资源简介

2024-2025学年甘肃省兰州市西北师大附中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，则( )
A. B. C. D.
4.若圆：关于直线对称，则直线一定过点( )
A. B. C. D.
5.如图，这是一个正方体的平面展开图，将其还原成正方体后，下列直线中与直线平行的是( )
A. B.
C. D.
6.已知各项均为正数的等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与交于点，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 是奇函数 B. 是增函数
C. 有且仅有个零点 D. 既有极大值又有极小值
10.已知函数，则( )
A. 的图象关于直线对称
B. 在上单调递增
C. 在上的值域为
D. 将函数图象上所有点的纵坐标扩大到原来的倍，横坐标不变，可以得到的图象
11.某比赛共进行局，每局比赛没有平局，局比赛结束后赢得局以上的一方获胜甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则当时，最大
C. 若，则当时，最小 D. 若，则当时，最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在原点处的切线方程为______．
13.已知单位向量，满足，则 ______．
14.已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，过点且与轴垂直的直线与在第一象限交于点，直线与的渐近线在第一象限交于点，若是的中点，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆：的短轴长为，点在上．
求椭圆的标准方程；
已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值．
16.本小题分
如图，在五边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，如图．
证明：平面；
求平面与平面所成二面角的正弦值．
17.本小题分
设是公比不为的等比数列，已知，是，的等差中项．
求的通项公式；
记的前项和为，，求数列的前项和．
18.本小题分
某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券例如：消费元，则赠送元的代金券；方案二，消费每满元可进行一次抽奖例如：消费元可进行三次抽奖，每次抽奖抽到元代金券的概率为，抽到元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响每人只能选择一种方案．
若甲的消费金额为元，他选择方案二且抽到的代金券总额为元的概率为，求；
若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求；
若，请你根据顾客消费金额消费金额大于的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案．
19.本小题分
证明：函数有且仅有一个零点，记该零点为，则．
证明：，．
证明：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为椭圆的短轴长为
所以，
解得，
则椭圆的标准方程为，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，
则椭圆的标准方程为；
设，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
所以，
整理得，
解得或舍去．
则．
16.证明：因为平面平面，且平面平面，
平面，，
所以平面，又因为平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面．
取的中点，连接，，由，得，
因为，，
所以四边形为平行四边形，则，又因为平面，
所以平面，又因为，平面，
所以，，
令，则，，
取中点，连接，，
则，，
所以是二面角的平面角，
因为，，
所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
17.因为是公比不为的等比数列，
又，是，的等差中项，
所以，即为，
所以，解得或 舍去，
所以；
由知，
所以，
当，，时，，
当，，时，，
所以，
所以
．
18.甲的消费金额为元，他选择方案二，抽奖次，
抽到的代金券总额为元的概率为，解得；
设抽奖次数为，抽到元代金券的次数为，则，
得，，
因为，
所以，，
，
所以时，取得最大值，所以；
当消费金额单位：元在时，不能参与方案二，只能选择方案一；
当消费金额单位：元在时，设消费金额为，
当时，由得，方案二的代金券总额的数学期望，
方案一的代金券总额为，此时，
当消费金额单位：元为时，选择方案一、方案二都可以，
当消费金额单位：元在，且不为时，选择方案一．
所以当消费金额单位：元大于，且不为时，选择方案一；
当消费金额单位：元为时，选择方案一、方案二都可以．
19.证明：由题意，的定义域为，
则，在上单调递增．
函数是增函数，且有且仅有个零点，
若满足，则，，
函数有且仅有一个零点，且．
令，则．
令，则，
在上单调递增，
．
，
，即，
．
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
．
令，面积，
在上单调递增．
，即，
，．
令，则．
令，则．
又，且结合可得，，在上单调递增．
若满足，则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑