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2024-2025学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．（1，+∞）
C．[1，+∞） D．（0，+∞）
2．（5分）某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个样本容量为60的样本，则行政人员应抽取（　　）
A．40人 B．28人 C．12人 D．8人
3．（5分）某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（　　）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
4．（5分）若a＝log0.32，b＝log23，c＝log69，则（　　）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
5．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣8）xm﹣2，且f（x）的图象在第一象限内单调递增，则实数m＝（　　）
A．0 B．﹣3 C．3 D．3或﹣3
6．（5分）函数的值域为（　　）
A． B． C．（﹣∞，﹣2] D．
7．（5分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是（　　）
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
A．24 m3 B．22m3 C．20m3 D．15 m3
8．（5分）已知a＞0且a≠1，若函数的值域为R，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．[2，+∞） C．（0，1） D．（1，+∞）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}．则图中阴影部分表示的集合是（　　）
A． UA B． U（A∪B）
C．{﹣3，4} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}
（多选）10．（6分）设函数，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的定义域为R
B．f（x）的单调递增区间为[1，+∞）
C．f（x）的最小值为3
D．f（x）的图象关于x＝1对称
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ln|x﹣2|﹣ln|x|，则（　　）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增
C．f（x）的图象关于点（1，0）对称
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）命题：“ x∈R，x2≤x﹣1”的否定是 　 　 ．
13．（5分）设正数a，b满足a+b＝ab﹣3，则a+b+ab的最小值为 　 　 ．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣6）＝0．当x2＞x1≥0时，（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0．则不等式的解集为 　 　 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
16．已知函数．
（1）在平面直角坐标系中，画出函数f（x）的简图；
（2）根据函数f（x）的图象，写出函数f（x）的单调区间；
（3）若f（t）＝6，求实数t的值．
17．对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
分组 频数 频率
[10，15） 10 0.20
[15，20） 24 n
[20，25） m p
[25，30] 2 0.04
合计 M 1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；
（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）
18．已知x＞2，y＞0，xy＝y+4．
（1）求x+y的最小值和（x﹣1）2+y2的最小值；
（2）求的最小值．
19．设函数y＝f（x）在区间D上有定义，若对任意x1∈D，都存在x2∈D使得：，则称函数y＝f（x）在区间D上具有性质p（m）．
（1）判断函数f（x）＝2x在R上是否具有性质p（0），并说明理由；
（2）若函数f（x）＝3x﹣1在区间[0，a]（a＞0）上具有性质p（1），求实数a的取值范围；
（3）设t∈[0，2]，若存在唯一的实数m，使得函数f（x）＝﹣x2+2tx+3在[0，2]上具有性质p（m），求t的值．
2024-2025学年辽宁省朝阳市建平实验中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B B C D C B
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC ABD BCD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．（1，+∞）
C．[1，+∞） D．（0，+∞）
【解答】解：函数，
令，解得x＞1，
所以函数f（x）的定义域为（1，+∞）．
故选：B．
2．（5分）某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个样本容量为60的样本，则行政人员应抽取（　　）
A．40人 B．28人 C．12人 D．8人
【解答】解：根据分层抽样的定义可得抽取的行政人员数为12，
故选：C．
3．（5分）某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（　　）
A．3 B．4 C．3.5 D．4.5
【解答】解：这组数从小到大排序为：1，2，3，3，4，5，
由6×75%＝4.5，
∴由百分位数的定义能求出这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4．
故选：B．
4．（5分）若a＝log0.32，b＝log23，c＝log69，则（　　）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【解答】解：∵a＝log0.32，b＝log23，c＝log69，
∴，
∴b＞c＞a．
故选：B．
5．（5分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣8）xm﹣2，且f（x）的图象在第一象限内单调递增，则实数m＝（　　）
A．0 B．﹣3 C．3 D．3或﹣3
【解答】解：因为幂函数f（x）＝（m2﹣8）xm﹣2的图象在第一象限内单调递增，
由幂函数定义及性质可得，，解得m＝3．
故选：C．
6．（5分）函数的值域为（　　）
A． B． C．（﹣∞，﹣2] D．
【解答】解：令，则x＝t2+1，t≥0，
则，
故当时，函数取得最大值，
所以的值域为．
故选：D．
7．（5分）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是（　　）
每户每月用水量 水价
不超过12m3的部分 3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分 6元/m3
超过18m3的部分 9元/m3
A．24 m3 B．22m3 C．20m3 D．15 m3
【解答】解：根据题意：当用水量超过12m3但不超过18m3时，水费不超过36+6×6＝72元；
当用水量不超过12m3时，水费等于或小于12×3＝36元；
当交纳水费为90元时，用水量为m3．
故选：C．
8．（5分）已知a＞0且a≠1，若函数的值域为R，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2] B．[2，+∞） C．（0，1） D．（1，+∞）
【解答】解：函数的值域为R，
若0＜a＜1，当x≥0时f（x）＝ax+1，此时f（x）∈（1，2]，
又当x＜0时f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣2＝﹣（x+a）2+a2﹣2≤a2﹣2，
此时f（x）的值域不可能为R，故舍去；
所以a＞1，则当x≥0时f（x）＝ax+1，此时f（x）∈[2，+∞）；
当x＜0时f（x）＝﹣x2﹣2ax﹣2＝﹣（x+a）2+a2﹣2≤a2﹣2，
要使f（x）的值域为R，则，解得a≥2，
即a的取值范围是[2，+∞）．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}．则图中阴影部分表示的集合是（　　）
A． UA B． U（A∪B）
C．{﹣3，4} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}
【解答】解：全集U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}，B＝{﹣4，2，3}．
由x2﹣x﹣6≤0，即（x+2）（x﹣3）≤0，解得﹣2≤x≤3，
∴A＝{x∈Z|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈Z|﹣2≤x≤3}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
又B＝{﹣4，2，3}，U＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，
∴A∪B＝{﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴图中阴影部分表示的集合是 U（A∪B）＝{﹣3，4}．
故选：BC．
（多选）10．（6分）设函数，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的定义域为R
B．f（x）的单调递增区间为[1，+∞）
C．f（x）的最小值为3
D．f（x）的图象关于x＝1对称
【解答】解：易知函数的定义域为R，选项A正确；
由y＝3u与u（x）＝x2﹣2x+3复合，而y＝3u为单调递增函数，
所以函数的单调递减区间为u（x）＝x2﹣2x+3单调递减区间（﹣∞，1），
函数的单调递增区间为u（x）＝x2﹣2x+3单调递增区间[1，+∞），选项B正确；
由选项B可知，故选项C错误；
因为，所以f（x）的图象关于x＝1对称．故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ln|x﹣2|﹣ln|x|，则（　　）
A．f（x）的定义域为R
B．f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增
C．f（x）的图象关于点（1，0）对称
D．
【解答】解：由题意可得，，解得x≠2且x≠0，故A错误；
当x＜0时，，
因为在（﹣∞，0）上单调递增，且，
又y＝lnx在定义域上单调递增，
根据复合函数单调性可知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，故B正确；
因为f（2﹣x）+f（x）＝ln|2﹣x﹣2|﹣ln|2﹣x|+ln|x﹣2|﹣ln|x|
＝ln|x|﹣ln|x﹣2|+ln|x﹣2|﹣ln|x|＝0，
所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，故C正确；
因为，所以，
又，
所以，即，
所以，所以，即，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）命题：“ x∈R，x2≤x﹣1”的否定是 　 x∈R，x2＞x﹣1　 ．
【解答】解：全称命题：“ x∈R，x2≤x﹣1”的否定为特称命题，即： x∈R，x2＞x﹣1．
故答案为： x∈R，x2＞x﹣1．
13．（5分）设正数a，b满足a+b＝ab﹣3，则a+b+ab的最小值为 　15　 ．
【解答】解：因为正数a，b满足a+b＝ab﹣3，所以，
解得ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号，
所以a+b+ab＝2ab﹣3≥15，当且仅当a＝b＝3时取等号，
即a+b+ab的最小值为15．
故答案为：15．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣6）＝0．当x2＞x1≥0时，（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0．则不等式的解集为 　（﹣∞，﹣6）∪（0，6）　 ．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（﹣6）＝0，
则f（6）＝0；
又当x2＞x1≥0时，由（x2﹣x1）[f（x2）﹣f（x1）]＞0，
可得f（x2）＞f（x1），
因此函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，
所以当﹣6＜x＜6时，f（x）＜0；
当x＞6或x＜﹣6时，f（x）＞0．
不等式或，
可得0＜x＜6或x＜﹣6，故不等式的解集为（﹣∞，﹣6）∪（0，6）．
故答案为：（﹣∞，﹣6）∪（0，6）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
16．已知函数．
（1）在平面直角坐标系中，画出函数f（x）的简图；
（2）根据函数f（x）的图象，写出函数f（x）的单调区间；
（3）若f（t）＝6，求实数t的值．
【解答】解：（1）的图象如图所示：
（2）由图可得函数的单调递增区间为：[0，+∞），单调递减区间为：（﹣∞，0）；
（3）当t≤2时，令|t|＝6，解得t＝﹣6；
当t＞2时，令2t﹣2＝6，解得t＝3；
综上，当f（t）＝6时，t＝﹣6或t＝3．
17．对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
分组 频数 频率
[10，15） 10 0.20
[15，20） 24 n
[20，25） m p
[25，30] 2 0.04
合计 M 1
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数；
（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数．（保留一位小数）
【解答】解：（1）由分组[10，15）对应的频数是10，频率是0.20，可得，
解得M＝50，
所以10+24+m+2＝50，解得m＝14，
所以；
（2）估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15，20）内的人数为；
（3）估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是，
因为，
所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数x满足，
解得x＝18.125，
即该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为18.1，
估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是12.5×0.20+17.5×0.48+22.5×0.28+27.5×0.04＝18.3．
18．已知x＞2，y＞0，xy＝y+4．
（1）求x+y的最小值和（x﹣1）2+y2的最小值；
（2）求的最小值．
【解答】解：（1）因为x＞2，y＞0，xy＝y+4，
所以2，解得0＜y＜4，
所以，当且仅当，即y＝2，x＝3时取等号，
所以x+y的最小值为5；
又，当且仅当，即y＝2，x＝3时取等号，
所以（x﹣1）2+y2的最小值为8．
（2）因为，x＞2且0＜y＜4，
所以
，
当且仅当，即y＝2，x＝3时取等号，
所以的最小值为5．
19．设函数y＝f（x）在区间D上有定义，若对任意x1∈D，都存在x2∈D使得：，则称函数y＝f（x）在区间D上具有性质p（m）．
（1）判断函数f（x）＝2x在R上是否具有性质p（0），并说明理由；
（2）若函数f（x）＝3x﹣1在区间[0，a]（a＞0）上具有性质p（1），求实数a的取值范围；
（3）设t∈[0，2]，若存在唯一的实数m，使得函数f（x）＝﹣x2+2tx+3在[0，2]上具有性质p（m），求t的值．
【解答】解：由已知得对任意x1∈D，都存在x2∈D使得f（x2）＝﹣x1+2m，即函数y＝﹣x+2m，x∈D的值域为y＝f（x），x∈D值域的子集，
（1）因为f（x）＝2x的值域为R+，y＝﹣x的值域为R，显然R不是R+的子集，即函数f（x）＝2x在R上不具有性质p（0）；
（2）函数f（x）＝3x﹣1在区间[0，a]（a＞0）的值域为[﹣1，3a﹣1]，函数y＝﹣x+2在[0，a]上的值域为[﹣a+2，2]，
要使函数f（x）具有性质p（1），只需，解得1≤a≤3，即a的取值范围为[1，3]；
（3）由题意y＝﹣x+2m的值域为[2m﹣2，2m]，
因为t∈[0，2]，所以f（x）＝﹣x2+2tx+3的对称轴x＝t∈[0，2]，且开口向下，
所以f（x）的最大值为f（t）＝t2+3，又f（0）＝3，f（2）＝4t﹣1，
当3≤4t﹣1，即2≥t≥1时，f（x）的值域为[3，t2+3]，要满足题意，只需，解得m，t1，符合题意；
当4t﹣1＜3，即0≤t＜1时，f（x）的值域为[4t﹣1，t2+3]，要满足题意，只需，解得t＝2±，所以t＝2符合题意，
综上，t的取值为2，．

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