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2024-2025学年浙江省嘉兴市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. 的虚部为 D.
3.命题“，是奇函数”的否定是( )
A. ，是偶函数
B. ，不是奇函数
C. ，是偶函数
D. ，不是奇函数
4.已知变量，的统计数据如下表：
分析表中的数据，发现与之间具有线性相关关系，计算得经验回归直线方程为，据此模型预测：当时，的值为( )
A. B. C. D.
5.已知非零向量，，满足，，则( )
A. 同向 B. 同向
C. 同向 D. 两两不共线
6.某校举行定点投篮比赛，比赛规则如下：每个班级需派出一位同学参加比赛，最多有次投篮机会，投中得一分，未投中扣一分，放弃投篮得零分高二班派出甲同学参加投篮比赛，已知甲先投篮次且均投中，接下去他每次投篮的命中率都为，为了使最终得分不低于分的概率最大，则该同学继续投篮的次数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则( )
A. 当时，在上单调递减 B. 当时，在处取到极小值
C. 当时，在上单调递增 D. 当时，在处取到极小值
8.已知，，为函数和图象的三个连续交点，若的面积为，则的值可以是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，若所有项的二项式系数和为，则( )
A.
B. 展开式中的常数项为
C. 展开式中的第项和第项的二项式系数相等
D. 展开式中的各项系数之和为
10.已知随机变量，定义函数，即表示随机变量的概率，则( )
A. 函数在定义域上单调递减 B.
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数的图象关于点中心对称
11.若函数与的图象有且只有一个公共点，则( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时，可取任意实数 D. 当时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量的分布列为，则实数 ______．
13.某班级需要从甲、乙、丙三人中选出语文、数学、英语三门科目的课代表，要求每门科目需要一位课代表，且每人最多能担任两门科目的课代表，则一共有______种不同的选法用数字作答
14.棱长为的正方体中，球与棱，，均相切，且与侧面也相切，则球的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线与轴平行．
求的值；
求函数的单调区间和极值．
16.本小题分
已知的角，，所对的边分别为，，，且．
若，求外接圆的半径；
设的面积为，若，求角的大小．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点．
证明：平面；
若二面角的大小为时，求四棱锥的体积．
18.本小题分
某工厂生产甲、乙两种产品，为了检测产品质量，现从两种产品中抽取件产品作为样本进行检测，检测结果如下表：
样品 一等品 二等品 三等品
甲产品
乙产品
依据小概率值的独立性检验，分析产品为一等品与产品种类是否有关？
根据样本估计总体，频率估计概率，现等可能地从甲、乙两种产品中抽取产品．
若抽取件产品，已知该产品是一等品，求它是甲产品的概率；
若抽取件产品，求抽到一等品的件数的数学期望．
附：，其中．
19.本小题分
设，是两个非空数集，函数的定义域为，若对任意，，当时，，则称为函数．
设，，是函数，求实数的取值范围；
设，，是函数，当时，，求在上的值域；
设，是函数，证明：是函数．
参考答案
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15.根据题意，的定义域为，
那么导函数，
由于在处的切线与轴平行，
因此，
解得．
的定义域为．
且导函数，
当时，导函数；
当时，导函数，
因此的单调递减区间为，单调递增区间为和，
所以当时，函数取到极大值，
当时，函数取到极小值．
16.在中，，
由正弦定理可得，即，
由余弦定理可得，
，，，外接圆的半径为；
由知，
，由正弦定理可得，
即，，
，
即，即，
，，或，或．
17.证明：连结，在中，，，，
由余弦定理，即，
此时，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面．
如图建系，以为原点，方向为，轴，垂直于平面向上的方向为轴，
设，则，，，，
，，
由，得，即，
由，得，
，，
设是平面的法向量，
则，
取，，，
得，
易知平面的法向量为，
二面角的大小为，
则，
解得，
，
．
18.根据题意，补全题干中的列联表如下所示：
一等品 非一等品 总计
甲产品
乙产品
总计
零假设：产品为一等品与产品种类无关联，
将表格数据代入公式可得：．
根据小概率值的独立性检验，没有充足的证据推断不成立，所以认为产品为一等品与产品种类无关；
设事件“抽一件产品时抽到一等品”，事件“抽一件产品时抽到甲产品”，
则可以得到，
，
故可以得到，已知该产品是一等品，它是甲产品的概率为；
由知，则，所以．
19.根据题意，若，那么，
即恒成立，
因为，所以．
根据题意，，那么，
所以函数是周期为的函数，
所以函数在上的值域等价于在上的值域．
令函数，
当时，函数，
由，得，因此导函数在上单调递减．
令，解得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
因为，
所以函数在上的值域为．
证明：因为是函数，其中，
所以当时，，即，
又因为，，
所以，即，．
如果，
则，
由于，故，矛盾，
所以，
从而，
所以是函数．
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