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2024-2025学年吉林省长春市农安十中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，命题：，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
3.“”是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
5.天内某校当天新增感冒人数与每日温差单位：的数据如表：
由于保存不善，有个数据模糊不清，用代替，已知关于的经验回归方程为，则( )
A. B. C. D.
6.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量单位：焦耳与地震里氏震级之间的关系为，则对于的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
7.如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字到、正四面体骰子四个面分别标以数字到，正八面体骰子八个面分别标以数字到现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为，若为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为根据以上规定，的概率为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 是增函数 B. 有且仅有个零点
C. 的图象关于原点对称 D. 既有极大值又有极小值
10.已知随机变量的分布列为：
下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.某比赛共进行局，每局比赛没有平局，局比赛结束后赢得局以上的一方获胜甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则当时，最大
C. 若，则当时，最小 D. 若，则当时，最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量服从正态分布，若，则______．
13.函数在上的值域为______．
14.若要用铁皮制作一个容积为的无盖圆锥形容器，则所需铁皮的面积取最小值时，该圆锥形容器的高为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某高校为了了解大学生对篮球运动的喜好是否与性别有关联，随机在该校调查了名大学生，得到的数据如表所示：
性别 篮球运动 合计
喜欢 不喜欢
男
女
合计
求该校喜欢篮球运动的大学生中性别为男的频率；
根据小概率值的独立性检验，能否认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联？
附：．
16.本小题分
名数学小组成员包括甲、乙和名语文小组成员站成两排拍照，第一排站人，第二排站人．
若数学小组成员站在第一排，求不同的排法种数；
若数学小组成员站在第二排，求不同的排法种数；
若甲、乙均站在第二排且不相邻，求不同的排法种数．
17.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，求的单调区间；
当时，若的最大值为，求的值．
18.本小题分
某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券例如：消费元，则赠送元的代金券；方案二，消费每满元可进行一次抽奖例如：消费元可进行三次抽奖，每次抽奖抽到元代金券的概率为，抽到元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响每人只能选择一种方案．
若甲的消费金额为元，他选择方案二且抽到的代金券总额为元的概率为，求；
若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求；
若，请你根据顾客消费金额消费金额大于的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案．
19.本小题分
已知函数．
若对恒成立，求的取值集合．
设，，，，，，，证明：
；
，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由列联表数据可知，该校喜欢篮球运动的大学生中性别为男的频率；
零假设：该校大学生是否喜欢篮球运动与性别无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为该校大学生是否喜欢篮球运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不超过．
16.若数学小组成员站在第一排，
则不同的排法种数为种；
若数学小组成员站在第二排，
则不同的排法种数为种；
若甲、乙均站在第二排且不相邻，
则不同的排法种数为种．
17.当时，，
而，则切点为，可得，
由斜率的几何意义得斜率为，故切线方程为．
因为，
所以，
故，
令，则，
因为，所以，，
可得，令，，．
令，，，
故的单调递增区间是，，
单调递减区间是，．
令，则可化为，
而，由题意得，故，
令，解得，下面我们讨论和的大小关系，
当时，解得，此时在上单调递减，
此时的最大值为，
令，则，
此时，故恒成立，则在上单调递增，
则，可得的最大值不可能为，故排除，
当时，解得，令，
令，，故在上单调递增，在上单调递减，
则的最大值为，
得到，解得．
18.甲的消费金额为元，他选择方案二，抽奖次，
抽到的代金券总额为元的概率为，解得；
设抽奖次数为，抽到元代金券的次数为，则，
得，，
因为，
所以，，
，
所以时，取得最大值，所以；
当消费金额单位：元在时，不能参与方案二，只能选择方案一；
当消费金额单位：元在时，设消费金额为，
当时，由得，方案二的代金券总额的数学期望，
方案一的代金券总额为，此时，
当消费金额单位：元为时，选择方案一、方案二都可以，
当消费金额单位：元在，且不为时，选择方案一．
所以当消费金额单位：元大于，且不为时，选择方案一；
当消费金额单位：元为时，选择方案一、方案二都可以．
19.由题，
令，此时，
令，
则，，
则在上递增，在上递减，，
又，，则，，
从而在上递增，在上递减，则，满足题意；
下面说明不满足题意；
若，则，从而在上单调递减，则当时，不满足题意，则．
令，，
则，对于方程，
判别式为，设方程两根为，，
则，，
若，因，则，
则当时，，即在上单调递增．
又，则存在，
使，则，，
则在上单调递增，则不满足题意，则．
当，时，，．
则在上递增，在上递减，
，
对于方程，由求根公式，若，则．
注意到，，，
则存在，使，其中，，
则；，从而在上递减，
则当时，，不满足题意；
当，类似于以上分析，，
因，结合，，在上递增，
则存在，使．
则；，从而在上递增，
则当，，不满足题意．
综上可得的取值集合为；
证明：由有，其中．
又，，，，，，，，
则；
类似于，设，
设，
注意到，令，
下证：，当时，．
令，
．
令，
则，
对于方程，
判别式为：．
则方程总有两相异实根，设方程两根为，，由韦达定理：
，．
若，则，
则当，，则在上递增，
又，则，，
从而此时在上递增，在上递减，从而；
若，则，注意到，
，则，从而，，，
从而在上递增，在上递减，
注意到，．
则，，
从而此时在上递增，在上递减，从而；
综上，对，时，．
则，
从而．
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