资源简介

2024-2025学年湖南省湘东教学联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.名运动员站在条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站第二道或第三道，乙只能站在第五道或第六道，则不同的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.直线与圆：相交于，两点，当面积最大时的值为( )
A. B. C. D.
7.已知正方体的棱长为，点为线段上的动点不含端点，则当三棱锥外接球半径最小时，的长为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据得到的回归直线方程为，且，剔除一个偏离回归直线较远的异常点后，得到的新回归直线经过点，则( )
A. 变量，负相关
B. 剔除异常点后，样本相关系数的绝对值变大
C. 新回归直线经过点
D. 新回归直线的斜率是
10.抛物线：的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，则( )
A.
B. 当时，
C. 若点的坐标为，则周长的最小值为
D. 当时，
11.中国古代的记里鼓车通过多重齿轮的设计，将小齿轮走过的距离与大齿轮对应，从而达到记录里程的目的如图所示，可以理解为将一个立轮的转动转化为三个平轮的转动忽略齿轮对半径的影响，简化后如图，记初始时，在小平轮上，与中平轮的切点为点，大平轮上最高点为点，大、中、小平轮和立轮的半径分别为，，，随着转动，以下说法正确的是( )
A. 小平轮转圈，大平轮转圈
B. 两点距离最大为
C. 两点距离最小为
D. 若立轮与小平轮相互咬合，忽略齿轮对半径的影响，则小平轮与立轮上的点的最大距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极大值点是______．
13.已知数列的前项和为，则数列的前项和为______．
14.一个材质均匀的抽奖转盘被等分为个扇形区域，分别标有数字至玩家进行以下操作：
第一轮：转动转盘一次，记录数字不考虑指针落在交界线的情况，若为质数，则获得一个抽奖币，否则获得一个普通币．
第二轮：若第一轮获得抽奖币，可从抽奖池随机抽取奖励抽奖池中包含个一等奖、个二等奖、个三等奖；若获得普通币，则从普通池中随机抽取奖励普通池中包含个安慰奖、个谢谢参与．
第三轮：若第二轮抽到一等奖或二等奖，则可再次转动转盘，若此次数字与第一轮数字之和为偶数，则额外获得终极大奖则玩家最终获得终极大奖的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了调查学生喜欢游泳是否与性别有关，某学校从高三年级选取了名学生进行问卷调查，得到如下的列联表：
性别 游泳 合计
喜欢 不喜欢
男生
女生
合计
已知在这名学生中随机抽取人，抽到喜欢游泳的概率为．
请完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析喜欢游泳是否与性别有关；
从上述不喜欢游泳的学生中用分层随机抽样的方法抽取名学生，再在这人中抽取人调查其喜欢的运动，用表示人中女生的人数，求的分布列及数学期望．
附：，其中．
16.本小题分
在中，内角，，对应的边分别是，，，且，．
若的面积是，求的周长；
若为锐角三角形，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，是的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆：的上顶点分别为，，以为直径的圆过椭圆的两个焦点，，且的面积为．
求椭圆的方程；
过点的直线分别交圆、椭圆于，两点异于点，若直线的斜率存在．
证明：为定值；
求的最大值，并求取得最大值时直线的方程．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
若对任意恒成立，求实数的取值范围；
若正项数列满足，，试比较与的大小关系，并说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.从名学生中随机抽取人，抽到喜欢游泳的概率为，
则喜欢游泳的有人，不喜欢游泳的有人．
补全列联表如下：
性别 游泳 合计
喜欢 不喜欢
男生
女生
合计
零假设：喜欢游泳与性别无关，
计算得到，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断，不成立，
所以认为成立，即喜欢游泳与性别无关．
设女生名，男生名，则，解得，，
故抽取女生名，男生名，随机变量的可能取值为，，，
，，，
的分布列为：
．
16.，
由正弦定理可得：，
即，因为，
则，即．
因为，所以，
由余弦定理可得，即，
所以，
则，所以，
则的周长为．
由正弦定理．
则，
又
，
为锐角三角形，则，解得，
所以则，
所以，
故的取值范围是．
17.证明：如图，连接交于点，连接，
则点为的中点，且是的中点，
则为的中位线，所以B.
又因为平面，平面，
所以平面．
因为在正中，是的中点，故AD，
以为坐标原点，取的中点，分别以、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，．
故，，，
设平面的法向量为，
则，则，
取．
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
存在点，理由如下：
设，其中，
所以，，
设平面的法向量为，
则，则，
取．
且，
则点到平面的距离，
化简得，解得或舍去．
综上，存在点使得点到平面的距离为，
此时．
18.因为以为直径的圆过椭圆：的两个焦点，且的面积为，
所以
解得，所以，
故椭圆的方程为．
证明：设直线：，，，
由，
得，
所以，
即，所以．
由
得，
所以，
即，所以．
所以，为定值．
(ⅱ)因为，．
所以．
．
从而，
当且仅当时，取等号．
此时直线的方程为．
19.当时，函数，
因此导函数，
令，
那么，即为，
那么导函数，
当，即时，，单调递增，
当，即时，，单调递减，
因此，
因此，
因此导函数，
因此函数无单调递减区间，单调递增区间为．
注意到，导函数，，
设函数，那么导函数，，
当时，令，得，
即存在，使得时，，单调递减，
时，，单调递增，
故，
所以，当，，，单调递减，
所以，存在，不满足对任意恒成立；
当时，恒成立，
所以，在上单调递增，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以，满足题意．
综上，实数的取值范围为．
，理由如下，
由，得．
由知，当时，在上单调递增，
故当时，，
令，则，
即，故，
又因为，所以，
故．
一方面，当时，，，
另一方面，当时，．
即，所以．
综上，．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑