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2024-2025 学年江西省上饶市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角 的终边上一点 (5, 12)，则 =( )
A. 513 B.
12 5 12
13 C. 12 D. 5
2.若 = 2 3 ，则复数 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知向量 与 的夹角为6，| | = 3，|
| = 2，则| + | =( )
A. 1 B. 2 3 C. 2 + 3 D. 13
4.设 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )
A.若 ， ， // ，则 // B.若 // ， // ， // ，则 //
C.若 ， ， // ，则 // D.若 // ， ，则 //
5 1.已知 sin( 3 ) = 3，则 cos(2 +

3 ) =( )
A. 79 B.
7 2 2
9 C. 9 D. 9

6 4 + 3 = 0 | |.已知平面上不共线的四点 ， ， ， ，满足 ，则 等于( )
| |
A. 14 B.
3 3 4
2 C. 4 D. 3
7.如图，在山脚 处测得山顶 的仰角为 45°，朝山顶沿坡度为 15°的斜坡向上走 3 到点 处，此时测得山
顶 的仰角为 75°，则山高为( ) ．
A. 3 62
B. 2 3+13
C. 2 3
D. 3( 2+ 6)4
8.已知棱长为 4 的正方体 1 1 1 1，点 是棱 的中点，点 是棱 1的中点，动点 在正方形
1 1 (包括边界)内运动，且 1//平面 ，则 的长度最小值为( )
A. 19 B. 2 5 C. 3 35 12 175 D. 17
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 满足 (1 3) = 2，则( )
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A. 的虚部为 B. | | = 2 C. 2 = 2 2 D. = 2
10.函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. = 1
B. 函数 ( )的图象关于点( 6 , 0)对称
C.将函数 = 2 (2 + ) 3 的图象向右平移4个单位得到函数 ( )的图象
D.若方程 ( ) = 在 ∈ [0, 2 ]上有且只有一个实数根，则 的取值范围是[ 3, 3)
11.已知△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，则下列说法正确的是( )
A.若 = 30°， = 4， = 3，则△ 有两解
B.若 + = ，则△ 为等腰三角形
C.若sin2 + sin2 + cos2 > 1，则△ 为锐角三角形
D. 2若 = 4，点 为△ 的外心，满足
+
= 2 ，则 的值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知扇形的弧长为 6，半径为 4，则扇形的面积为______．
13.如图， 和 是异面直线， = = 6， ， 分别为线段 ， 上的点，
1
且 = = 2， = 10，则 与 所成角的余弦值为______．
14.已知△ 中， = 4， = 2，| + (2 2 ) |( ∈ )的最小值为 2 3，
若 为边 上任意一点， 为边 的中点，则 的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = ( 1,2)， = (1, )．
(1)若( + ) ⊥ ，求 的值；
(2)若| + | = 2 且 < 0，求 在 方向上的投影数量．
16.(本小题 15 分)
1 1+2 ( + )sin(
)
(1)已知 = 3，求
2
cos2 sin2 的值．
(2)已知 3 (2 + ) + 2 = 0，求 tan( + ) ．
17.(本小题 15 分)
如图，四边形 是平行四边形，点 是平面 外一点.已知 ， 分别是 ， 的中点，在 上取一
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点 ，过 和 作平面交平面 于 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： // ．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin(4 + 3 ) + 4 ．
(1)求 ( )的单调增区间；
(2)若关于 的方程 2 ( 4 24 ) + ( 12 4 ) = 3 在区间[0,2 )内有两个不同的解 1， 2( 1 < 2).
( )求实数 的取值范围；
( )求 cos( 1 2)(用 表示)．
19.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，若 = 2，(2 ) = ， 是△ 内任一点，
过点 作 ， ， 的垂线，垂足分别为 ， ， ．
(1)求角 ；
(2)若 为 边中点，求 的最大值；
(3)柯西不等式是以数学家柯西的名字命名.请借助于三维分式型柯西不等式：对任意 1 > 0， 2 > 0， 3 > 0，
2 2 2 2
有：经 1 + 2 + 3 ≥
( 1+ 2+ 3) 1 2 3 | | 4| | | |
1 2 3 1+ +
，当且仅当 = = 时等号成立.求 =2 3 1 2 3 | |
+ | | + | |的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.58
14.1516
15(1) = ( 1,2)， = (1, )．
则 + = ( , + 2)，
由于( + ) ⊥ ，所以( + ) = 2 + 3 = 0，
所以 = 0 或 3．
(2)由(1)可知， + = ( , + 2)，
若| +
2 2
| = 2 且 < 0，则 + ( + 2) = 2，解得 = 2，
< 0
则 = ( 3,2)， = (1, 2)，可得 = 7，| | = 5；

所以 在 7 7 5方向上的投影数量
|
= = ．
| 5 5
16.(1) 1方法一：因为 = 3，
= 1 2
2
= sin +cos
2 2 2= tan +1 2 1所以原式 cos2 sin2 cos2 sin2 1 tan2 = 2；
= 1 2 = ( )
2
= 1 1方法二：原式 cos2 sin2 ( ) ( + ) + = 1+ = 2；
(2)因为 3 (2 + ) + 2
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= 3 [ + ( + )] + 2 [( + ) ]
= 3 ( + ) 3 ( + ) + 2 ( + ) + 2 ( + )
= 5 ( + ) sin( + )
= 0，
所以 tan( + ) = sin( + ) cos( + )cos = 5，
所以 tan( + ) = 5．
17.证明：(1)取 中点 ，连接 ， ， ，
易知 为△ 1中位线，故 // ，且 = 2 ，
因为四边形 是平行四边形，
所以 // ， = ，
故 // ，又因为 是 的中点，
所以 = 1 12 = 2 = ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)连接 ，交 于 ，连接 ，如图：
因为四边形 是平行四边形，所以 是 的中点，
又因为 是 的中点，所以 为△ 的中位线，
所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
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所以 //平面 ，
又因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ．
18.(1)原式= 4 3 + 4

3 + 4 =
1
2 4 +
3
2 4 + 4 =
3
2 4 +
3
2 4 =
3sin(4 + 6 )，
令 2 ≤ 4 + 2 6 ≤ 2 + 2，所以有 2 6 ≤ ≤ 2 + 12，
( ) [ 即 单调增区间为 2 6 , 2 + 12 ]( ∈ )．
(2)( ) 2 ( 由 4 24 ) + (

12 4 ) = 3 ，得 2 3 + 3sin(

2 ) = 3 ，
化简得 2 + = ，即 5sin( + ) = ，其中 = 1 2 5， = 5，所以有| 5 | < 1，
即 5 < < 5时，方程在区间[0,2 )内有两个不同的解，
所以实数 的取值范围为( 5, 5)；
( )当 1 ≤ < 5 时， 1 + 2 + 2 = 2( 2 ) = ，可得 1 2 = 2( 2 + )，
此时 cos( 1 2) = cos[2( 2 + )] = 2 2( 2 + ) 1，
结合而 sin( + ) = ，可得 cos( ) = 2 22 5 1 2 ( 2 + ) 1 =
2 25 1；
当 5 < < 1 3 时， 1 + 2 + 2 = 2( 2 ) = 3 可得 1 2 = 3 2( 2 + )，
此时 cos( 1 2) = cos[2( 2 + )] = 2 2( 2 + ) 1，
2
结合 sin( 2 + ) = 5，可得 2
2( 2 + ) 1 = 5
2 1．
所以有 cos( 1
2 2
2) = 5 1．
19.(1)因为(2 ) = ，
由正弦定理可得(2 ) = ，
整理可得 2 = + = sin( + ) = ，
且 ∈ (0, )，则 ≠ 0 = 1，可得 2，
且 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
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(2)在△ 中， = 2，由(1) 知 = 3，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，即 4 = 2 + 2 ，
所以 2 + 2 = 4 + ≥ 2 ，当且仅当 = 时取等号，所以 ≤ 4，
1
因为 为 边中点，所以 = ( + 2
)，
2 2所以 = 1 ( + )2 = 1 ( + 2
2
4 4
+ ) = 1 2 24 ( + + )
= 1 ( 2 + 24 + 2 ) =
1
4 (4 + 2 ) ≤ 3，
所以| | ≤ 3，当且仅当 = = 2 时取等号，
所以 的最大值为 3；
2 2 2
(3) = | | 4| | | | 4 4 | | + | | + | | = | | + | | + | | = | | + | | + | |，
又 1 1 1△ = 2 | |， △ = 2 | |， △ = 2 | |，
因为 △ + △ + △ = △ ，
| | + | | + | | = 2 = 2 × 1 = 3所以 △ 2 2 ，
由三维分式型柯西不等式有：
2 2 2 2 2
= + 4×2 ( + +4) 2( + +4) | | | | + | | ≥ 2 =△ 3
，
1 2 1
当且仅当| | = | | = | |，即| | = 2| | = 2| |时等号成立，
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ，得：4 = 2 + 2 ，
( + )2 4
所以( + )2 4 = 3 ，即 = 3 ，
2 2
则 ≥ 2( + +4) 2 3( + +4)3 = ( + )2 4 ，
2
令 = + + 4 ≥ 2 3 2 3，则 ( 4)2 4 = 12 8
，
+1
2
= ( + )
2 4
因为 3 ≤ (
+
2 )
2
，解得 2 < + ≤ 4，
+ > = 2
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当且仅当 = 时等号成立，所以 6 < ≤ 8 1 1 1，则8 ≤ < 6，
12
令 = 2
8
+ 1 = 12(
1

1 2 1
3 ) 3，
1 = 1 3则当 8，即 = = 2 时， 有最大值16，
则 32 3有最小值为 3 ．
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