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2024-2025学年辽宁省沈阳市文新高考研究联盟高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果复数满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
2.已知点在第三象限，则角的终边在第几象限( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，则“”是“，”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知点，，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知正六边形，下列向量的数量积中最大的是( )
A. B. C. D.
6.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，则塔高为( )
A.
B.
C.
D.
7.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
8.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则该勒洛四面体内切球的半径是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若向量与的夹角为锐角，则
D. 若，则向量在向量上的投影向量为
10.已知为斜三角形，角，，的对边分别为，，，且，则( )
A. B. 的最小值为
C. 若，则 D. 若，则
11.在长方体中，，，点是线段的中点，点为线段中点，则下列说法正确的是( )
A. 长方体被平面截得的截面是一个五边形
B. 长方体被平面截得的截面面积为
C. 与平面平行
D. 三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.已知平面单位向量，满足设，，向量，的夹角为，则的最小值是 ．
14.已知三边分别为，，，且，则边所对应的角大小为 ；此时，如果，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
求的大小；
若，的面积为，求的周长．
17.本小题分
如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，．
画出原四边形；
分别求出原四边形与梯形的面积．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点共线，点不在直线上，满足．
求的值；
，，，，若的最小值为，求的最大值．
19.本小题分
材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数包括重复因式就是被分解的多项式的次数事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根．
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积进而，一元次多项式方程有个复数根重根按重数计．
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系．
设实系数一元二次方程
在复数集内的根为、，容易得到
设实系数一元三次方程
在复数集内的根为、、，可以得到，方程可变形为
展开得：
比较可以得到根与系数之间的关系：
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
对于方程在复数集内的根为、、，求的值；
如果实系数一元四次方程在复数集内的根为、、、，试找到根与系数之间的关系；
已知函数，对于方程在复数集内的根为、、，当时，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，所以，
所以，
所以；
．
16.解：因为，
所以，
由余弦定理得，，
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，即，
又，所以．
因为，所以，
由余弦定理得，，
因为，所以，解得，
所以的周长为．
17.根据题意，直观图梯形中，，，．
则，
如图，建立平面直角坐标系，
在轴上截取，，，
在过点的轴的平行线上截取，
在过点的轴的平行线上截取，
连接，即可得到原四边形．
由题意得，原四边形是直角梯形，且，，，
故四边形的面积为，
又直观图中梯形的高为，，，
所以四边形的面积为．
18.，，三点共线，点不在直线上，满足，
，解得；
，，
，
令，则，设，，
函数的对称轴为，
当时，函数在上单调递增，则；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则；
当时，函数在上单调递减，则；
，
的最大值为．
19.解：由阅读材料可知：，，
故；
因为实系数一元四次方程在复数集内的根为、、、，
由材料可知：一元四次方程可改写为，
展开得：，
故可得：；
由题有的三个实根为，，，
设，
展开，
故，
则
，
又，故，
综上：当时，的最大值为．
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