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2024-2025学年云南省玉溪一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量与的夹角为，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.已知某圆锥的母线与底面所成的角为，且母线长为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知一组样本数据，，，的平均数为，方差为，则( )
A. ，，，的平均数为
B. ，，，的方差为
C. ，，，的分位数为
D. ，，，的极差为
6.小华为测量，视为质点两地之间的距离，选取，与，在同一水平面上两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则，两地之间的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，扇形的半径为，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为复数，下列命题为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
11.如图，在直三棱柱中，，，点是线段的中点，点是棱上的动点，则( )
A.
B. 存在点，使得平面
C. 三棱锥的体积为
D. 的最小值是
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知平面向量，，若，则______．
13.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
赔付金额元
车辆数辆
若每辆车的投保金额均为元，估计赔付金额大于投保金额的概率为______；在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为元的样本车辆中，车主是新司机的占，估计在已投保的新司机中，获赔金额为元的概率为______．
14.赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中，，，，，分别是，，，，，的中点，是正六边形的中心若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若且的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点．
证明：平面；
证明：平面平面C.
17.本小题分
某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取名学生的原始成绩满分分进行分析，其频率分布直方图如图所示：
求图中的值；
若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取人查看他们的答题情况，再从中选取人进行个案分析，求这人中恰有一人原始成绩在内的概率；
已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求．
已知，．
若内切圆的圆心为，求；
在线段，，上分别存在点，，分别与线段，，的端点均不重合，使得，求的最小值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，且，为棱的中点，在棱上，且．
求证：；
记平面底面，求二面角的大小；
当异面直线与所成角为时，求三棱锥的体积．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据，
由正弦定理得，整理得，
根据余弦定理得，结合，可得；
由，解得，
根据余弦定理得，
即，可得，
所以，可得的周长．
16.证明：在直四棱柱中，，，且，
点为棱的中点，点为棱的中点，
取中点为，连接和，
则，，
点为的中点，，，
，，四边形为平行四边形，
，平面，平面，
平面C.
连接，由，，得，
又，则，
点为的中点，，
又平面，平面，，
又，，平面，平面，
由知，平面，
平面，平面平面C.
17.，解得．
由原始成绩在和中的频率之比为：：，
故抽取的人中，原始成绩在中的有人，记为，，在中的有人，记为，，，，
则从人中抽取人，所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件，
其中抽取这人中怡有一人原始成绩在内的结果有：，，，，，，，共个基本事件，
所以从人中抽取人，恰有一人原始成绩在内的概率为．
因为原始成绩在中的有人，在中的有人，
所以分，
．
18.因为，
所以由正弦定理得：，
则由余弦定理可得：，
所以．
因为，所以；
如图，
由题意得．
由余弦定理得，得．
设内切圆的半径为，则，
因为，所以．
如图，设，，则，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
由正弦定理，得，
由，
得，所以．
由，
得，所以．
因为
．
因为，
所以
，
所以的最小值为．
19.证明：因为底面，底面，所以，
因为底面为矩形，所以，
又，，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，为棱的中点，所以，
由，易得平面，
因为平面，所以，
延长与交于点，则即，
又平面，所以，
又，，平面，
所以平面，
所以即二面角的平面角，大小为．
与所成角即与所成角，即，则，
由，所以，
所以，则，，
由，
得，
又，
所以，
则．
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