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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高二下学期期末热身考试数学试卷（十）
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．14种 C．24种 D．48种
2．若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．840 B． C． D．210
3．下列说法正确的是（ ）
A．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类，现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有24种
B．从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有5条，则从A村经过B村去C村不同的路线的条数为8
C．一个两层书架，分别放置语文类读物4本，数学类读物5本，每本读物各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有20种
D．从1，2，3，4，5五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为60
4．甲、乙两人各抛掷一枚质地均匀的硬币，甲抛掷3次，乙抛掷2次，且每次抛掷结果相互独立，则甲正面向上次数大于乙正面向上次数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位与点的距离不大于一个单位的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，统计出小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：h）与当天投篮命中率的成对数据满足的关系式：，，．若与满足线性回归方程，则回归系数（ ）（参考公式：）
A．0.04 B．0.03 C．0.02 D．0.01
8．根据成对样本数据建立变量y关于x的经验回归方程为，若y的均值为6.2，则x的均值为（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量，且，则
B．随机变量服从两点分布，且，则
C．对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，对两个变量进行相关性检验，得到相关系数为，则与负相关，与正相关，其中与的相关性更强
D．残差平方和越小，模型的拟合效果越差
10．已知离数型随机变量X的分布列如下表所示：
X 0 1 2
P
下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）

A．第6行中，有两个相等的最大数 B．
C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．某英语听力测试规则如下：测试者听一段录音材料，录音材料用标准的英式英语依次朗读4个发音相近的英文单词，该段录音材料仅播放一遍，播放完后，测试者根据刚刚播放的录音材料确认录音材料中4个英文单词的先后朗读顺序，即完成一次测试.若测试者甲在一次测试中每正确答出一个英文单词的朗读顺序加20分，则测试者甲在一次测试中所得分数不高于60分且至少正确答出一个英文单词朗读顺序的概率为 .
13．天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.7，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为 .
14．用（为自然对数的底数）拟合一组数据时，为了求出回归方程，令，变换后得到的线性回归方程为，则
四、解答题（共6小题，共70分）
15．已知某产品的一个零件在甲工厂生产，由于设备老化，甲工厂生产的零件次品率为0.1．
(1)为了解甲工厂生产情况，从生产的所有零件中随机抽取3件，记这3件产品中正品与次品的个数分别为X，Y，记随机变量，求的分布列及；
(2)为降低产品次品率，甲工厂进行了技术改进，从改进后第1个月开始连续收集5个月的观测数据，用表示改进后的第i个月，用（单位：%）表示改进后第i个月的次品率，其中，利用最小二乘法得到经验回归直线方程为，求相关系数r（精确到0.01），并判断该经验回归直线方程是否有价值．
附：①．
②，若，则认为该经验回归直线方程有价值．
③．
16．设为正整数，，，…为枚质地不均匀的硬币.投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为.同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功.
(1)当，时，求游戏成功的概率；
(2)当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列；
(3)设，对于，的取值如下：，设此时游戏成功的概率为，求证：.
17．某校高二年级安排6名优秀学生按照以下要求报名参加数学、物理、化学竞赛，每名学生限报一科竞赛.
(1)若三科竞赛均有2人报名参加，有多少种不同的报名方法？
(2)若4人报名参加数学竞赛，另外两科竞赛各1人报名参加，有多少种不同的报名方法？
(3)若三科竞赛均有人报名参加，有多少种不同的报名方法？
18．在二项式的展开式中.
(1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项；
(2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项.
19．“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年，某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x（单位：亿元）对年盈利额y（单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额和年盈利额数据进行分析，建立了如下函数模型：，其中λ，t均为常数，e为自然对数的底数．令，经计算得如下数据：，，问
(1)建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；
(2)若希望2025年盈利额y为1000亿元，请预测2025年的研发资金投入额x约为多少亿元？（结果精确到0.01）
附：回归直线中：
参考数据：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D A B C D B AB BCD
题号 11
答案 BCD
12． 13．/ 14．
15．（1）由已知，所以，，
的取值分别为3，1，，，
，
所以的分布列为
3 1
0.729 0.243
（2）由已知，
，则，
所以，
，则认为该经验回归直线方程有价值．
16．(1)
（2）设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示，
当时，投掷枚硬币，，…，正面朝上的硬币为奇数有两种情况：
第一：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上；
第二：硬币，，…，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上.
此时，，所以（且），
则，且，则是以为首项，为公比的等比数列.
（3）方法一：当时，此时游戏成功的概率记为，.
由（2）知：，则，（）
所以，（）①
当时，，
则，
注意到：，则，
故：②
当时，，
则：③.
结合①②③：
由于，当时，，，，则；
当时，，则；
当时，，，，则.
综上：对任意的，成立.
方法二：对于个硬币出现奇数的概率为，
∴
∴
∴
∴等比，∴
∴前个硬币出现奇数的概率
中间个：
后面个：
当时，.
当时，.
当时，.
∴成立.
17．(1)90(2)30(3)540
18．(1)，
(2)，84
19．(1)(2)

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