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重难强化练七　密度相关的综合计算
类型一　等密度问题
【方法引领】
(1)取样:根据题设条件求出“小样”或“同质小物体”的密度。
(2)等密:明确题设条件中物体间的联系——密度相等。
(3)求解:结合题设条件选用密度变形公式计算质量或体积。
1.小明的妈妈去无锡出差顺便带回了一只宜兴茶壶,如图所示。爸爸告诉小明宜兴茶壶是用宜兴特有的泥土材料制成的,非常有名。小明顿时来了兴趣,他用天平测出壶盖的质量为44.4 g,再把壶盖放入装满水的溢水杯中,并测得溢出水的质量为14.8 g,然后他测得壶身的质量为159 g,求:
(1)该茶壶所用的材料的密度是多少
(2)该茶壶所用的材料的体积是多少
2. (2024·泰安岱岳区期末)油电混合动力汽车是新型节能汽车。这种汽车在内燃机启动时,可以给车提供动力的同时,也给动力蓄电池组充电。已知某款混合动力汽车的油箱总容积约53 L。某学习兴趣小组为计算该款汽车加满油时油的总质量,在确保安全的前提下取出一小份样品,测得其质量为36 g,体积为50 cm3。求:
(1)这种油的密度;
(2)该汽车加满油时油的总质量。
类型二　等质量问题
【方法引领】
(1)等质:明确在物态变化前后物体的质量并没有发生变化。
(2)解题:根据题设条件并结合密度公式及其变形公式列式计算。
3.请大家回忆一下,我们每次买的矿泉水,你是否发现每瓶水都是没有装满的,这里面其实隐含着一个物理知识,如果瓶子装满水,当把装满水的瓶子放进冰箱冷冻时,水凝固后体积会变大把瓶子胀破。某品牌矿泉水的容积为630 mL,当用该矿泉水瓶装满水时(ρ水=1 g/cm3,ρ冰=0.9 g/cm3),求:
(1)装满水时的水的质量;
(2)这些水凝固成冰的体积。
类型三　等体积问题
【方法引领】
(1)求积:根据题设条件求出水或其他可求物体的体积。
(2)等积:明确题设条件中所隐含的是哪几种物体的体积相等。
(3)解题:根据题设条件并结合密度公式及其变形公式列式计算。
4.世界上密度最小的固体“气凝胶”的坚固耐用程度不亚于钢材,且能承受1 400 ℃的高温。100 cm3的“气凝胶”质量仅为0.3 g。
(1)求“气凝胶”的密度;
(2)已知某大型飞机采用现在盛行的超高强度结构钢制造,耗钢142.2 t,求该飞机的体积;(ρ钢=7.9×103 kg/m3)
(3)若采用“气凝胶”代替结构钢制造一架上述同样大小的飞机,计算所需“气凝胶”的质量。
5.(2023·滨州期末)冬季是流感病毒的高发季,为保证师生的安全,学校订购了一批“84消毒液”(图甲)。每桶“84消毒液”的净含量为25 L,为了估测一桶“84消毒液”的质量,小红用天平测出一个小空瓶(图乙)的质量为200 g,把小瓶加满水,测出小瓶和水的总质量为300 g,倒出水后擦干净,再向瓶中加满“84消毒液”,测出小瓶和“84消毒液”的总质量为320 g。已知水的密度为1.0×103 kg/m3,求:
(1)小瓶的容积;
(2)消毒液的密度;
(3)每桶消毒液的质量。
类型四　图象问题
【方法引领】
(1)析图:明确图象的物理意义。
(2)对应:确定图线上物理量间的对应关系。
(3)列式:根据密度公式及变形公式列式计算。
6.如图所示为甲、乙两种物质的质量跟体积关系的图象,根据图象分析:
(1)甲、乙两种物质的密度各是多少。
(2)质量为3.6 kg的乙物质的体积为多少。
(3)5 dm3的甲物质质量为多少。
类型五　物质鉴别问题
【方法引领】
(1)审题:明确题意中所给条件。
(2)解题:根据条件并结合密度公式及其变形公式计算出密度或质量。
(3)鉴别:对比标准,进行鉴别。
7.某种瓶装食用调和油瓶上标注“净含量5 L”字样,小红同学想探究其标注是否准确,将一瓶油放到电子秤上,测得其总质量是4.5 kg,倒出200 mL至量筒中,再次测量这瓶油的总质量,电子秤示数为4.32 kg,求:
(1)食用调和油的密度是多少
(2)通过计算,说明食用调和油的标注是否准确
类型六　表格问题
【方法引领】
(1)析表格:横向、竖向分析其内在联系。
(2)选公式:根据各物理量间的关系选择相应的公式。
(3)列出关联式解析计算。
8.在测定某液体密度时,有一同学测出了液体的体积、容器和液体的总质量,做了三次实验,记录如表:试求:
液体的体积V/cm3 5.8 7.8 10
容器和液体的总质量m/g 10.8 12.8 m'
(1)液体的密度ρ。
(2)容器的质量m0。
(3)表中的m'。
类型七　空心问题
【方法引领】
(1)依据:空心问题往往涉及其他物体质量、密度的相关计算。
(2)方法:根据“计算体积”比较判断空心情况,再结合相关公式进行解答。
9.(2024·济宁期末)2024年是中国龙年,小明在购物广场看到一个售卖员,正声嘶力竭地喊道:“挥泪大甩卖,不要九九八,只要八十八,纯金吊坠带回家。”小明忍不住诱惑给妈妈买了一个实心的金龙吊坠,如图所示。他想知道是真是假,于是测出了这只吊坠的质量为24 g,体积为1.5 cm3。
(1)请你计算这只金龙吊坠的密度。
(2)如果这个金龙吊坠是纯黄金制成,其质量应为多少 (ρ金=19.3×103 kg/m3)
(3)若另一个相同大小纯金制成的空心金龙吊坠的质量为15.44 g,则该吊坠的空心部分体积为多少
类型八　混合物问题
【方法引领】
(1)质量:总质量等于各组成部分的质量之和。
(2)体积:总体积等于各组成部分的体积之和。
(3)密度:根据总质量和总体积之比计算。
10.某合金构件由铝和钢两种材料合成,质量为374 g,其体积是100 cm3。(ρ铝=2.7×103 kg/m3,ρ钢=7.9×103 kg/m3)。求:
(1)合金构件的平均密度。
(2)合金构件中含铝的质量。
答案
类型一　等密度问题
【方法引领】
(1)取样:根据题设条件求出“小样”或“同质小物体”的密度。
(2)等密:明确题设条件中物体间的联系——密度相等。
(3)求解:结合题设条件选用密度变形公式计算质量或体积。
1.小明的妈妈去无锡出差顺便带回了一只宜兴茶壶,如图所示。爸爸告诉小明宜兴茶壶是用宜兴特有的泥土材料制成的,非常有名。小明顿时来了兴趣,他用天平测出壶盖的质量为44.4 g,再把壶盖放入装满水的溢水杯中,并测得溢出水的质量为14.8 g,然后他测得壶身的质量为159 g,求:
(1)该茶壶所用的材料的密度是多少
(2)该茶壶所用的材料的体积是多少
解:(1)由ρ=可得,溢出水的体积,
即壶盖的体积:V盖=V水===14.8 cm3;
这种材料的密度:ρ===3 g/cm3。
(2)整个空茶壶的质量:m壶=m盖+m身=44.4 g+159 g=203.4 g;
该茶壶所用材料的体积:V===67.8 cm3。
2. (2024·泰安岱岳区期末)油电混合动力汽车是新型节能汽车。这种汽车在内燃机启动时,可以给车提供动力的同时,也给动力蓄电池组充电。已知某款混合动力汽车的油箱总容积约53 L。某学习兴趣小组为计算该款汽车加满油时油的总质量,在确保安全的前提下取出一小份样品,测得其质量为36 g,体积为50 cm3。求:
(1)这种油的密度;
(2)该汽车加满油时油的总质量。
解:(1)根据题意和密度公式ρ=可得,这种油的密度为
ρ油===0.72 g/cm3;
(2)根据题意可得,该汽车加满油时油的体积为V总=53 L=53 dm3=53×103 cm3,
根据ρ=可得,该汽车加满油时油的总质量为m油=ρ油V油=0.72 g/cm3×53×
103 cm3=38 160 g=38.16 kg;
类型二　等质量问题
【方法引领】
(1)等质:明确在物态变化前后物体的质量并没有发生变化。
(2)解题:根据题设条件并结合密度公式及其变形公式列式计算。
3.请大家回忆一下,我们每次买的矿泉水,你是否发现每瓶水都是没有装满的,这里面其实隐含着一个物理知识,如果瓶子装满水,当把装满水的瓶子放进冰箱冷冻时,水凝固后体积会变大把瓶子胀破。某品牌矿泉水的容积为630 mL,当用该矿泉水瓶装满水时(ρ水=1 g/cm3,ρ冰=0.9 g/cm3),求:
(1)装满水时的水的质量;
(2)这些水凝固成冰的体积。
解:(1)水的体积V水=630 mL=630 cm3,
由ρ=得装满水时水的质量:
m水=ρ水V水=1 g/cm3×630 cm3=630 g;
(2)水凝固成冰,状态变化了,但质量不变,则冰的质量:m冰=m水=630 g;
由ρ=得冰的体积:V冰===700 cm3;
类型三　等体积问题
【方法引领】
(1)求积:根据题设条件求出水或其他可求物体的体积。
(2)等积:明确题设条件中所隐含的是哪几种物体的体积相等。
(3)解题:根据题设条件并结合密度公式及其变形公式列式计算。
4.世界上密度最小的固体“气凝胶”的坚固耐用程度不亚于钢材,且能承受1 400 ℃的高温。100 cm3的“气凝胶”质量仅为0.3 g。
(1)求“气凝胶”的密度;
(2)已知某大型飞机采用现在盛行的超高强度结构钢制造,耗钢142.2 t,求该飞机的体积;(ρ钢=7.9×103 kg/m3)
(3)若采用“气凝胶”代替结构钢制造一架上述同样大小的飞机,计算所需“气凝胶”的质量。
解:(1)“气凝胶”的密度:ρ气凝胶===0.003 g/cm3=3 kg/m3;
(2)由ρ=可得该飞机的体积:V钢===18 m3;
(3)气凝胶的体积等于钢材的体积,即V气凝胶'=V钢=18 m3;
气凝胶的质量:m=ρ气凝胶V气凝胶'=3 kg/m3×18 m3=54 kg。
5.(2023·滨州期末)冬季是流感病毒的高发季,为保证师生的安全,学校订购了一批“84消毒液”(图甲)。每桶“84消毒液”的净含量为25 L,为了估测一桶“84消毒液”的质量,小红用天平测出一个小空瓶(图乙)的质量为200 g,把小瓶加满水,测出小瓶和水的总质量为300 g,倒出水后擦干净,再向瓶中加满“84消毒液”,测出小瓶和“84消毒液”的总质量为320 g。已知水的密度为1.0×103 kg/m3,求:
(1)小瓶的容积;
(2)消毒液的密度;
(3)每桶消毒液的质量。
解:(1)把小瓶加满水时水的质量:m水=m总1-m0=300 g-200 g=100 g,
由ρ=可得,小瓶的容积:V瓶=V水===100 cm3;
(2)向瓶中加满“84消毒液”时消毒液的体积:V消毒液=V瓶=100 cm3,
小瓶内消毒液的质量:m消毒液=m总2-m0=320 g-200 g=120 g,
消毒液的密度:ρ消毒液===1.2 g/cm3=1.2×103 kg/m3;
(3)每桶“84消毒液”中消毒液的体积:V总=25 L=25 dm3=2.5×10-2 m3,
每桶消毒液的质量:m总=ρ消毒液V总=1.2×103 kg/m3×2.5×10-2 m3=30 kg。
类型四　图象问题
【方法引领】
(1)析图:明确图象的物理意义。
(2)对应:确定图线上物理量间的对应关系。
(3)列式:根据密度公式及变形公式列式计算。
6.如图所示为甲、乙两种物质的质量跟体积关系的图象,根据图象分析:
(1)甲、乙两种物质的密度各是多少。
(2)质量为3.6 kg的乙物质的体积为多少。
(3)5 dm3的甲物质质量为多少。
【点思路】(1)根据ρ=可求甲、乙的密度。
(2)根据V=可求乙物质的体积。
(3)根据m=ρV可求甲物质的质量。
解:(1)由图象可知,甲的质量为2.7 kg,其体积为1 dm3=0.001 m3;
则甲的密度为:ρ甲===2.7×103 kg/m3;
由图象可知,乙的质量为2.7 kg,其体积为3 dm3=0.003 m3;
则乙的密度为:ρ乙===0.9×103 kg/m3。
(2)由ρ=可得,质量为3.6 kg的乙物质的体积为:V'乙===0.004 m3;
(3)V'甲=5 dm3=0.005 m3;
由ρ=可得,
5 dm3的甲物质质量为:
m'甲=ρ甲V'甲=2.7×103 kg/m3×0.005 m3=13.5 kg。
类型五　物质鉴别问题
【方法引领】
(1)审题:明确题意中所给条件。
(2)解题:根据条件并结合密度公式及其变形公式计算出密度或质量。
(3)鉴别:对比标准,进行鉴别。
7.某种瓶装食用调和油瓶上标注“净含量5 L”字样,小红同学想探究其标注是否准确,将一瓶油放到电子秤上,测得其总质量是4.5 kg,倒出200 mL至量筒中,再次测量这瓶油的总质量,电子秤示数为4.32 kg,求:
(1)食用调和油的密度是多少
(2)通过计算,说明食用调和油的标注是否准确
解:(1)倒出食用调和油的质量:m=4.5 kg-4.32 kg=0.18 kg=180 g;
倒出食用调和油的体积:V=200 mL=200 cm3;
食用调和油的密度:ρ===0.9 g/cm3=0.9×103 kg/m3。
(2)瓶上标注“净含量5 L”字样,即V标=5 L=0.005 m3;
由ρ=可得,5 L食用调和油的质量:
m标=ρV标=0.9×103 kg/m3×0.005 m3=4.5 kg;
而实际油和瓶的总质量才是4.5 kg,所以标注的体积不准确。
类型六　表格问题
【方法引领】
(1)析表格:横向、竖向分析其内在联系。
(2)选公式:根据各物理量间的关系选择相应的公式。
(3)列出关联式解析计算。
8.在测定某液体密度时,有一同学测出了液体的体积、容器和液体的总质量,做了三次实验,记录如表:试求:
液体的体积V/cm3 5.8 7.8 10
容器和液体的总质量m/g 10.8 12.8 m'
(1)液体的密度ρ。
(2)容器的质量m0。
(3)表中的m'。
【点思路】需要找出液体的体积和容器与液体的总质量之间的关系,列出相应的关系式,才能求解出液体的密度和容器的质量。
解:(1)由表格可知,当液体的体积从5.8 cm3增加到10.8 cm3时,容器和液体的总质量从10.8 g增加到12.8 g,而增加的这部分质量与增加的这部分体积是对应的,因此,液体的密度:ρ===1 g/cm3。
(2)由ρ=可得,在第一列数据中,液体的质量:m1=ρV1=1 g/cm3×5.8 cm3=5.8 g;
则容器的质量:m0=10.8 g-5.8 g=5 g。
(3)在第三列数据中,液体的质量:m2=ρV2=1 g/cm3×10 cm3=10 g;
则容器和液体的总质量:m'=10 g+5 g=15 g。
类型七　空心问题
【方法引领】
(1)依据:空心问题往往涉及其他物体质量、密度的相关计算。
(2)方法:根据“计算体积”比较判断空心情况,再结合相关公式进行解答。
9.(2024·济宁期末)2024年是中国龙年,小明在购物广场看到一个售卖员,正声嘶力竭地喊道:“挥泪大甩卖,不要九九八,只要八十八,纯金吊坠带回家。”小明忍不住诱惑给妈妈买了一个实心的金龙吊坠,如图所示。他想知道是真是假,于是测出了这只吊坠的质量为24 g,体积为1.5 cm3。
(1)请你计算这只金龙吊坠的密度。
(2)如果这个金龙吊坠是纯黄金制成,其质量应为多少 (ρ金=19.3×103 kg/m3)
(3)若另一个相同大小纯金制成的空心金龙吊坠的质量为15.44 g,则该吊坠的空心部分体积为多少
解:(1)已知金龙吊坠的质量m=24 g,体积V=1.5 cm3,
这个金龙吊坠的密度:ρ===16 g/cm3=16×103 kg/m3;
(2)根据ρ=知,如果这个金龙吊坠是纯黄金制成,质量应该为:
m金=ρ金V=19.3×103 kg/m3×1.5×10-3 m3=28.95 g;
(3)根据ρ=可得,另一个相同大小纯金制成的空心金龙吊坠中金的实心体积为:
V金===0.8 cm3,
该吊坠的空心部分体积为:V空=V-V金=1.5 cm3-0.8 cm3=0.7 cm3。
类型八　混合物问题
【方法引领】
(1)质量:总质量等于各组成部分的质量之和。
(2)体积:总体积等于各组成部分的体积之和。
(3)密度:根据总质量和总体积之比计算。
10.某合金构件由铝和钢两种材料合成,质量为374 g,其体积是100 cm3。(ρ铝=2.7×103 kg/m3,ρ钢=7.9×103 kg/m3)。求:
(1)合金构件的平均密度。
(2)合金构件中含铝的质量。
【点思路】根据合金中铝的质量加上钢的质量等于总质量,构件的体积等于原来两种金属体积之和,结合密度公式列出等式,联立求解。
解:(1)这种合金的平均密度为:ρ===3.74 g/cm3=3.74×103 kg/m3。
(2)设铝的质量为m铝,钢的质量为m钢,则m铝+m钢=374 g ①;
由ρ=可得V=,且合金构件的体积等于原来两种金属体积之和,则有+=100 cm3,即+=100 cm3②;联立①②式,解得m铝=216 g。

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