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广西钦州市第十三中学2024-2025学年高二下学期期末热身考试数学试卷（六）
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.四答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。四答非选择题时,将答案写在签题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结来后,将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．26 B．28 C．30 D．32
2．已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”．（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．非充分非必要
3．已知数列，若数列与数列都是公差不为零的等差数列，则数列的公差为（ ）
A． B． C． D．不确定
4．已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立
5．若函数图象在点处的切线方程为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设的导函数为，且在处可导，则“是的极值点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．曲线在处的切线如图所示，则＝（ ）

A．0 B．2 C．－2 D．－1
二、多选题（共3小题，每小题5分，共15分）
9．已知函数，则（ ）．
A．的图象关于点对称B．的极大值点为
C．在区间上的值域为D．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数t的值为
10．函数是定义域为的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ）
A．当时， B．方程有3个不等实根
C．函数有最大值 D．
11．已知数列：，其中第1项为，接下来的2项为，接下来的4项为，依此类推，设为的前项和，则（ ）
A． B．
C．有且仅有一个正整数，使得 D．存在无数个正整数，使得
第II卷（非选择题）
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知无穷数列满足．给出下列四个结论：
①若且，则；
②若，则中有无穷多项是1；
③存在一组，使得单调递增；
④中一定存在一项．其中所有正确结论的序号为 ．
13．《庄子·天下篇》中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.其中隐含了关系式：．类似的，我们可以将一个无限循环小数表示为分数： ．
14．已知实数x，y满足，且，若实数a，b使得关于x的方程在区间上有解，则的最小值是 ．
四、解答题（共6小题，共70分）
15．已知函数，其中.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，，设曲线在点处的切线交轴于点.
（i）求出点的横坐标（用表示）；
（ii）已知点在轴上，且轴，求证：存在唯一的点，使得为等腰直角三角形.
16．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的极值；
(3)数，设是的极值点，且，求证：．注：表示a，b，c中最小的．
17．已知数列的前项和为，满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，.求的前13项和.
18．设数列的前n项和为，且满足：．
(1)求；
(2)设数列满足：．
（ⅰ）求的通项公式及其前n项和；
（ⅱ）若对任意，有，求实数的最大值．
19．已知双曲正弦函数，双曲余弦函数．
(1)求双曲正弦函数在处的切线方程；
(2)证明：当时，；
(3)证明：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D B D A C AC ABD
题号 11
答案 ABD
12．②④ 13． 14．
15.（1），其中，定义域为，
令，则或，
当时，即，此时，所以在上单调递减；
当时，即，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，即，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）（i）当时，，，
当时，，，
所以曲线在点处的切线方程为，
令，则，所以点
所以点的横坐标.
（ii），，
已知点在轴上，且轴，
所以，若为等腰直角三角形，则，
即，
则，因为，所以，
画出，图象如图：
结合图象可知，，在有一个交点，
所以存在唯一的点，使得为等腰直角三角形.
16．(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)极大值为，无极小值
（3）由（1）（2）可知在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，
且当，，，
在同一直角坐标系中，作出两个函数的图象如下图所示：故存在，使得，
，则图中实线为的图象，
当时，单调递增，时，单调递减，
则是函数的极值点，，即．
，不妨设，即．
要证，只需证
令
记,
当单调递增，当单调递减，
所以，故，
故，进而
，
所以在上单调递增，
于是有
故得证
17．(1)
(2)7
18．(1)
(2)（i）；（ⅱ）
19．(1)；
（2）方法一：令，
则，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以当时，成立．
方法二：先证：当时，，
令，则，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以在上单调递增，
所以，
所以当时，成立．
再证：当时，，
令，则，
因此在上单调递增；
所以，故．
综上，当时，．
（3）先证：，令，
则，令，则，
在上单调递增，，
即在上单调递增，，
，当时取等号，
即，
令，则，
当时，，
即，
则有：，
相加可得：，
因为，则，所以，
即．
又由（2）知，当时，．
所以，．
所以，.

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