不成立，
因此认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异．
所有数据都扩大为原来的 10 倍后：
2 = 800(300×200 100×200)
2
400×400×300×500 ≈ 53.3 > 6.635．
这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系，
所以相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样．
(2)记 1， 2， 3分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，
为事件“抽到一名优秀学生”，
24
则 ( 1) = 24+30+30 =
2
7 , ( 2) = ( 3) =
30 5
24+30+30 = 14，
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( | 1) =
10 1 20 1 3
40 = 4 , ( | 2) = 40 = 2 , ( | 3) = 10，
所以抽到数学成绩优秀学生的概率：
( ) = ( | 1) ( 1) + ( | 2) ( 2) + ( | 3) ( 3)
= 1 2 1 5 3 5 54 × 7 + 2 × 14 + 10 × 14 = 14．
18.解：(1)令 = ，则 = = ln 3 + 4 = 3 + 4，
所以 与 呈线性相关关系，
7 (

)( )
由题 = 27.43， = 3.55 ， =1 7 2 = 0.29， =1 ( )


7
=1 (

)( 所以 =
)
3 7
2 = 0.29，
=1 ( )
故 4 = 3 = 3.55 0.29 × 27.43 = 4.4047 ≈ 4.40，

所以 = 0.29 4.40，

故 = = 0.29 4.40，

所以模型②下 关于 的回归方程为 = 0.29 4.40；
当 = 30 时，经模型①计算估计产卵数为 = 0.37 × 3021 205.03 = 127.97，
经模型②计算估计产卵数为 = 0.29×30 4.40 4.32 = ≈ 73.70；
(2)因为模型①，②的决定系数分别为 21 = 0.8124， 22 = 0.988，
故 2 < 21 2，
所以模型②的拟合效果更好；
(3)①由题 ( ) = 2 2 (1 ) 2(0 < < 1, ≥ 3, ∈ )，
所以 ′( ) = 2 2 (1 ) 2 ( 2) 2 2 3 (1 )
= 2 (1 ) 3[2(1 ) ( 2) ] = 2 (1 ) 3 (2 )，
令 ′( ) = 0，
= 2得 ，
2
所以当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0；
∈ [ 2当 , 1)时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0, 2 )
2
上单调递增，在[ , 1)上单调递减，
2
所以 ( )取得最大值时对应的概率 = ( ≥ 3, ∈ 0 )；
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2
②由①知，当 = 0 ( ≥ 3, ∈ )时， ( )取最大值，
所以当 = 5 时， 20 = 5，
2 2
则由题意可知每年需要人工防治的概率为 = 5，且 ～ (5, 5 )，
所以 ( ) = = 5 × 25 = 2，
( ) = (1 ) = 5 × 25 × (1
2
5 ) =
6
5．
19.(1) ( )的定义域为(0, + ∞)，
2
′( ) = (1 + 1 2 )
1 = + 2 ，
当 ≥ 12时， = 1 4
2 ≤ 0，所以 2 + ≥ 0 恒成立，
所以 ( )在(0, + ∞)单调递增；
当 0 < < 1时， = 1 4 2 > 0 ( ) = 0 = 1 1 4
2 1+ 1 4 2
2 ，所以 ′ 的两根为 1 2 , 2 = 2 ，
+ = 1且 1 2 > 0, 1 2 = 1 > 0，所以 0 < 1 < 2，
所以， ∈ ( 1, 2)时， ′( ) < 0， ∈ (0, 1)或( 2, + ∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在( 1, 2)上单调递减，在(0, 1)和( 2, + ∞)单调递增，
0 < < 1 ( ) ( 1 1 4
2
, 1+ 1 4
2 1 1 4 2 1+ 1 4 2
综上：当 2时， 在 2 2 )单调递减，在(0, 2 )和( 2 , + ∞)单
调递增，
当 ≥ 12时， ( )在(0, + ∞)单调递增；
(2)( ) (1) 1由 可知当 ≥ 2时， ( )在(0, + ∞)单调，
不可能有三个零点；
2 2
当 0 < < 1 1 1 4 1+ 1 4 2时， ′( ) = 0 的两根为 1 = 2 , 2 = 2 ，
且 1 +
1
2 = > 0, 1 2 = 1 > 0，所以 0 < 1 < 1 < 2，且 (1) = 0，
因为 ( )在( 1, 2)上单调递减，所以 ( 1) > (1) = 0 > ( 2)，
2
因为 0 < < 1 1 1+ 1 4 2，所以 3 > 2 = 2, (
1 1
3 ) = 2
4 + 3 ，
1 2 6
设 ( ) = 4 2 + 3 , ( ) =
2 4 3 + 3 = (3 2) 4 ′ 3 3 < 0, ( )在(0,
1
2 )上递减，
( ) > ( 12 ) = (4
1
16 ) 3 2 > 3 3 2 > 0
1 1
，即 ( 3 ) > 0，所以 ∈ ( 2, 3 )使 ( ) = 0，
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因为 ( 1 1 1 1 ) = ( ) ln = ( ) + = [ (
1
) ] = ( )，
1
又因为 3 > 2 0 <
3 < 1 =
1
1，所以 ( 3) = (
2 3
) < 0，
所以 ∈ ( 3, 1)使 ( ) = 0，
则 ( ) 1有三个零点 ， ， 时， 的取值范围为(0, 2 )；
证明：( )由( )可知， ( )的三个零点： ∈ (0,1)， = 1， ∈ (1, + ∞)，
因为 ( 1 ) = ( )，且 ( ) = ( ) = 0，所以 = 1，
又因为 0 < < 12
1
> 2
2
，所以 + > + 2 = + ，
因为 ∈ (0,1)，所以函数 ( ) = + 2 单调递减， ( ) > (1) = 3，

所以 + > + 2 = +
2
> 3 = 3 得证．
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