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2024-2025学年江苏省无锡市宜兴市某校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设是平面，，是两条直线，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，与所成的角相等，则
3.史记中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( )
A. B. C. D.
4.若数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法错误的是( )
A.
B. 数据，，，的平均数为
C.
D. 数据，，，的标准差为
5.已知向量满足，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其侧面展开图是一个圆心角为、半径为的扇形，则该屋顶的体积约为( )
A.
B.
C.
D.
7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角泰”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子近似为球包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的半径最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知锐角的面积为，，则边的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为，，，的张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为”，则( )
A. 事件与事件为互斥事件 B.
C. 事件与事件相互独立 D.
10.已知向量，满足，，，则下列说法错误的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 的取值范围为
D. 若与夹角为钝角，则实数的取值范围为
11.如图，在边长为的正方体中，，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 存在满足
D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和，则估计出总样本的方差为______．
13.已知一元二次方程的两个虚根分别为，，且满足，则实数的值为______．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧劣弧沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心即三角形三条高线的交点如图，已知锐角外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点若，则 ______；若：：：：，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.某市为了解人们对火灾危害的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次消防知识竞赛，满分为分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，将这人按年龄分成组，其中第一组为，第二组为，第三组为，第四组为，第五组为，得到如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
利用频率分布直方图，估计这名市民年龄的平均数和第百分位数；
现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取人担任本市的消防安全宣传使者，再从中随机抽取人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率．
16.如图所示，在中，，，，，．
求的值；
线段上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
17.年月底，各省教育厅陆续召开了年高中数学联赛的相关工作若某市经过初次选拔后有甲、乙、丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲、丙两名同学都解答错误的概率是，乙、丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立．
求乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率；
求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率．
18.设的内角，，所对的边分别为，，，向量，，．
求角；
若，，为线段中点，求；
若为锐角三角形，且，求的取值范围．
19.如图，已知是边长为的等边三角形，是的中点，，如图，将沿边翻折至．
在线段上是否存在点，使得面？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由；
在的条件下，，求证：；
若，求二面角的正切值．
参考答案
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15.根据题意可得，解得；
设这人的平均年龄为：
岁，
因为前几组的频率依次为，，，，
所以第百分位数在之间，且为；
若现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取人担任本市的消防安全宣传使者，
则从第三、四、五组中需依次选取人，
再从中随机抽取人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率为．
16.因为，，
所以，
，
所以，
因为，，，所以，
所以；
存在，设，则，
所以，
由知，，
当时，，
化简得，
因为，，，所以，
所以，
解得，此时．
17.记事件“甲成功解出这道题”，事件“乙成功解出这道题”，事件“丙成功解出这道题”，
则，，解得，
又，解得，
故乙、丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为．
记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件，
则
，
即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为．
18.因为向量，，，
则有，
整理可得，
在中，，
可得，
又因为，
可得，
又因为
所以；
因为，，
可得，
可得，
由余弦定理可得，
可得，
因为为线段中点，
所以，
所以，
所以，
即；
由得，
由余弦定理得，
所以，即，
由正弦定理得，
所以，
可得
．
因为为锐角三角形，且，
所以，解得，
所以，所以，
所以，
所以，
所以．
19.存在，当时，平面，理由如下：
在图中，设的中点为，连接，
则，又，所以，
因为是的中点，所以为中点，即，
在图中，连接，，，
因为，所以，又平面，平面，
所以平面，又，
同理可得平面，
因为，，平面，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
证明：在的条件下，，，
所以，即，又，所以，
由题知，，，
又，平面，，所以平面，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
又平面，所以．
由知平面，以为原点建立如图空间直角坐标系，
则，，
，
解得，或 ，
当时，，
设平面的一个法向量，
则，则，
不妨取，，
易知平面的一个法向量，
，
由题知二面角的平面角为锐角，所以正切值为，
当时，，
同理可得平面的一个法向量，
，
由题知二面角的平面角为锐角，所以正切值为，
综上，二面角的正切值为或．
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