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2022-2023学年辽宁省普通高中高一（下）学业水平合格性数学试卷（3月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，1，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣3，1} B．{﹣3，3} C．{﹣1，1} D．{﹣1，3}
2．（3分）乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（　　）
A．l α B．l⊥α C．l∥α D．l与α相交
3．（3分）已知p：x＜1，q：x＜2，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（3分）若两个正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（　　）
A． B．2 C．4 D．
5．（3分）高二（1）班在体育课上进行足球射门练习，甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7．若甲、乙各射门一次，则甲、乙都命中的概率是（　　）
A．0.12 B．0.18 C．0.28 D．0.42
6．（3分）卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高的中位数y与年龄x之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国7岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（　　）
A．y＝ax+b（a＞0，b＞0） B．y＝ax2+b（a＞0，b＞0）
C． D．y＝aex+b（a＞0，b＞0）
7．（3分）若，且α为第二象限角，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）下列函数在R上既是奇函数，又是增函数的是（　　）
A．y＝﹣x B．y＝x﹣1 C．y＝x2 D．y＝x3
9．（3分）随着“碳达峰，碳中和”目标的提出，各地都在积极推进“绿色出行，低碳出行”．某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况，进行一次问卷调查，该校学生共有900人，其中男生500人，女生400人，现用分层抽样的方法从这所学校抽取45人，则抽取的男生人数是（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
10．（3分）如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O．，，且，则λ+μ＝（　　）
A． B．1 C． D．2
11．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰，置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体V，求其直径d的一个近似公式．已知球的半径为1，则由此公式可得球的体积约是（　　）
A． B． C． D．
12．（64分）已知函数，则不等式f（x）≤3的解集是（　　）
A．[3，8] B．（﹣∞，3]∪[8，+∞）
C．[﹣3，8] D．（﹣∞，﹣3]∪[8，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程）
13．（3分）计算：log28﹣log216＝　 　 ．
14．（3分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝ 　 　 ．
15．（3分）已知方程的两根为x1与x2，则的值是　 　 ．
16．（3分）已知函数，，则f（x）的最小值是　 　 ．
三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．向量．
（1）若，求k的值．
（2）若，求．
18．“仓廪实，天下安”，对我们这样一个有着14亿人口的大国来说，农业基础地位任问时候都不能被忽视和削弱．种子是农业的“芯片”，确保粮食安全，必须攥紧种子“芯片”，某农科院的专家为了丁解新培育的甲，乙两种种子出芽后麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种种子的两块试验田中各取6株麦苗测量株高，得到的数据用茎叶图表示如下（单位：cm），中间一列的数字表示株高的十位数，两边的数字表示株高的个位数．
甲 乙
9 0 8
0 1 1 1 1 4 3 0 1
0 2 2
（1）求甲种麦苗株高的中位数和众数；
（2）分别计算两组数据的平均数和方差，并由此判断甲、乙两种麦菌株高的差异性．
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c2﹣ab＝（a﹣b）2．
（1）求角C；
（2）若A＝75°，，求b．
20．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为B1C1的中点，F为A1B与AB1的交点．
（1）求证：EF∥平面A1ACC1；
（2）若A1A＝AC＝3，BC＝4，AB＝5，求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．
21．已知函数．
（1）当a＝2时，求f（3）的值；
（2）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．
2022-2023学年辽宁省普通高中高一（下）学业水平合格性数学试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C A C D C B D B B D
题号 12
答案 C
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知集合A＝{﹣3，﹣1，1，3}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣3，1} B．{﹣3，3} C．{﹣1，1} D．{﹣1，3}
【解答】解：因为B＝{x|x2﹣2x﹣3＝0}＝{﹣1，3}，
所以A∩B＝{﹣1，3}．
故选：D．
2．（3分）乒乓球是一项深受我国广大人民群众喜爱的体育运动，乒乓球台主要由乒乓球网和台面组成．如图所示，如果将乒乓球台的台面抽象成平面α，将乒乓球网的上边缘抽象成直线，则直线l与平面α的位置关系是（　　）
A．l α B．l⊥α C．l∥α D．l与α相交
【解答】解：由题意得l α，且l平行于乒乓球网的下边缘，
而乒乓球网的下边缘在平面α内，
则直线l与平面α的位置关系是l∥α，故C正确．
故选：C．
3．（3分）已知p：x＜1，q：x＜2，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：因为p：x＜1，q：x＜2，
又{x|x＜1} {x|x＜2}，
所以p是q的充分不必要条件．
故选：A．
4．（3分）若两个正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为（　　）
A． B．2 C．4 D．
【解答】解：∵两个正实数x，y满足x+y＝1，
则（x+y）（）＝11＝2+24，当且仅当y＝x时，取得最小值为4．
故选：C．
5．（3分）高二（1）班在体育课上进行足球射门练习，甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7．若甲、乙各射门一次，则甲、乙都命中的概率是（　　）
A．0.12 B．0.18 C．0.28 D．0.42
【解答】解：高二（1）班在体育课上进行足球射门练习，
甲同学的命中率为0.6，乙同学的命中率为0.7．
∴甲、乙各射门一次，甲、乙都命中的概率是0.6×0.7＝0.42．
故选：D．
6．（3分）卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高的中位数y与年龄x之间的关系如图所示，从图中可以看出，我国7岁以下女童身高增长速度越来越慢．下列最能反映这种变化趋势的函数模型是（　　）
A．y＝ax+b（a＞0，b＞0） B．y＝ax2+b（a＞0，b＞0）
C． D．y＝aex+b（a＞0，b＞0）
【解答】解：由函数的部分图象知，y随着x的增长，y的增长速度越来越慢，C选项中的函数模型y＝ab（a＞0，b＞0）较为合适．
故选：C．
7．（3分）若，且α为第二象限角，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，且α为第二象限角，
∴sinα，
则tanα．
故选：B．
8．（3分）下列函数在R上既是奇函数，又是增函数的是（　　）
A．y＝﹣x B．y＝x﹣1 C．y＝x2 D．y＝x3
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，函数y＝﹣x，是正比例函数，在R上是奇函数，且为减函数，A不满足条件；
对于B，函数y＝x﹣1，是一次和函数，在R上不是奇函数，且为增函数，B不满足条件；
对于C，函数y＝x2，是二次函数，在R上是偶函数，且不单调，C不满足条件；
对于D，函数y＝x3，是幂函数，在R上奇函数，且为增函数，D满足条件．
故选：D．
9．（3分）随着“碳达峰，碳中和”目标的提出，各地都在积极推进“绿色出行，低碳出行”．某高中环保社团为了了解学生出行选择交通工具的情况，进行一次问卷调查，该校学生共有900人，其中男生500人，女生400人，现用分层抽样的方法从这所学校抽取45人，则抽取的男生人数是（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
【解答】解：进行一次问卷调查，该校学生共有900人，其中男生500人，女生400人，
用分层抽样的方法从这所学校抽取45人，
则抽取的男生人数是由题意可知：
抽取的男生人数是人．
故选：B．
10．（3分）如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O．，，且，则λ+μ＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：因为行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，，且，
则O为AC的中点，且，
则，故λ+μ＝1．
故选：B．
11．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰，置积尺数，以十六乘之，九面一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体V，求其直径d的一个近似公式．已知球的半径为1，则由此公式可得球的体积约是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为求其直径d的一个近似公式，又球的半径为1，
所以，
解得，
故该球的体积约为．
故选：D．
12．（64分）已知函数，则不等式f（x）≤3的解集是（　　）
A．[3，8] B．（﹣∞，3]∪[8，+∞）
C．[﹣3，8] D．（﹣∞，﹣3]∪[8，+∞）
【解答】解：根据题意可知，不等式f（x）≤3，可化为或，
所以或，
所以﹣3≤x≤0或0＜x≤8，即得﹣3≤x≤8．
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．要求直接写出答案，不必写出计算过程或推证过程）
13．（3分）计算：log28﹣log216＝　﹣1　 ．
【解答】解：由对数运算性质，可得．
故答案为：﹣1．
14．（3分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2i，则z＝ 　﹣1+i　 ．
【解答】解：．
故答案为：﹣1+i．
15．（3分）已知方程的两根为x1与x2，则的值是　　 ．
【解答】解：根据题意可知，方程的两根为x1与x2，
则，
则．
故答案为：．
16．（3分）已知函数，，则f（x）的最小值是　﹣1　 ．
【解答】解：因为，
因为，所以；
故．
故答案为：﹣1．
三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．向量．
（1）若，求k的值．
（2）若，求．
【解答】解：向量，
（1）因为，所以1×k＝1×（﹣3），则k＝﹣3；
（2）因为，
所以1×k+1×（﹣3）＝0，k＝3，
解得，．
18．“仓廪实，天下安”，对我们这样一个有着14亿人口的大国来说，农业基础地位任问时候都不能被忽视和削弱．种子是农业的“芯片”，确保粮食安全，必须攥紧种子“芯片”，某农科院的专家为了丁解新培育的甲，乙两种种子出芽后麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种种子的两块试验田中各取6株麦苗测量株高，得到的数据用茎叶图表示如下（单位：cm），中间一列的数字表示株高的十位数，两边的数字表示株高的个位数．
甲 乙
9 0 8
0 1 1 1 1 4 3 0 1
0 2 2
（1）求甲种麦苗株高的中位数和众数；
（2）分别计算两组数据的平均数和方差，并由此判断甲、乙两种麦菌株高的差异性．
【解答】解：（1）从种植有甲、乙两种种子的两块试验田中各取6株麦苗测量株高，
由茎叶图得甲种麦苗株高由小到大依次为：
9、10、11、11、11、20，
中位数为，众数为11，
∴甲种麦苗株高的中位数为11，众数为11．
（2）甲种麦苗株高的平均数为，
方差为，
由茎叶图得乙种麦苗株高由小到大依次为8、10、11、13、14、22，
乙种麦苗株高的平均数为，
方差为，
∴，，
∴乙麦苗普遍长得高，但是高低质量差异明显．
19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c2﹣ab＝（a﹣b）2．
（1）求角C；
（2）若A＝75°，，求b．
【解答】解：（1）因为c2﹣ab＝（a﹣b）2，c2﹣ab＝a2﹣2ab+b2，
整理可得ab＝a2+b2﹣c2，
由余弦定理可得2abcosC＝a2+b2﹣c2，
可得cosC，
因为0°＜C＜180°，
所以C＝60°；
（2）因为B＝180°﹣A﹣C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
由正弦定理得，
即，解得b．
20．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E为B1C1的中点，F为A1B与AB1的交点．
（1）求证：EF∥平面A1ACC1；
（2）若A1A＝AC＝3，BC＝4，AB＝5，求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．
【解答】解：（1）证明：如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1，
则F是AB1的中点，由E为B1C1的中点，所以EF∥AC1，
又AC1 平面A1ACC1，EF 平面A1ACC1，
所以EF∥平面A1ACC1；
（2）因为A1A＝AC＝3，BC＝4，AB＝5，
所以AC2+BC2＝25＝AB2，所以BC⊥AC，
又CC1⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以BC⊥CC1，
AC∩CC1＝C，AC，CC1 平面A1ACC1，
所以BC⊥平面A1ACC1，
所以四棱锥B﹣A1ACC1的体积为：
．
21．已知函数．
（1）当a＝2时，求f（3）的值；
（2）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，，
所以f（3）＝log2（9﹣6+1）＝log24＝2．
（2）因为函数的定义域为R，
所以x2﹣ax+1＞0对任意的x∈R恒成立．
所以Δ＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．
所以实数a的取值范围是（﹣2，2）．
（3）由题意可知，不等式log24对任意的x∈[1，2]恒成立，
所以x2﹣ax+1≥4，可得，
因为函数y＝x、在[1，2]上均为单调递增函数，
所以函数在[1，2]上为增函数，
所以t（x）min＝t（1）＝1﹣3＝﹣2，
所以a≤﹣2．
因此实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．

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