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2024-2025学年山东省日照市校际联考高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设等差数列的前项和为，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
4.已知命题：，命题：，则命题是命题的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
6.若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知实数，满足，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.定义在的增函数满足：，且，
已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知，则( )
A. 是的极大值点 B. 在上单调递增
C. 的所有零点之和为 D. 直线是的切线
11.已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论正确的是( )
A. 若，则数列具有性质
B. 若数列的前项和，则数列具有性质
C. 若数列具有性质，则常数
D. 若数列具有性质，则为等差数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.已知等比数列为递增数列，且，的等差中项为，则公比为______．
14.定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，集合，其中．
当时，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知等差数列前项和为，数列是等比数列，，，，．
求数列和的通项公式；
若，设数列的前项和为，求．
17.本小题分
已知函数．
当为奇数时，证明：的图像关于点对称；
设．
当时，求的极值；
当时，，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，记，且，．
求，；
设，．
证明：；
求．
19.本小题分
已知函数．
当时，求在点处的切线方程；
若有个零点，，，且．
求实数的取值范围；
比较与的大小，并证明你的结论．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.全集，
集合，
集合，其中，
当时，，
解得，，
；
由知，
由，
得，
，
“”是“”的必要不充分条件，为的真子集．
或，解得，
即实数的取值范围为．
16.设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，可得，
解得，，
则，；
由得，，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
则
．
17.证明：由题意，，
当为奇数时，，
故，
所以的图像关于点对称．
解：当时，，定义域为，
，
令，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值．
，，
则，
令，得，即，
当时，显然有，符合题意；
当时，当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以为最小值点，不合题意；
当时，当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
所以为最大值点，，符合题意．
综上，实数的取值范围为．
18.，
．
证明：因为，因此，
又，因此，；
由可知，，因此，
因此为首项，公比为的等比数列，因此，
又因为，因此，因此，
因为，，
因此
，
因为，因此；
(ⅱ)因为，
因此，
因此是以为首项和公差的等差数列，
，因此．
令，则，
，
两式相减可得
，
．
19.由题意函数，
可得当时，，，
则，即，
切线的斜率为，
又，切点为，
故在点处的切线方程为，即；
函数，则，
当时，，
在单调递增，此时有个零点，不满足题意，舍掉．
当时，令，即，解得或，
令，得；令，得或，
在和单调递增，在单调递减，
，，，又，
，当时，，在上恰有一个零点，
，当时，，在上恰有一个零点，
又在上只有一个零点，故函数有三个零点，
当时，，
在单调递增，此时有个零点，不满足题意，舍掉．
综上所述，实数的取值范围为．
，且，
由结合可知，
且，，
，则，，
又，即，
而，
令，，
则，
故在上为增函数，
，
，，，
故．
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