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2024-2025学年山东省泰安市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则有( )
A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最小值
4.已知命题：函数在上是单调函数，命题：函数的定义域为，若命题与有且只有一个为真命题，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.设，是两个事件，，，则下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. D.
6.小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数的前位数字，，，，，进行某种排列得到密码若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为( )
A. B. C. D.
7.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
8.已知正实数，，满足，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 如果由一组样本数据，，得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点，，中的一个
B. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好
C. 残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和
10.已知的展开式中，第三项与第十一项的二项式系数相等，则下列选项正确的是( )
A. B. 所有项系数的和为
C. 二项式系数最大的项为第项 D. 有理项共有项
11.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 若函数，则的定义域为
B. 函数的值域为
C. 若直线与函数的图象有且只有个公共点，则实数的取值范围为
D. 函数的所有零点之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则 ______．
13.若随机变量，则当取最大值时，正整数的值是______．
14.已知对任意恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月，一股来自东方的“神秘力量”国产大模型引发硅谷震动，并迅速走红全球，它向全球用户免费开源，用卓越性能和较低的算力成本引起国内外关注，令许多海外网友直呼“实力惊人”如今，在各行各业的应用越来越广泛，逐步成为我们解决问题的好参谋，好助手为了了解不同学历人群对的使用情况，随机调查了人，得到如表数据：
是否经常使用
学历 经常使用 不经常使用 合计
本科及以上
本科以下
合计
根据小概率值的独立性检验，能否认为学历与的使用情况有关？
为了进一步了解的使用情况，从经常使用的人群中用分层随机抽样的方法抽取人，并从这人中抽取人进行座谈，求抽到的人中本科及以上学历的人数的分布列及数学期望．
附：，．
16.本小题分
已知函数在处有极值．
求实数，的值；
求在上的最值．
17.本小题分
已知函数为偶函数．
求实数的值；
求方程的根；
若函数在上有零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
若，求的取值范围；
若，．
(ⅰ)求在处的切线方程；
(ⅱ)若方程有两个不同的实根，，且，，证明：．
19.本小题分
为备战全国机器人大赛，某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：每局比赛胜者得分，负者得分，没有平局；总共进行奇数局比赛；全部比完后，分数高者获胜假设每局比赛甲队获胜的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响．
当时，若两队共进行局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为，现在规定：若，则甲队可额外获得一次特殊训练机会，求甲队获得一次特殊训练机会的概率；
若两人共进行局比赛，当且时，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”，事件表示“甲最终获胜”，求，的值；
若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为，已知，试判断与的大小关系，并说明理由．
参考答案
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14.
15.零假设为：“学历与 的使用情况无关”，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即学历与 的使用情况无关；
由题意知，在抽取的人中，本科及以上学历的有人，本科以下学历的有人
随机变量的所有可能取值为，，，，
，，，，
的分布列为：
．
16.导函数，
因为函数在处有极值，
所以，
所以，解得，
经检验，符合题意，所以，．
根据第一问可知，导函数，
令，解得或，
当变化时，，的变化情况如下表所示：
单增 单减
所以当时，有最小值，当时，有最大值．
17.由已知得，的定义域为，且为偶函数，
即对任意恒成立，即，
整理得恒成立，可得；
由可知，，
故题意等价于要解，
所以，则，
整理得，
令，则，不等式可化为，解得舍或，
所以，可得，故方程的根为；
因为在上有零点，
所以在上有解，
设，，
则，
所以在上单调递减，，
故．
18.函数的定义域为，
若，即，恒成立，
设，
则，
设，，则，则在上单调递增，
，故，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，则，即；
当时，，
，又，，
在处的切线方程为，即；
(ⅱ)证明：由(ⅰ)知，，
则时，时，
在上单调递减，在上单调递增，
有两个不同实根，，且，
，
设，，则，
令，解得，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
，
在上恒成立，
设与直线的交点横坐标为，则，
即，
，，
在处的切线方程为，
设与直线的交点的横坐标为，同理可证：
，
．
19.，
甲队获得一次特殊训练机会的概率为；
由题设，前局后剩余局比赛，设前局甲队赢局，
则剩余局的赢局数，总分满足，
所以对应，即，又，故，
对于对应，即，又，所以；
由全概率公式得
，
，
当时，，
，
，，．
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