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2024-2025学年河南省开封市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，是纯虚数的是( )
A. B. C. D.
2.设直线，分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则与( )
A. 平行 B. 相交
C. 是异面直线 D. 可能相交，也可能是异面直线
3.甲、乙两个元件构成一并联电路，设“甲元件故障”，“乙元件故障“，则表示电路故障的事件为( )
A. B. C. D.
4.中内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.若，且，则( )
A. B.
C. D.
7.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示风速的大小和向量的大小相同，单位，则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.如图，以边长为的菱形的一边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体已知该几何体的体积为，则该几何体的表面积为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列统计量中，能度量样本，，，的离散程度的有( )
A. 样本，，，的标准差 B. 样本，，，的中位数
C. 样本，，，的极差 D. 样本，，，的平均数
10.已知复数，则下列复数中虚部为的有( )
A. B. C. D.
11.如图所示，分别以等边三角形的顶点，，为圆心，线段的长为半径画圆弧，，，三段圆弧围成一个曲边三角形已知，为的中点，点，分别在，上，若，则( )
A. 的最小值是
B. 可以取到
C. 的最大值是
D. 可以取到
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则 ______．
13.某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从，，三所学校抽取名教师进行调查，已知，，三所学校分别有，，名教师，则从学校中应抽取的人数为______．
14.已知的面积为，若，则边 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市通过简单随机抽样，获得了户居民用户的月均用电量数据，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示．
求直方图中的值；
求在被调查的用户中，用电量落在区间内的用户数；
该市政府计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一个居民月均用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费如果希望的居民生活用电费用支出不受影响，将定为是否合理？请说明理由．
16.本小题分
已知点，，，，且．
求，之间的关系式；
若在上的投影向量的长度为，求的值．
17.本小题分
如图，在正四棱柱中，为的中点．
证明：平面；
判断平面是否成立，并证明．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，边上的中线记为．
利用余弦定理证明：；
如图，在平面上的正投影为，为的中点，已知直线，，和平面所成的角分别为，，，，求．
19.本小题分
数据传输包括发送与接收两个环节在某数据传输中，数据是由数字和组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字，且每次数字的传输相互独立发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为．
若发送的数据为“”，记收到的数字全部正确的概率为，全部错误的概率为，试比较，的大小；
已知发送数字，时，收到正确数字的概率都大于收到错误数字的概率．
(ⅰ)从下面中选出一定错误的结论：
(ⅱ)从(ⅰ)中选出一个可能正确的结论作为条件用表示收到的数字串，将中数字的个数记为，如“”，则若发送的数据为“”，求的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.根据频率和为，，计算得：；
区间：频率为，
区间：频率为，
区间：频率为，
区间频率：，
已知共调查户，根据“频数频率总数”，该区间内用户数为户；
，
合理，样本的第百分位数接近于，由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，
在实际决策中，只要临界值近似为第百分位数即可，为了实际中操作方便，
可以建议市政府把月均用电量标准定为．
16.点，，，
则，，
又，所以；
因为，在上的投影向量的长度为，
根据投影的定义及中解答，所以，又，
所以，解之得．
17.证明：在正四棱柱中，连接与交于点，连接，
，分别是与的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
平面不成立．
证明：令，，
若平面，因为平面，所以，
因为，，，
由于，所以不成立，
所以平面不成立．
18.解：证明：由余弦定理得，
所以，
所以．
由已知知：平面，，，，
则，，，
又为的中点，，
由可得：，即，
解得：．
19.由题意，，，，
当时，；
当时，；
当时，；
，解之得，所以，
所以，，
所以一定错误；
(ⅱ)由(ⅰ)中选择作为条件，当发送的数据为“”时，事件包含以下三种情况：
两个接收都正确，两个接收都正确，其概率为；
有且只有一个接收正确，有且只有一个接收正确，其概率为
；
两个接收都错误，两个接收都错误，其概率为；
所以，
令，则，其中，可得
所以，
由二次函数的性质可知，在时取到最大值，最大值为．
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