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2024-2025 学年广东省深圳高级中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5. ( 为虚数单位)的虚部为( )
A. 1 B. 5 C. 5 D. 5
2.一组数据 2，2，5，5，8，14，15，17 的第 25 百分位数是( )
A. 3.5 B. 2 C. 4.5 D. 5
3.和 = (3,1)垂直的一个单位向量的坐标可以是( )
A. (2, 6) B. ( 1010 ,
3 10
10 ) C. ( 6,2) D. (
3 10
10 ,
10
10 )
4 .已知 sin( + ) = ，sin( ) = ，则tan =( )
A. B. + C. D. + + +
5.设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，下列命题中正确的是( )
A.若 ， ，且 // ，则 //
B.若 ， ，且 ⊥ ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ∩ = ，且 ⊥ ，则 ⊥
D.若 // ， // ，且 ⊥ ，则 ⊥
6 1 3.已知两个随机事件 和 ，其中 ( ) = 2， ( ) = 8， ( ∪ ) =
3
4，则 ( ) =( )
A. 14 B.
1 1
3 C. 2 D.
1
8
7.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知△ 的面积为 5 3， = 4， = 10，则 =( )
A. 21 B. 31 C. 41 D. 61
8.我国古代举世闻名的数学专著《九章算术》将底面为矩形的棱台称为“刍童”.已知棱台
′ ′ ′ ′是一个所有侧棱的长相等，高为 2 的“刍童”， = 2 ′ ′ = 4， = 2 ′ ′ = 4 3，
则该“刍童”外接球的表面积为( )
A. 80 53 B.
80
3 C. 80 D. 5 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 在复平面内对应的点为 ，原点为 ， 为虚数单位，则下列说法正确的是( )

A.若点 的坐标为(1,1)，则 对应的点在第三象限
B.若 2 ≤ | | ≤ 2 2，则点 的集合所构成的图形的面积为 4
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C.若 = 2 3 是关于 的方程 2 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，则 + = 38
D.若 = 2 3 ，则 的模为 13
10.有一组样本数据 1， 2，…， ，其平均数、中位数、方差、极差分别记为 1， 1， 1， 1，由这组数
据得到新样本数据 1， 2，…， ，其中 = + ( = 1,2, …, 且 ≠ 0)，其平均数、中位数、方差、极
差分别记为 2， 2， 2， 2，则( )
A. 2 = 1 + B. = 22 1
C. 2 = 1 + D. 2 2 =1 = 1 + 1
11.如图 1，已知矩形 中， = 2， = 1， 为 中点，现将△ 沿 翻折后得到如图 2 的四棱
锥 ′ ，点 是线段 ′ 上(不含端点)的动点，则下列说法正确的是( )
A.当 为线段 ′ 中点时， //平面 ′
B. ′ ⊥
C.不存在点 ，使 ⊥平面 ′
D.当 为线段 ′ 中点时，过点 ， ， 的截面交 ′于点 ，则 2 = ′
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.哥德巴赫猜想被誉为“数学王冠上的明珠”，可以表述为“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的
和”，如 30 = 7 + 23.素数是除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的大于 1 的自然数.在不超过 15 的
素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 16 的概率是______．
13.已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 + 3 = 0，则 = ______．
14.已知圆 为△ 的外接圆， = , = 3，则 ( 3
+ )的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 15 分)
某芯片工厂生产甲型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这种芯片中抽取 100 件进行检测，获得该项指
标的频率分布直方图，如图所示：
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
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(1)求甲型芯片指标的平均数和第 60 百分位数；
(2)现采用按比例分层抽样的方式，从甲型芯片指标在[70,90)内取 6 件，再从这 6 件中任取 2 件，求指标在
[70,80)和[80,90)内各 1 件的概率．
16.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 的侧面 是正三角形，底面 是正方形，且侧面 ⊥底面 ， = 4，
为侧棱 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
17.(本小题 15 分)
已知 ， ， 分别为△ 三个内角 3， ， 的对边， = 3， 边上的高等于 2 ．
(1)求 的值；
(2)若 = 2，求△ 的面积．
18.(本小题 15 分)
在学校数学活动周中，高一年级举办了数学答题比赛.题目选自模块 1 或模块 2.已知在模块 1 的比赛中，选
1 2
手甲、乙答对的概率分别为2，3 .在模块 2 的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为 和 .假设甲、乙两人在
每个模块中答对与否互不影响.每个人在各模块中的结果也互不影响．
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(1)若在正式比赛前，甲、乙作为代表参加模块 1 的循环答题热身赛.参赛者依次轮流答题，若答对则该选手
获 1 枚印章，若答错则对手获 1 枚印章.连续获两枚印章的选手最终获胜.甲回答第 1 题，乙回答第 2 题，依
次轮流答题.求到第 4 个问题甲获胜的概率．
(2)在正式比赛中，每个选手均要参加两个模块的比赛，每个模块回答一个问题，答对者获 1 枚印章，答错
没有印章．
(ⅰ)若 = 3 24， = 3，求甲、乙共获得 3 枚印章的概率；
(ⅱ) 1 3若甲没有获得印章，乙获得 1 枚印章的概率为12，两人都获得两枚印章的概率为20 .求甲、乙至少有 1 人
获得印章的概率．
19.(本小题 17 分)
如图，在棱长为 3 的正方体 1 1 1 1中.
(1)求二面角 1 1 1 的正切值；
(2)若 1 与平面 1 1交于点 ，求线段 的长；
(3)若点 是平面 1 1内一个动点，且| | + | 1| = 4 + 7，求直线 1 与平面 1 1所成角的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 215
13.12
14.3
15.(1)由频率分布直方图可得各组频率依次为：
10 × 0.002 = 0.02，10 × 0.005 = 0.05，
10 × 0.023 = 0.23，10 × 0.025 = 0.25，
10 × 0.025 = 0.25，10 × 0.020 = 0.2．
因为各组的组中值依次为：45，55，65，75，85，95，
所以甲型芯片指标的平均数为：

= 0.02 × 45 + 0.05 × 55 + 0.23 × 65 + 0.25 × 75 + 0.25 × 85 + 0.2 × 95 = 77.65．
设第 60 百分位数为 ，
因为前四组的频率和为：0.02 + 0.05 + 0.23 + 0.25 = 0.55 < 0.6，
前五组的频率和为：0.02 + 0.05 + 0.23 + 0.25 + 0.25 = 0.8 > 0.6，
所以 ∈ [80,90)，
则 0.55 + ( 80) × 0.025 = 0.6，解得： = 82．
所以甲型芯片指标的平均数为 77.65，第 60 百分位数为 82．
(2)根据频率分布直方图及分层抽样可得：
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指标在[70,80)内取 3 件，分别编号为 1， 2， 3；
指标在[80,90)取 3 件，分别编号为 1， 2， 3．
从甲型芯片指标在[70,90)内取 6 件，再从这 6 件中任取 2 件，
样本空间可记为 = {( 1, 2)，( 1, 3)，( 1, 1)，( 1, 2)，( 1, 3)，( 2, 3)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 2, 3)，
( 3, 1)，( 3, 2)，( 3, 3)，
( 1, 2)，( 1, 3)，( 2, 3)}，共包含 15 个样本点；
指标在[70,80)和[80,90)内各 1 件，包含的样本点有：
( 1, 1)，( 1, 2)，( 1, 3)，( 2, 1)，( 2, 2)，( 2, 3)，
( 3, 1)，( 3, 2)，( 3, 3)，共 9 种；
9 3
所以根据古典概型的概率公式可得：指标在[70,80)和[80,90)内各 1 件的概率为15 = 5．
16.(1)证明：如图，连接 交 于 ，连接 ，
因为底面 是正方形，所以 为 中点，又 为侧棱 的中点，
所以 // ，又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)取 的中点为 ，连接 ，
易知 ⊥ ，且 = 2 3，
又平面 ⊥底面 ，平面 ∩底面 = ，
所以 ⊥平面 ，
所以三棱锥 的体积为：
1 = = 3 =
1 1 16 3．
3 × 2 × 4 × 4 × 2 3 = 3
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17.(1) ∵ 边上的高等于 3
2 ，
∴ = 1△ 2 × ×
3 1 ，即 = 2，
2 = 2
由正弦定理得 = sin2 ，
∵ = 3又 3，∴ = 4，
又∵ cos( + ) = ，
cos( + ) = cos( ) = = 12，
∴ = 3 1 14 2 = 4，
故 = 14；
(2)由(1)知 = 2，
∵ = 2，∴ 2 = 2 ，∵ =

3，
∴由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 = 2 + 22 2 × 2 × cos 3，
即 2 = 2 + 4 2 ，
则 2 = 2 + 4 2 ，即( 2)2 = 0，解得 = 2，
∴△ 的面积 = 12 =
1
2 × 2 × 2 ×
3
2 = 3．
18.(1)题目选自模块 1 或模块 2，
1 2
在模块 1 的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为2，3，
在模块 2 的比赛中，选手甲、乙答对的概率分别为 和 ，
假设甲、乙两人在每个模块中答对与否互不影响．每个人在各模块中的结果也互不影响．
设“甲答对”为事件 ，“乙答对”为事件 ，设“到第 4 个问题甲胜”为事件 ，

则 = ，
1 2 1
∴ ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 2 × 3 × 2
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( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 × 2 × 1 × 1 = 12 3 2 3 18．
(2)设 表示甲在第 个模块答题中答对的事件，
表示乙在第 个模块答题中答对的事件(其中 = 1，2)．
设 表示甲在两个模块答题中答对 个的事件，
表示乙在两个模块答题中答对 个的事件(其中 = 0，1，2)．
( )根据独立性假定，得
1 1 1 3 1 1 3 3
( ( 1) = ( 1 2+ 1 2) = 2 × 4+ 2 × 4 = 2 , ( 2) = ( 1 2) = 2 × 4 = 8 ,

( ) = ( + 2 1 1 2 4 2 2 41 1 2 1 2) = 3 × 3 + 3 × 3 = 9， ( 2) = ( 1 2) = 3 × 3 = 9．
设 =“甲、乙共获得 3 枚印章”，
则 = 1 2 ∪ 2 1，且 1 2与 2 1互斥， 1与 2， 2与 1分别相互独立．
∴ ( ) = ( 1 2) + ( 2 1) = ( 1) ( 2) + ( ) ( ) =
1 4 3 4 7
2 1 2 × 9 + 8 × 9 = 18．
( )设 =“甲、乙至少有一人获得印章”，

( 0) = ( 1 2) =
1
2 (1 )，

( 1) = ( 1 +
2 1 2 1
2 1 2) = 3 × (1 ) + 3 = 3 3 ，
( 10 1) = (1 )(
2 1 1
由已知 2 3 3
) = 12，
( 2 2) =
1
2
2
3 =
3
20
= 3
所以 5，
= 34
( ) = 1 ( 1 1 1 2 1 1 1 590 0) = 1 2 (1 ) 3 (1 ) = 1 2 × 5 × 3 × 4 = 1 60 = 60．
19.(1)取 1 1的中点 ，连接 1F、 ，
则由正方体的性质可得： 1 1 = 1 1， 1 = 1 ，且 1 ⊥平面 1 1 1 1
∴ 1 ⊥ 1 1， ⊥ 1 1，
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故∠ 1 为二面角 1 1 1 的平面角，
又∵ 1 平面 1 1 1 1，
∴ 1 ⊥ 1 ，
∵正方体 1 1 1 1的棱长为 3，
∴ | 1 | = |
3 2
1 1| 45° = 2 ，
则 tan∠ = | 1| 31 | 1 | 3 2
= 2，
2
∴二面角 1 1 1 的正切值为 2．
(2)如图，连接 1 1，
∵四边形 1 1 1 1为正方形，
∴ 1 1 ⊥ 1 1，
由正方体性质可知： 1 ⊥平面 1 1 1 1，
∵ 1 1 平面 1 1 1 1，
∴ 1 1 ⊥ 1，
∵ 1 1 ∩ 1 = 1，
∴ 1 1 ⊥平面 1 1．
∵ 1 平面 1 1，
∴ 1 ⊥ 1 1，
同理可证得 1 ⊥ 1 ，
∵ 1 ∩ 1 1 = 1，
∴ 1 ⊥平面 1 1．
∵ 1 1 = 1 = 1 1， 1 与平面 1 1交于点 ，
∴ △ 1 1≌ △ 1 1≌ △ 1 ，
∴ 1 = = 1，即 为△ 1 1的外心．
∵由正方体的性质可得： 1 1 = 1 = 1，
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∴△ 1 1是正三角形；
∴ 为正△ 1 1的中心．
∵正方体 1 1 1 1的棱长为 3，
∴ | 21| = | 1| + | |2 = 3 2
∵因为点 为 1 1的中点，
∴ | | = 2 23 | | = 3 | 1| 60° =
2
3 × 3 2 ×
3
2 = 6．
(3)如图，由(2)知| | = 6，则| | = | 21 1| | |2 = 3．
由正方体的体对角线公式可得：| 1 | = 3 3，
∴ | | = | 1 | | 1 | = 2 3．
∵ 1 ⊥平面 1 1， 平面 1 1，
∴ ⊥ 1 ，即 1 ⊥ ， ⊥ ．
∵ | | + | 1| = 4 + 7，
∴ | |2 + | |2 + | |2 + | |21 = 4 + 7，即 | |2 + 12 + | |2 + 3 = 4 + 7，
即 | |2 + 12 7 = 4 | |2 + 3，
两边平方后，整理得| |2 = 4，
又∵ | | > 0，
∴ | | = 2，
∴点 的轨迹是以点 为圆心，半径为 2 的圆．
∵ 1 ⊥平面 1 1，
∴ 1 与平面 1 1所成的角为∠ 1 ，且 tan∠ =
| 1 |
1 | | =
3
2 ，
∵ 0 ≤ ∠ 1 ≤

2，
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21
∴ sin∠ 1 = 7
21
故直线 1 与平面 1 1所成角的正弦值为 7 ．
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